تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: قسمة كثيرات الحدود: القسمة المطوَّلة

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو كيفية قسمة كثيرة الحدود على وحيدة حد، وقسمة كثيرة الحدود على كثيرة حدود، باستخدام القسمة المطوَّلة، مع أمثلة توضيحية.

١١:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن قسمة كثيرات الحدود، وبالأخصّ عن طريقة القسمة المطوّلة.

في الفيديو ده، هنعرف إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على وحيدة حدّ. وكمان إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود تانية. وده هيكون باستخدام طريقة القسمة المطوّلة.

هنبدأ أول حاجة بقسمة كثيرة حدود على وحيدة حدّ. وهيكون من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نبسّط المقدار: ستة س أُس أربعة ص تكعيب، زائد اتناشر س تكعيب ص تربيع، ناقص تمنتاشر س تربيع ص؛ على تلاتة س ص.

هنلاحظ في المثال ده إن إحنا عايزين نقسم كثيرة حدود على وحيدة حدّ. فأول حاجة، هنكتب المقدار مرة كمان. بعد كده هنبدأ نقسم كل حدّ موجود في البسط على المقام. وبالتالي هيبقى عندنا إن المقدار بيساوي ستة س أُس أربعة ص تكعيب على تلاتة س ص، زائد اتناشر س تكعيب ص تربيع على تلاتة س ص، ناقص تمنتاشر س تربيع ص على تلاتة س ص.

بعد كده هنبدأ نقسم. فهنلاقي إن المقدار بيساوي ستة على تلاتة في، س أُس، أربعة ناقص واحد، ص أُس تلاتة ناقص واحد؛ زائد اتناشر على تلاتة في، س أُس، تلاتة ناقص واحد، ص أُس، اتنين ناقص واحد؛ ناقص تمنتاشر على تلاتة في، س أُس، اتنين ناقص واحد، ص أُس، واحد ناقص واحد.

بعد كده هنبسّط كل حدّ موجود في المقدار اللي عندنا. فبالنسبة للحدّ الأول، فستة على تلاتة تساوي اتنين. س أُس، أربعة ناقص واحد، تبقى س أُس تلاتة، يعني س تكعيب. ص أُس، تلاتة ناقص واحد، يعني ص أُس اتنين، يعني ص تربيع. أمَّا بالنسبة للحدّ التاني، فإحنا عندنا اتناشر على تلاتة، يعني أربعة. س أُس، تلاتة ناقص واحد، يعني س أُس اتنين، يعني س تربيع. ص أُس، اتنين ناقص واحد، يعني ص أُس واحد، واللي هي ص. أمَّا بالنسبة للحدّ التالت، فيبقى سالب ستة. س أُس اتنين ناقص واحد، يعني س أُس واحد، يعني س. ص أُس، واحد ناقص واحد، يعني ص أُس صفر. وَ ص أُس صفر بواحد. يعني الحدّ التالت هيبقى سالب ستة س. وبكده هيبقى المقدار بيساوي اتنين س تكعيب ص تربيع، زائد أربعة س تربيع ص، ناقص ستة س. بكده يبقى إحنا عرفنا إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على وحيدة حدّ.

هنبدأ نشوف بعد كده إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود باستخدام القسمة المطوّلة، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نستخدم القسمة المطوّلة علشان نوجد ناتج: س تربيع زائد تلاتة س ناقص أربعين على، س ناقص خمسة.

في المثال ده، هنلاحظ إن إحنا بنقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود. وعايزين نستخدم طريقة القسمة المطوّلة. فبالنسبة لخطوات القسمة المطوّلة، إحنا بنسمّيها خوارزمية القسمة. وخطواتها أول حاجة فيها إن إحنا هنكتب المقسوم والمقسوم عليه بحيث تكون حدودهم مترتّبة ترتيب تنازلي حسب درجات الحدود دي.

فبالنسبة للمثال اللي عندنا، إحنا هنقسم س تربيع زائد تلاتة س ناقص أربعين على، س ناقص خمسة. فهنلاحظ إن المقسوم والمقسوم عليه حدودهم مترتّبة ترتيب تنازلي حسب درجات الحدود. فهنبدأ نكتب المقسوم والمقسوم عليه في الشكل ده. بالنسبة للمقسوم، فهو س تربيع زائد تلاتة س ناقص أربعين. هنكتبه في المكان ده. أمَّا بالنسبة للمقسوم عليه، فهو س ناقص خمسة. هنكتبه في المكان ده.

بعد ما كتبنا المقسوم والمقسوم عليه في الشكل ده، هنبدأ نقسم أول حدّ في المقسوم على أول حدّ في المقسوم عليه. والناتج هنكتبه في المكان المخصَّص ليه. فلمَّا هنقسم س تربيع على س، هنلاقي الناتج هو س. فهنكتبه هنا. بعد كده هنضرب الناتج اللي عندنا في المقسوم عليه، ونكتب الإجابة دي تحت المقسوم، وبعد كده نطرحها منه. فلمَّا هنضرب س في، س ناقص خمسة، هيبقى عندنا س تربيع ناقص خمسة س. كتبناها تحت المقسوم، بعد كده هنطرحها منه. س تربيع ناقص س تربيع صفر. تلاتة س ناقص سالب خمسة س، يعني تمنية س. سالب أربعين ناقص صفر، يعني ناقص أربعين.

بعد كده هنقسم الحدّ الأول من ناتج الطرح عَ الحدّ الأول مِ المقسوم عليه. ونفضل نعمل الخطوة دي لحدّ ما نوصل إن الباقي بتاع القسمة يبقى صفر أو يبقى كثيرة حدود درجتها تكون أقلّ من درجة المقسوم عليه. فلمَّا هنقسم الحدّ الأول من ناتج الطرح، وهو تمنية س، على الحدّ الأول من المقسوم عليه، واللي هو س، هنلاقي إن الناتج هو تمنية. فهنكتب الناتج في مكانه. بعد كده هنضرب الناتج ده في المقسوم عليه. يعني هنضربه في، س ناقص خمسة، ونكتب الإجابة دي تحت تمنية س ناقص أربعين. فتمنية في س، تمنية س. تمنية في سالب خمسة، سالب أربعين.

بعد كده هنطرح الإجابة من المقسوم. فلمَّا هنطرح، هنلاقي إن تمنية س ناقص تمنية س، صفر. وسالب أربعين ناقص سالب أربعين، برضو صفر. يعني ناتج الطرح هيبقى صفر. وده معناه إن القسمة انتهت. فيبقى عندنا، يبقى س زائد تمنية هو ناتج القسمة. أمَّا الباقي، فهيبقى صفر.

في المثال ده، كان باقي القسمة بصفر. لكن فيه ساعات لمَّا بنقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود بيكون فيه باقي للقسمة. هنشوف مثال نعرف بيه إزَّاي نقدر نكتب نتيجة قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود مع وجود باقي. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نعرف أنهي مقدار مِ المقادير اللي عندنا بيساوي المقدار أ تربيع زائد سبعة أ ناقص حداشر في، تلاتة ناقص أ الكل أُس سالب واحد.

أول حاجة هنبدأ بيها، هنكتب المقدار اللي عندنا مرة كمان. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فهنلاقي إن العامل التاني مرفوع للأُس سالب واحد. وده معناه إن المسألة دي مسألة قسمة. فهنلاقي إن المقدار اللي عندنا بيساوي أ تربيع زائد سبعة أ ناقص حداشر على، تلاتة ناقص أ. فهنبدأ نستخدم طريقة القسمة المطوّلة. هنبدأ بأول خطوة، واللي هنحتاج فيها إن إحنا نكتب المقسوم والمقسوم عليه، بحيث تكون حدودهم مترتّبة ترتيب تنازلي حسب درجات الحدود دي. فبالنسبة للمقسوم، هنلاقيه مترتّب؛ فهنكتبه في مكانه. والمقسوم هو أ تربيع، زائد سبعة أ، ناقص حداشر.

بالنسبة للمقسوم عليه، واللي هو تلاتة ناقص أ، فمحتاج ترتيب. فلمَّا هنكتبه في مكانه وهو مترتّب، هيبقى عبارة عن سالب أ زائد تلاتة. بعد كده هنقسم الحدّ الأول من المقسوم عَ الحدّ الأول مِ المقسوم عليه، ونكتب الناتج في مكانه. فلمَّا نقسم أ تربيع على سالب أ، هنلاقي إن الناتج هو سالب أ. هنكتبه في مكانه. بعد كده هنضرب الناتج ده في المقسوم عليه، ونكتب الإجابة تحت المقسوم. فلمَّا نضرب سالب أ في، سالب أ زائد تلاتة، هتبقى الإجابة هي أ تربيع ناقص تلاتة أ. هنطرحها بعد كده من المقسوم. لمَّا نطرح أ تربيع ناقص أ تربيع، صفر. سبعة أ ناقص سالب تلاتة أ عبارة عن عشرة أ. أمَّا سالب حداشر، فما فيش حاجة نطرحها منها، فهتنزل زيّ ما هي. بعد كده هنقسم عشرة أ على سالب أ، هنلاقي الناتج هو سالب عشرة.

بعد كده هنضرب سالب عشرة في سالب أ زائد تلاتة، وهنكتب الإجابة دي تحت المقسوم، واللي هو عشرة أ ناقص حداشر. فلمَّا نضرب سالب عشرة في سالب أ، هيبقى عبارة عن عشرة أ. وسالب عشرة في تلاتة هيبقى سالب تلاتين، يعني عشرة أ ناقص تلاتين. بعد كده هنطرح الإجابة دي من المقسوم. عشرة أ ناقص عشرة أ، صفر. سالب حداشر ناقص سالب تلاتين، بيساوي تسعتاشر. بالنسبة لتسعتاشر، فهو عبارة عن كثيرة حدود درجتها هتكون أقلّ من درجة المقسوم عليه. وكده تبقى القسمة انتهت.

بالنسبة لناتج القسمة، فهيبقى سالب أ ناقص عشرة. أمَّا بالنسبة للباقي، فهيبقى تسعتاشر. بالنسبة لنتيجة القسمة اللي عندنا، فكان فيها باقي. ولمَّا كنا بنقسم حداشر على تلاتة كان بيبقى ناتج القسمة هو تلاتة، والباقي اتنين. فكنا بنكتبه بالشكل إن حداشر على تلاتة هيساوي ناتج القسمة، اللي هو تلاتة، زائد الباقي مقسوم على المقسوم عليه. يعني زائد اتنين على تلاتة. بنفس الطريقة، هنكتب النتيجة اللي بيكون فيها باقي، لمَّا نيجي نقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود.

يعني معنى كده إن المقدار اللي عندنا هيساوي ناتج القسمة، واللي هو سالب أ ناقص عشرة، زائد الباقي مقسوم على المقسوم عليه. بالنسبة للباقي فهو تسعتاشر. أمَّا المقسوم عليه، فهو تلاتة ناقص أ. يعني هيبقى تسعتاشر على تلاتة ناقص أ. يعني المقدار اللي عندنا بيساوي سالب أ ناقص عشرة؛ زائد تسعتاشر على، تلاتة ناقص أ. ومن هنا، يبقى المقدار اللي بيساوي المقدار اللي عندنا هيبقى المقدار رقم تلاتة.

بالنسبة للمثال ده، فإحنا بنختار فيه إجابة من ضمن اختيارات متعدّدة، نقدر نحلّه بإن إحنا نحذف بعض الإجابات. وده هيكون من خلال إن إحنا نختار قيمة للمتغيّر أ، ونعوّض بيها في المقدار الأصلي. وكمان نعوّض بيها في الاختيارات اللي عندنا. ونجيب قيمة المقدار الأصلي، وكمان المقادير اللي موجودة في الاختيارات اللي عندنا.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على وحيدة حدّ. وكمان عرفنا إزَّاي نقدر نقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود باستخدام طريقة القسمة المطوّلة. وكمان عرفنا إزَّاي نقدر نكتب نتيجة قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود لمَّا يبقى عندنا باقي.