فيديو الدرس: مخطط أرجاند الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية تحديد الأعداد المركبة على مخطط أرجاند. سنبدأ بتعلم المقصود بمخطط أرجاند، وكيفية تمثيل الأعداد المركبة عليه. سنتناول أيضًا التفسير الهندسي لجمع الأعداد المركبة والضرب في أعداد حقيقية وتخيلية. وأخيرًا، سنتعلم التفسير الهندسي لما يسمى بجذور العدد الواحد.

عند بداية التعرف على الأعداد، نعلم أنه يمكننا تمثيلها على خط أعداد أحادي البعد. وهذا مفيد في المعتاد لأنه يسمح لنا بإعداد إستراتيجيات ذهنية للجمع والطرح، بالإضافة إلى توفيره سياقًا مرئيًا لفكرة الأعداد السالبة. أما عند التعرف على الأعداد التخيلية، نضيف بعدًا ثانيًا بحيث نبدأ في التفكير في الأعداد المركبة بوصفها نقاطًا في مستوى. مثلما يسمح لنا خط الأعداد بوضع تصورات لمجموعة الأعداد الحقيقة، يسمح لنا التفكير في الأعداد المركبة على أنها نقاط في مستوى بوضع تصورات لخصائصها.

ونسمي ذلك التمثيل المرئي مخطط أرجاند أو مستوى أرجاند. ابتكر هذا المخطط عالم الرياضيات السويسري جون أرجاند في مطلع القرن التاسع عشر، وهو يتكون من محور أعداد حقيقية، وهو المحور الأفقي، ومحور أعداد تخيلية، وهو المحور الرأسي. يعني ذلك أنه يمكننا تمثيل عدد مركب على الصورة: ﺱ زائد ﺹﺕ؛ حيث ﺱ وﺹ عددان حقيقيان، بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ﺱ وﺹ. لنتناول مثالًا يستخدم هذه المفاهيم.

إذا كان العدد ﻉ يساوي ثمانية زائد ﺕ يمثل على مخطط أرجاند بالنقطة ﺃ، فأوجد الإحداثيين الكارتيزيين لهذه النقطة.

للإجابة عن هذا السؤال، يمكننا البدء مباشرة بتحديد العدد المركب ﻉ على مخطط أرجاند ثم قراءة المعلومات من عليه. لكن هذه طريقة طويلة لحل هذا السؤال. بدلًا من ذلك، نذكر أنفسنا بتعريف مخطط أرجاند. نعرف أن العدد المركب على الصورة ﺱ زائد ﺹﺕ يمكن تمثيله بنقطة ذات إحداثيين كارتيزيين ﺱ وﺹ. الجزء الحقيقي يمثله الإحداثي ﺱ. والجزء التخيلي يمثله الإحداثي ﺹ.

الجزء الحقيقي من العدد المركب يساوي ثمانية. ويمكننا اعتبار الجزء التخيلي معاملًا لـ ﺕ. في هذه الحالة، الجزء التخيلي من العدد ﻉ يساوي واحدًا. وذلك يعني أن الإحداثيين الكارتيزيين للنقطة التي تمثل العدد المركب ﻉ على مستوى أرجاند هما: ثمانية، وواحد.

ماذا عن أزواج المرافقات المركبة؟ كيف يمكن تمثيلها على مخطط أرجاند؟

لنلق نظرة على النقطة التي تمثل العدد المركب ثمانية زائد ﺕ على مخطط أرجاند. لقد رأينا أن هذا العدد ممثل بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: ثمانية، وواحد. يمكننا إيجاد المرافق المركب لـ ﻉ بتغيير إشارة الجزء التخيلي. وهو ما يعني أن مرافق ثمانية زائد ﺕ هو ثمانية ناقص ﺕ. ومن ثم نمثل مرافق ﻉ على مخطط أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: ثمانية، وسالب واحد. يمكننا ملاحظة أن النقطة هي انعكاس في محور الأعداد الحقيقية. وينطبق ذلك، في الواقع، على كل الأعداد المركبة ومرافقاتها المركبة.

مثلما يمكننا تفسير أزواج المرافقات على مخطط أرجاند، يمكننا أيضًا استخدام المستوى لتفسير جمع عددين مركبين. نعرف أنه عند جمع عددين مركبين، نجمع الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين منهما، كل على حدة. فمجموع ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ يساوي ﺃ زائد ﺟ زائد ﺏ زائد ﺩﺕ. نمثل ﻉ واحد بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ﺃ وﺏ. ونمثل ﻉ اثنين بالإحداثيين الكارتيزيين ﺟ وﺩ. وبالتالي، يكون مجموعهما هو نقطة إحداثياها الكارتيزيان: ﺃ زائد ﺟ، وﺏ زائد ﺩ.

ربما تلاحظ ظهور علاقة معينة هنا. في الواقع، يمكننا النظر إلى الأعداد المركبة المحددة على مستوى أرجاند على أنها متجهات. وعندها، يمكننا التفكير في جمع الأعداد المركبة بنفس طريقة جمع المتجهات. وبالتالي، يمكن اعتبار ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين محصلة المتجهين ﻉ واحد وﻉ اثنين. ويمكن تمثيل ذلك في متوازي الأضلاع كما هو موضح.

ومثلما يمكننا تمثيل جمع الأعداد المركبة على مستوى أرجاند باعتبارها متجهات، يمكن القول إن الأمر نفسه ينطبق على ضربها في عدد حقيقي. لنفترض، على سبيل المثال، أننا نريد ضرب العدد المركب ثلاثة زائد أربعة ﺕ في الثابت الحقيقي اثنين. نمثل العدد المركب بالنقطة: ثلاثة، أربعة على مستوى أرجاند كما هو موضح. وضرب أي متجه في اثنين يعني ضرب المركبتين الأفقية والرأسية في اثنين. في هذه الحالة، نمثل اثنين مضروبًا في المتجه ثلاثة زائد أربعة ﺕ بالنقطة: ستة، ثمانية. ونلاحظ أن اثنين في ﻉ يساوي ستة زائد ثمانية ﺕ.

يسمح لنا اعتبار الأعداد المركبة متجهات على مستوى أرجاند بتفسير الضرب في عدد حقيقي ﺟ على أنه معامل قياس تمدد أو تكبير بمقدار ﺟ حول نقطة الأصل. يتسع هذا المفهوم ليشمل أيضًا فكرة الضرب في عدد سالب. وبدلًا من هذا، يمكن تفسير ذلك على أنه دوران حول نقطة الأصل بمقدار 𝜋 راديان، يليه تمدد بمعامل قياس مقياس ﺟ. لكن كيف نمثل ضرب عدد مركب في عدد تخيلي بحت على مستوى أرجاند؟

الأعداد المركبة الأربعة: ﻉ واحد، وﻉ اثنان، وﻉ ثلاثة، وﻉ أربعة موضحة على مخطط أرجاند. الجزء (١): أوجد صورة النقاط ﻉ واحد، وﻉ اثنين، وﻉ ثلاثة، وﻉ أربعة وفقًا للتحويل الذي يحول ﻉ إلى ﺕﻉ. الجزء (٢): بواسطة تمثيل هذه النقاط على مخطط أرجاند، أو بطريقة أخرى، أعط تفسيرًا هندسيًا للتحويل.

مطلوب منا في هذه المسألة إيجاد التحويل الذي يحول ﻉ إلى ﺕﻉ. للقيام بذلك، علينا أولًا إيجاد الأعداد المركبة ﻉ واحد، وﻉ اثنين، وﻉ ثلاثة، وﻉ أربعة. تذكر أن المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب. ويمثل المحور الرأسي الجزء التخيلي منه. العدد ﻉ واحد يمثله الإحداثيان الكارتيزيان: ثلاثة، وصفر. وعند كتابته في صورة عدد مركب، يكون ثلاثة زائد صفر ﺕ، أي ثلاثة. ‏‏ﻉ اثنان يساوي اثنين زائد ثلاثة ﺕ. وﻉ ثلاثة يساوي سالب اثنين ناقص واحد ﺕ. والإحداثيان الكارتيزيان لـ ﻉ أربعة هما: صفر، وسالب واحد. ما يعني أنه، كعدد مركب، يساوي سالب ﺕ.

بعد ذلك، سنضرب كلًا من هذه الأعداد في ﺕ، مع تذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ويعني ذلك أن ﺕﻉ واحد يساوي ثلاثة ﺕ. وﺕﻉ اثنين يساوي ﺕ زائد ثلاثة ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فإن ذلك يساوي سالب ثلاثة زائد اثنين ﺕ. وبالطريقة نفسها، يكون ﺕﻉ ثلاثة يساوي واحدًا ناقص اثنين ﺕ. وﺕﻉ أربعة يساوي واحدًا. علينا الآن تمثيل هذه النقاط على مخطط أرجاند.

نلاحظ أن ﺕﻉ واحد يمثله الإحداثيان الكارتيزيان: صفر، وثلاثة. فيقع هنا. ويمثل ﺕﻉ اثنين الإحداثيان الكارتيزيان: سالب ثلاثة، واثنان. ويقع هنا. وﺕﻉ ثلاثة هنا. وﺕﻉ أربعة هنا. نلاحظ أن ﻉ واحد تحرك بمقدار ربع دورة إلى هنا. وﻉ اثنين تحرك بمقدار ربع دورة، وكذلك ﻉ ثلاثة وﻉ أربعة. نرى هنا أن التحويل الذي يحول ﻉ إلى ﺕﻉ هو دوران حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 𝜋 على اثنين راديان.

وبالتالي، بما أن ضرب عدد مركب في ﺕ ينتج عنه دوران، فإن ضرب عدد مركب في مضاعف حقيقي لـ ﺕ سينتج عنه دوران يليه تمدد كما رأينا من قبل. وبما أننا غير مستعدين لتمثيل عملية ضرب عددين مركبين باستخدام مخطط أرجاند، يمكننا النظر إلى التفسير الهندسي لما يسمى بجذور العدد واحد.

‏‏(١) أوجد جميع حلول ﻉ أس ستة يساوي واحدًا. ‏‏(٢) بتمثيل الحلول على مخطط أرجاند، أو غير ذلك، صف الخواص الهندسية لحلول ﻉ أس ستة يساوي واحدًا.

يمكننا حل هذه المعادلة بإيجاد الجذر السادس للطرفين. لكننا نعرف أنه ستوجد ستة حلول لهذه المعادلة. إذن، علينا التفكير في طريقة حل بديلة. بدلًا من ذلك، نعيد ترتيب المعادلة بطرح واحد من الطرفين. فنجد أن ﻉ أس ستة ناقص واحد يساوي صفرًا. هذا المثال هو حالة خاصة للفرق بين مربعين، بمعنى أنه يمكننا كتابة المقدار الموجود في الطرف الأيمن على صورة ﻉ تكعيب ناقص واحد مضروبًا في ﻉ تكعيب زائد واحد. والآن، لدينا عددان حاصل ضربهما يساوي صفرًا. ولا يتحقق ذلك إلا إذا كان ﺕ، أي العدد نفسه، يساوي صفرًا.

لنبدأ بقول إن ﻉ تكعيب ناقص واحد يساوي صفرًا. يمكننا ملاحظة أن أحد حلول هذه المعادلة هو واحد لأن واحدًا تكعيب ناقص واحد يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﻉ ناقص واحد لا بد أن يكون عاملًا لـ ﻉ تكعيب ناقص واحد. يمكننا استخدام القسمة المطولة لكثيرة الحدود لإيجاد العامل الآخر. ويمكننا، بدلًا من ذلك، قول إن ﻉ تكعيب ناقص واحد يساوي ﻉ ناقص واحد مضروبًا في معادلة تربيعية. ويمكننا حينئذ مساواة معاملي ﻉ. وبتوزيع الأقواس، نجد أن ﺃﻉ تكعيب زائد ﺏ ناقص ﺃﻉ تربيع زائد ﺟ ناقص ﺏﻉ ناقص ﺟ يساوي ﻉ تكعيب ناقص واحد.

بمساواة معاملي ﻉ تكعيب، نصل إلى أن ﺃ يساوي واحدًا. وهذا لأن معامل ﻉ تكعيب في الطرف الأيسر يساوي واحدًا. ومعامل ﻉ تربيع في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. وبالتالي نلاحظ أنه عند مساواة معاملي ﻉ تربيع، نحصل على ﺏ ناقص ﺃ يساوي صفرًا. وﺃ — بالطبع — يساوي واحدًا. بالتالي ﺏ ناقص واحد يساوي صفرًا، ومعنى ذلك أن ﺏ لا بد أن يساوي واحدًا. سنتخطى مساواة معاملي ﻉ أس واحد، وننتقل مباشرة إلى مساواة ثابتين، وهما معاملا ﻉ أس صفر.

نرى أن سالب ﺟ يساوي سالب واحد، ومعنى ذلك أن ﺟ يساوي واحدًا. وهذا يعني أن ﻉ تكعيب ناقص واحد يساوي ﻉ ناقص واحد مضروبًا في ﻉ تربيع زائد ﻉ زائد واحد. بعد ذلك، نحل المعادلة ﻉ تربيع زائد ﻉ زائد واحد يساوي صفرًا إما باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية أو بإكمال المربع.

إذا استخدمنا القانون العام، فسنجد أن ﻉ يساوي سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لواحد تربيع ناقص أربعة في واحد في واحد، الكل مقسوم على اثنين في واحد. وهو ما يساوي سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ثلاثة على اثنين. سنقسم هذا الكسر ونكتبه على صورة سالب نصف زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ثلاثة على اثنين. وبما أن الجذر التربيعي لسالب واحد يساوي ﺕ، فإن حل ﻉ يصبح سالب نصف زائد أو ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ.

نكرر هذه العملية مع ﻉ تكعيب زائد واحد يساوي صفرًا. لكن هذه المرة، يمكننا تحديد أن أحد حلول هذه المعادلة هو ﻉ يساوي سالب واحد. وذلك لأن سالب واحد تكعيب زائد واحد يساوي صفرًا. وذلك يعني، هذه المرة، أن ﻉ زائد واحد لا بد أن يكون عاملًا لـ ﻉ تكعيب زائد واحد. ويمكننا كتابة ﻉ تكعيب زائد واحد على الصورة ﻉ زائد واحد مضروبًا في معادلة تربيعية في ﻉ.

عند توزيع الأقواس هذه المرة، نجد أن ﺃﻉ تكعيب زائد ﺃ زائد ﺏﻉ تربيع زائد ﺏ زائد ﺟﻉ زائد ﺟ يساوي ﻉ تكعيب زائد واحد. وعند مساواة المعاملات في هذه الحالة، نحصل على ﺃ يساوي واحدًا. وﺏ يساوي سالب واحد. وﺟ يساوي واحدًا. بالتالي، فإن ﻉ تكعيب زائد واحد يساوي ﻉ زائد واحد مضروبًا في ﻉ تربيع ناقص ﻉ زائد واحد. هذه المرة، نحل المعادلة ﻉ تربيع ناقص ﻉ زائد واحد يساوي صفرًا، مرة أخرى باستخدام القانون العام أو ربما بإكمال المربع. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﻉ يساوي نصفًا زائد أو ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ.

بذلك نكون قد أوجدنا الحلول الستة التي كنا نبحث عنها للمعادلة ﻉ أس ستة يساوي واحدًا. إذا أردنا التأكد من هذه الحلول، يمكننا التعويض بها في المعادلة ﻉ أس ستة يساوي واحدًا لنتأكد من صحة الإجابات.

بالنسبة للجزء (٢)، مطلوب منا تمثيل هذه النقاط على مخطط أرجاند. ‏‏ﻉ يساوي واحدًا، وﻉ يساوي سالب واحد نقطتان واضحتان تمامًا. النقطة: نصف، جذر ثلاثة على اثنين؛ تمثل الحل نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. والنقطة: سالب نصف، جذر ثلاثة على اثنين؛ تمثل الحل سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. ويمكننا تمثيل الحلين الآخرين كما هو موضح. ماذا عن الخواص الهندسية؟ يمكننا ملاحظة أن هذه الأعداد المركبة يقع كل منها على مسافات متساوية من نقطة الأصل. في الحقيقة، الحلول هي رءوس سداسي أضلاع منتظم مرسوم على دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا تمثيل العدد المركب ﺱ زائد ﺹﺕ على مستوى أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ﺱ وﺹ. كما تعلمنا أنه يوجد العديد من التفسيرات الهندسية للعمليات على الأعداد المركبة. ويمكننا تمثيل جمع الأعداد المركبة على صورة انتقال بمتجه ﺃﺏ. وتعلمنا أيضًا أن أزواج المرافقات المركبة هي انعكاسات لبعضها البعض على محور الأعداد الحقيقية. وعرفنا أن الضرب في عدد حقيقي هو تمدد مركزه نقطة الأصل بمعامل قياس هو نفس قيمة هذا العدد الحقيقي. وتعلمنا أن الضرب في ﺕ هو دوران حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 𝜋 على اثنين راديان.