نسخة الفيديو النصية
النقاط التي في الجدول تقع على خط مستقيم. أوجد معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع.
لنبدأ بتذكر صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. تنص الصيغة على أن ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حيث يمثل معامل ﺱ، أي ﻡ، ميل الخط المستقيم؛ ويمثل الحد الثابت، أي ﺟ، الجزء المقطوع من المحور ﺹ.
لدينا أربعة أزواج من القيم المتناظرة؛ أي قيم ﺱ وﺹ التي تقع على هذا الخط المستقيم. وهذه هي قيم إحداثيات النقاط التي تقع على الخط المستقيم. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي سالب ثمانية. وهكذا، فإن النقطة التي إحداثياتها خمسة، سالب ثمانية تقع على الخط المستقيم. يمكننا حل هذه المسألة بطريقتين مختلفتين. في الطريقة الأولى، سنستخدم إحداثيات بعض هذه النقاط لتكوين بعض المعادلات الخطية، التي يمكننا بعد ذلك حلها آنيًّا.
بالنسبة إلى النقطة الأولى، نعلم أنه عند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي سالب ثمانية. لذا بالتعويض بهاتين القيمتين لـ ﺱ وﺹ في المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، نحصل على المعادلة سالب ثمانية يساوي خمسة ﻡ زائد ﺟ. زوج القيم الثاني الموجود لدينا هو ١٠، سالب ١٥. إذن، عند ﺱ يساوي ١٠، فإن ﺹ يساوي سالب ١٥. بالتعويض بهاتين القيمتين لـ ﺱ وﺹ، نحصل على المعادلة سالب ١٥ يساوي ١٠ﻡ زائد ﺟ. أصبح لدينا الآن زوج من المعادلات الخطية الآنية في المجهولين ﻡ وﺟ.
نلاحظ أن المعادلتين بهما نفس معامل ﺟ، ومعامل ﺟ في كل منهما يساوي موجب واحد، لذا إذا طرحنا إحدى المعادلتين من الأخرى، فسيؤدي ذلك إلى حذف حدي ﺟ ويصبح لدينا معادلة بدلالة ﻡ فقط. لنطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية؛ لأن قيمة معامل ﻡ في المعادلة الثانية أكبر. وبذلك، سيحذف حدا ﺟ كما سبق وذكرنا، ونحصل على سالب ١٥ ناقص سالب ثمانية يساوي ١٠ﻡ ناقص خمسة ﻡ.
سالب ١٥ ناقص سالب ثمانية يساوي سالب ١٥ زائد ثمانية، وهو ما يساوي سالب سبعة. وذلك يبسط إلى سالب سبعة يساوي خمسة ﻡ. لإيجاد قيمة ﻡ، نقسم طرفي المعادلة على خمسة، فنحصل على ﻡ يساوي سالب سبعة على خمسة. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة أحد المجهولين، وهو ميل هذا الخط المستقيم.
لإيجاد قيمة ﺟ، علينا التعويض بقيمة ﻡ التي وجدناها للتو في أي من المعادلتين. دعونا نعوض في المعادلة الأولى. من ثم، يصبح لدينا سالب ثمانية يساوي خمسة مضروبًا في سالب سبعة على خمسة زائد ﺟ. في الطرف الأيسر، سيحذف العدد خمسة الموجود في بسط الحد الأول مع العدد خمسة الموجود في المقام. ومن ثم، تبسط المعادلة إلى سالب ثمانية يساوي سالب سبعة زائد ﺟ. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺟ بإضافة سبعة إلى الطرفين، فنحصل على سالب واحد يساوي ﺟ أو ﺟ يساوي سالب واحد.
وبهذا نكون قد وجدنا قيمتي المجهولين ﻡ وﺟ. والخطوة الأخيرة هي التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي سالب سبعة على خمسة ﺱ ناقص واحد. وبذلك، نكون قد وجدنا معادلة هذا الخط المستقيم. على الرغم من أننا لم نستخدم في الحل سوى نقطتين من النقاط المعطاة التي تقع على الخط المستقيم، فإنه يمكننا التحقق من الإجابة باستخدام أي من النقطتين الأخريين أو كلتيهما.
نعلم أنه عند ﺱ يساوي ١٥، فإن ﺹ يجب أن يساوي سالب ٢٢. لذا دعونا نتحقق من ذلك. عندما يكون ﺱ يساوي ١٥، فإن المعادلة تكون ﺹ يساوي سالب سبعة على خمسة مضروبًا في ١٥ ناقص واحد. يمكننا حذف العامل خمسة من بسط الحد الأول ومقامه لنحصل على ﺹ يساوي سالب سبعة على واحد مضروبًا في ثلاثة ناقص واحد. وهذا يعطينا سالب ٢١ ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب ٢٢. وهذه هي القيمة الصحيحة لـ ﺹ، وهذا يؤكد لنا أن المعادلة صحيحة. يمكننا تكرار الأمر للتحقق من النقطة الأخيرة إذا أردنا. عند ﺱ يساوي ٢٠، نجد أن ﺹ يساوي بالفعل سالب ٢٩.
إذن بتكوين معادلتين خطيتين آنيتين وحلهما، استطعنا تحديد قيمتي ﻡ وﺟ، ومن ثم توصلنا إلى أن معادلة هذا الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي ﺹ يساوي سالب سبعة على خمسة ﺱ ناقص واحد.
ورغم ذلك لنتناول طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها. ينبغي أن نتذكر أنه إذا كان لدينا إحداثيات نقطتين تقعان على خط مستقيم هي ﺱ واحد وﺹ واحد، وﺱ اثنان وﺹ اثنان، فإن ميل الخط المستقيم يساوي التغير في قيمتي الإحداثي ﺹ على التغير في قيمتي الإحداثي ﺱ. أي ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. ومن ثم يمكننا اختيار أي نقطتين من النقاط الأربع التي نعلم أنها تقع على الخط المستقيم لحساب ميله.
الاختيار متروك لنا تمامًا، لذا دعونا نستخدم النقطتين الموجودتين في المنتصف. بالتعويض بإحداثيات هاتين النقطتين، نحصل على سالب ٢٢ ناقص سالب ١٥ في البسط، و١٥ ناقص ١٠ في المقام. سالب ٢٢ ناقص سالب ١٥ يساوي سالب ٢٢ زائد ١٥. إذن، يبسط هذا إلى سالب سبعة على خمسة، وهو ما نلاحظ أنه يساوي ميل الخط المستقيم الذي حصلنا عليه باستخدام الطريقة الأولى.
لإيجاد قيمة ﺟ، أي الجزء المقطوع من المحور ﺹ، ينبغي أن نلاحظ أن هناك نمطًا يميز القيم المعطاة لنا في الجدول. تمثل قيم ﺱ متتابعة تتكون من خمسة، ١٠، ١٥، ٢٠ ؛ فهي تزيد بمقدار خمسة في كل مرة. وقيم ﺹ أيضًا تكون متتابعة خطية. تمثل القيم سالب ثمانية، سالب ١٥، سالب ٢٢، سالب ٢٩ متتابعة خطية أو حسابية تقل قيمة حدودها بمقدار سبعة في كل مرة. وتناظر قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ قيمة ﺱ التي تساوي صفرًا، وهي قيمة ﺱ التي سنحصل عليها إذا تحركنا حدًّا واحدًا للخلف في المتتابعة، أي إذا طرحنا خمسة. وبذلك، سيكون الجزء المقطوع، أي قيمة ﺹ، هو الحد التالي في متتابعة قيم ﺹ إذا تحركنا في الاتجاه المعاكس.
والآن تذكر أننا قلنا إن هذه المتتابعة تتناقص قيم حدودها بمقدار سبعة. لذا، إذا تحركنا في الاتجاه المعاكس، فسنحصل على الحد التالي بإضافة سبعة. سالب ثمانية زائد سبعة يساوي سالب واحد. ولذا، نجد مجددًا أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم هو سالب واحد. إذن، باستخدام طريقتين مختلفتين، توصلنا إلى أن معادلة الخط المستقيم الذي تقع عليه جميع هذه النقاط، في صيغة الميل والمقطع، هي ﺹ يساوي سالب سبعة على خمسة ﺱ ناقص واحد.
