فيديو السؤال: قدرة الحركة على مستوى مائل مع وجود قوى مقاومة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تحركت شاحنة كتلتها ثلاثة أطنان مترية، وقدرة محركها ٥٢ حصانًا، على طريق أفقي بأقصى سرعة لها مقدارها ١٠٨ كيلومترات لكل ساعة. ثم حملت بوزن مقداره ٣١٥ ثقل كيلوجرامًا، وبدأت في الحركة بعد ذلك لأعلى طريق يميل على الطريق الأفقي بزاوية جيبها واحد على ١٧. إذا كانت قوة المقاومة ضد حركة الشاحنة على الطريق المائل ثلاثة أمثال مقاومتها على الطريق الأفقي، فأوجد أقصى سرعة للشاحنة على الطريق المائل.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا استخدام الصيغة التي تنص على أن القدرة تساوي القوة مضروبة في السرعة. إن الوحدة القياسية للقدرة هي الوات، وللقوة النيوتن، وللسرعة المتر لكل ثانية. في هذا السؤال، نلاحظ أن بعض الوحدات مختلفة عند التعبير عن الكميات نفسها. إذن، علينا أن نذكر بعض التحويلات.

بالنسبة للقدرة، فإن الحصان الواحد يساوي ٧٣٥ وات. ونحن نعلم أن الطن الواحد يساوي ١٠٠٠ كيلوجرام. كما نعلم أن واحد ثقل كيلوجرام يساوي ٩٫٨ نيوتن. وأخيرًا، ٣٫٦ كيلومترات لكل ساعة يساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. والآن، سنستخدم هذه التحويلات بحيث تكون القياسات الخاصة بالطريقين الأفقي والمائل بالوحدات المناسبة.

كتلة الشاحنة على الطريق الأفقي تساوي ٣٠٠٠ كيلوجرام، لأن الطن المتري الواحد يساوي ١٠٠٠ كيلوجرام. وبما أن الشاحنة حملت بعد ذلك بوزن مقداره ٣١٥ ثقل كيلوجرامًا، فإن كتلتها على الطريق المائل تساوي ٣٣١٥ كيلوجرامًا. وبما أن الحصان الواحد يساوي ٧٣٥ وات، فإن قدرة المحرك تساوي ٣٨٢٢٠ وات. وهذا هو حاصل ضرب ٥٢ في ٧٣٥.

مقدار أقصى سرعة على الطريق الأفقي هو ١٠٨ كيلومترات لكل ساعة. وبقسمة ذلك على ٣٫٦، نحصل على ٣٠ مترًا لكل ثانية. علينا إذن حساب أقصى سرعة للشاحنة على الطريق المائل. وسنسميها ﻉ متر لكل ثانية. نعلم أيضًا من رأس السؤال أن جيب زاوية الطريق المائل يساوي واحدًا على ١٧. إذا سمينا هذه الزاوية 𝛼، فإن جا 𝛼 يساوي واحدًا على ١٧. وأخيرًا، نعلم أن قوة المقاومة ضد حركة الشاحنة على الطريق المائل تساوي ثلاثة أمثال مقاومتها على الطريق الأفقي. إذا افترضنا أن المقاومة على الطريق الأفقي تساوي ﻡ نيوتن، فهذا يعني أن المقاومة على الطريق المائل تساوي ثلاثة ﻡ نيوتن. سنفرغ الآن بعض المساحة ونرسم الوضعين.

عندما تتحرك الشاحنة على الطريق الأفقي، يكون لدينا أربع قوى أفقية ورأسية. إذ يوجد رأسيًا لأسفل الوزن الذي مقداره ٣٠٠٠ مضروبًا في عجلة الجاذبية ﺩ. ويوجد رأسيًا لأعلى قوة رد الفعل العمودية، ونسميها ﺭ. ولدينا قوة أفقية ﻕ تؤثر في اتجاه الحركة، وكذلك قوة مقاومة ﻡ تؤثر عكس اتجاه الحركة. وبما أن الشاحنة تتحرك بأقصى سرعة، فإننا نعرف من ذلك أن العجلة تساوي صفرًا. هذا يعني أن محصلة القوى الرأسية والأفقية تساوي صفرًا.

وبحساب محصلة القوى الأفقية، فهذا يعني أن ﻕ ناقص ﻡ يساوي صفرًا. وبإضافة ﻡ إلى كلا الطرفين، نجد أن القوة ﻕ تساوي قوة المقاومة. باستخدام المعادلة التي توضح أن القدرة تساوي القوة مضروبة في السرعة، نحصل على: ٣٨٢٢٠ يساوي ﻕ مضروبًا في ٣٠. وبقسمة طرفي المعادلة على ٣٠، نحصل على: ﻕ يساوي ١٢٧٤. إذن، قوة المقاومة تساوي ١٢٧٤ نيوتن. يمكننا الآن حساب قوة المقاومة على المستوى المائل بضرب هذا العدد في ثلاثة. وهذا يساوي ٣٨٢٢ نيوتن.

سنرسم الآن الوضع على المستوى المائل. مرة أخرى، العجلة تساوي صفرًا؛ حيث إننا نهتم بالنقطة التي تتحرك فيها الشاحنة بأقصى سرعة. وقوة الوزن التي تؤثر رأسيًا لأسفل تساوي ٣٣١٥ مضروبًا في عجلة الجاذبية. ولا تزال لدينا قوة رد الفعل العمودية ﺭ التي تؤثر عموديًا على المستوى. وبالنسبة للقوى الموازية للمستوى، لدينا قوة المقاومة ﻡ تساوي ٣٨٢٢ نيوتن، وهي التي تؤثر عكس اتجاه الحركة، والقوة ﻕ التي تؤثر في الاتجاه الموجب للحركة. ومرة أخرى، نعلم أن محصلة القوى المؤثرة عموديًا على المستوى والموازية له تساوي صفرًا.

ولحساب القوى المؤثرة في هذين الاتجاهين، علينا إيجاد مركبتي الوزن العمودية على المستوى والموازية له. يمكننا فعل ذلك من خلال معرفتنا بحساب المثلثات القائمة الزاوية لحساب قيمتي ﺱ وﺹ. في هذا السؤال، ما يعنينا فقط هو قيمة ﺱ؛ حيث إننا سنحلل فقط القوى في الاتجاه الموازي للمستوى. باستخدام النسب المثلثية، نعلم أن جيب الزاوية 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يعني أن جا 𝛼 في هذا السؤال يساوي ﺱ على ٣٣١٥ﺩ. نعرف أيضًا أن جا 𝛼 يساوي واحدًا على ١٧. وبضرب طرفي هذه المعادلة في ٣٣١٥ﺩ، نحصل على: ﺱ يساوي ١٩١١. ومن ثم، فإن مركبة قوة الوزن الموازية للمستوى تساوي ١٩١١ نيوتن. ونعلم أن هذه القوة تؤثر عكس اتجاه الحركة.

بما أن محصلة القوى تساوي صفرًا، فلا بد أن ﻕ ناقص ﻡ ناقص ١٩١١ يساوي صفرًا. لكننا نعلم أن ﻡ يساوي ٣٨٢٢. لذا، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة ثم تجميع الحدود المتشابهة. تبسط هذه المعادلة إلى: ﻕ ناقص ٥٧٣٣ يساوي صفرًا. وبإضافة ٥٧٣٣ إلى كلا الطرفين، نجد أن القوة الموجبة تساوي ٥٧٣٣ نيوتن.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن القدرة تساوي القوة مضروبة في السرعة مرة أخرى. إذن، ٣٨٢٢٠ يساوي ٥٧٣٣ مضروبًا في ﻉ. وبقسمة كلا الطرفين على ٥٧٣٣، نحصل على: ٢٠ على ثلاثة. هذه هي أقصى سرعة للشاحنة بوحدة المتر لكل ثانية. وبما أن السرعة الأولى معطاة بوحدة الكيلومتر لكل ساعة، فمن المنطقي تحويل هذه الإجابة إلى وحدة الكيلومتر لكل ساعة. ولإجراء ذلك، نضرب ٢٠ على ثلاثة في ٣٫٦. إذن، أقصى سرعة للشاحنة على الطريق المائل تساوي ٢٤ كيلومترًا لكل ساعة.