فيديو الدرس: جمع المتجهات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع متجهين فأكثر في بعدين، باستخدام كل من الطريقتين البيانية والجبرية.

١٤:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتعلم كيفية جمع متجهين أو أكثر بالطريقة البيانية وباستخدام صيغة متجهات الوحدة. سنبدأ بالطريقة البيانية. قبل أن نبدأ بتعلم كيفية جمع المتجهات بيانيًّا، لننعش ذاكرتنا ونتذكر ما المقصود بالمتجه وكيف نمثله في الصورة البيانية.

المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. لنرسم مثالًا يتضمن متجهين، ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. لنجعل للمتجه ‪𝐴‬‏ مقدارًا يساوي أربع وحدات، ويتجه على طول المحور الأفقي إلى يمين الشاشة. عندما نرمز للمتجه ‪𝐴‬‏، لاحظ أننا نرسم نصف سهم فوق الحرف. هذا اصطلاح شائع لإظهار أنه متجه. في الشكل النصي، من الشائع أن يكتب المتغير بخط عريض. سنرى هذا الشكل عندما نحل بعض المسائل في نهاية الدرس.

يمكننا رسم المتجه ‪𝐵‬‏ بحيث يكون له مقدار الوحدات الأربع نفسه. ولكن هذه المرة سيتجه المتجه ‪𝐵‬‏ إلى أعلى الشاشة. مرة أخرى عندما نسمي متجهًا، سنضع نصف سهم فوق الحرف. لكلا المتجهين المقدار نفسه، ولكنهما يتجهان إلى اتجاهين مختلفين. علينا أن ننتبه جيدًا وأن نتأكد من أننا نرسم المتجهين بالطول والتمثيل الصحيحين؛ لأن هذا سيؤثر على النتيجة عندما نجمعهما معًا.

قبل أن ننتقل إلى جمع المتجهين، لنرسم متجهًا أخيرًا يتضمن مركبتين على طول كل من المحورين الأفقي والرأسي. التمثيل البياني للمتجه ‪𝐶‬‏ بطول ست وحدات أفقيًّا، وثلاث وحدات رأسيًّا. يمكننا أن نلاحظ أن للمتجه ‪𝐶‬‏ مقدارًا أفقيًّا أكبر من المتجه ‪𝐴‬‏، ولكن له مقدارًا رأسيًّا أصغر مقارنة بالمتجه ‪𝐵‬‏.

والآن بعدما قدمنا ملخصًا سريعًا عن المتجهات وكيفية تمثيلها بيانيًّا لننتقل إلى كيفية جمع المتجهات، ولنبدأ بجمعها بيانيًّا. عندما نجمع متجهين معًا، ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، يمكننا أن نكتب هذا في صورة التعبير الرياضي: ‪𝑉‬‏ يساوي ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏؛ حيث يكون ‪𝑉‬‏ المتجه الناتج عن جمع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. هذه الطريقة التي سنستخدمها لجمع المتجهين بيانيًّا هي طريقة الرأس للذيل.

في طريقة الرأس للذيل، ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله على رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه الذي لم ينقل إلى رأس المتجه المنقول. دعونا نجرب طريقة الرأس للذيل عن طريق جمع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ الظاهرين على الشبكة.

لنلق نظرة على مقدار واتجاه المتجهين قبل أن نجمعهما. للمتجه ‪𝐴‬‏ طول يساوي ثلاث وحدات أفقيًّا. وللمتجه ‪𝐵‬‏ مقدار وحدتين أفقيًّا ومقدار أربع وحدات رأسيًّا. لإيجاد المتجه الذي سيتكون نتيجة جمع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ معًا؛ سنبدأ بترك المتجه ‪𝐴‬‏ كما هو على التمثيل البياني، ونحرك المتجه ‪𝐵‬‏ حتى يصبح ذيل المتجه ‪𝐵‬‏ على رأس المتجه ‪𝐴‬‏.

من المهم للغاية أن نحافظ على قيمة المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه ‪𝐵‬‏ كما هي. في هذه الحالة لدينا وحدتان أفقيًّا، وأربع وحدات رأسيًّا. هذا هو الجزء الأصعب في استخدام الطريقة البيانية لجمع المتجهات. إذا غيرنا المركبات، فلن تكون المحصلة صحيحة.

والآن بعدما حركنا المتجه ‪𝐵‬‏ أصبحنا على استعداد لرسم متجه المحصلة، الذي يمتد من ذيل المتجه ‪𝐴‬‏ حتى يصل إلى رأس المتجه ‪𝐵‬‏. سيكون اتجاه المحصلة نحو رأس المتجه ‪𝐵‬‏، أو بعيدًا عن نقطة الأصل. يمكننا أن نسمي متجه المحصلة ‪𝑉‬‏، وهي التسمية نفسها التي أطلقناها على المتجه في التعبير الرياضي أعلى الشاشة.

لا يقتصر جمع المتجهات على متجهين فقط. لنضف متجهًا ثالثًا ‪𝐶‬‏ إلى مسألتنا الأصلية. وبذلك يساوي متجه المحصلة ‪𝑉‬‏ مجموع المتجهات ‪𝐴‬‏، و‪𝐵‬‏، و‪𝐶‬‏. نبدأ مجددًا بشبكة تتضمن المتجهات الثلاثة الأصلية التي سنجمعها معًا. سيطابق المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ المثال السابق. ولكن هذه المرة سيكون لدينا المتجه ‪𝐶‬‏ أيضًا؛ الذي له مقدار وحدتين على طول المحور الأفقي إلى يسار الشاشة، ووحدة واحدة رأسيًّا نحو أسفل الشاشة.

سنستخدم طريقة الرأس للذيل لتحريك كلا المتجهين ‪𝐵‬‏ و‪𝐶‬‏ كل على حدة. يتحرك ذيل المتجه ‪𝐵‬‏ حتى يصل إلى رأس المتجه ‪𝐴‬‏ كما فعلنا في المثال السابق. ولكن هذه المرة علينا بعد ذلك أن نحرك ذيل المتجه ‪𝐶‬‏ إلى رأس المتجه ‪𝐵‬‏.

والآن يمكننا رسم متجه المحصلة من نقطة الأصل أو من ذيل المتجه ‪𝐴‬‏ إلى رأس المتجه ‪𝐶‬‏. سيشير متجه المحصلة ‪𝑉‬‏ بعيدًا عن نقطة الأصل نحو رأس المتجه ‪𝐶‬‏. يمكننا أن نلاحظ أن متجه المحصلة يتكون من مركبة أفقية مقدارها ثلاث وحدات، ومركبة رأسية مقدارها ثلاث وحدات. تصلح هذه الطريقة لجمع أي عدد من المتجهات.

لننتقل إلى جمع المتجهات باستخدام صيغة متجهات الوحدة. نحتاج إلى أن نتذكر أن متجه الوحدة هو متجه له طول يساوي واحدًا. لنلق نظرة أخرى على المتجهات الثلاثة التي رسمناها في بداية الفيديو بينما كنا ننعش ذاكرتنا بتذكر ما هو المتجه وكيف يمكن رسمه بيانيًّا.

لنبدأ بالمتجه ‪𝐴‬‏. قلنا إن له مقدارًا يساوي أربع وحدات إلى اليمين على طول المحور الأفقي. في صيغة متجهات الوحدة، قد نقول إن المتجه ‪𝐴‬‏ يساوي القيمة أربعة ‪𝑖‬‏. ويمثل حرف ‪𝑖‬‏ المحور الأفقي. سيبدو التعبير الرياضي على هذا النحو. ‏‪𝐴‬‏ يساوي أربعة ‪𝑖‬‏ مع سهم غير مكتمل فوقه؛ حيث يشير هذا السهم الغير مكتمل إلى أنه متجه وحدة. في الشكل النصي، يكتب ‪𝑖‬‏ بخط عريض لإظهار أنه متجه وحدة.

قلنا إن المتجه ‪𝐵‬‏ له مقدار يساوي أربع وحدات باتجاه أعلى الشاشة على طول المحور الرأسي. في صيغة متجهات الوحدة، يمكننا القول إن المتجه ‪𝐵‬‏ يساوي أربعة ‪𝑗‬‏، ويكون التعبير الرياضي ‪𝐵‬‏ يساوي أربعة ‪𝑗‬‏. ونضع سهم غير مكتمل فوق الحرف ‪𝑗‬‏ لتدل على أنه متجه وحدة.

المتجه ‪𝐶‬‏ يساوي مقدار ست وحدات باتجاه اليمين على طول المحور الأفقي، ومقدار ثلاث وحدات باتجاه أعلى الشاشة على طول المحور الرأسي. في صيغة متجهات الوحدة، سيكون للمتجه ‪𝐶‬‏ قيمة تساوي ستة ‪𝑖‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑗‬‏. وسيكون التعبير الرياضي ‪𝐶‬‏ يساوي ستة ‪𝑖‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑗‬‏، مع وضع سهم غير مكتمل فوق كل من ‪𝑗‬‏ و‪𝑖‬‏ لإظهار أنهما متجها وحدة.

والآن بعدما تذكرنا ما هو متجه الوحدة، لنتناول كيفية جمع المتجهات عندما تكون في صيغة متجهات الوحدة. عند جمع المتجهات في صيغة متجهات الوحدة، فإننا نجمع المركبات معًا. نجمع مركبتي ‪𝑖‬‏ معًا، ومركبتي ‪𝑗‬‏ معًا. وسيكون لمتجه المحصلة ‪𝑉‬‏ في صيغة متجهات الوحدة مركبة ‪𝑖‬‏ تجمع جميع متجهات الوحدة ‪𝑖‬‏، ومركبة ‪𝑗‬‏ تجمع جميع متجهات الوحدة ‪𝑗‬‏.

إذا كان لدينا متجهان في صيغة متجهات الوحدة، فسيساوي المتجه ‪𝐴‬‏ أربعة ‪𝑖‬‏ زائد تسعة ‪𝑗‬‏، وسيساوي المتجه ‪𝐵‬‏ سبعة ‪𝑖‬‏ زائد خمسة ‪𝑗‬‏. ماذا سيكون مجموع المتجهين ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏؟ ننظر إلى المتجه ‪𝑉‬‏ الذي سيكون محصلة جمع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. ونبدأ بجمع مركبتي ‪𝑖‬‏ معًا؛ أربعة ‪𝑖‬‏ زائد سبعة ‪𝑖‬‏. أربعة زائد سبعة يساوي 11. للمحصلة مركبة تساوي 11𝑖. نجمع مركبتي ‪𝑗‬‏ معًا؛ تسعة ‪𝑗‬‏ زائد خمسة ‪𝑗‬‏. تسعة زائد خمسة يساوي 14. للمحصلة مركبة تساوي 14𝑗. يمكننا أن نقول إن متجه المحصلة ‪𝑉‬‏ يساوي 11𝑖 زائد 14𝑗.

حتى وإن كانت إحدى المركبتين سالبة، فسنظل نجمعهما. ولكننا سنضع الإشارة السالبة في اعتبارنا هذه المرة. إذا كانت مركبة ‪𝑗‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏ تساوي سالب خمسة وليس موجب خمسة، فعندما نجمع المركبتين معًا لن نحصل على 14𝑗. بل سنحصل على تسعة زائد سالب خمسة أو ما يساوي أربعة ‪𝑗‬‏.

لنجرب مثالين على جمع المتجهات معًا؛ أحدهما سنجمع فيه المتجهات بيانيًّا، والآخر سنجمع فيه المتجهات باستخدام صيغة متجهات الوحدة.

أي المتجهات: ‪𝑃‬‏، أو ‪𝑄‬‏، أو ‪𝑅‬‏، أو ‪𝑆‬‏، أو ‪𝑇‬‏ الموضحة في الشكل يساوي ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏؟

يعرض الشكل سبعة متجهات، بما فيها المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. وطلب منا أن نكتشف أي من المتجهات الخمسة ‪𝑃‬‏، و‪𝑄‬‏، و‪𝑅‬‏، و‪𝑆‬‏، و‪𝑇‬‏ يساوي محصلة ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏. أعطيت المتجهات لنا في الصورة البيانية. لذا، يمكننا أن نجمع المتجهات معًا بيانيًّا باستخدام طريقة الرأس للذيل.

في طريقة الرأس للذيل، ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله على رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه الذي لم ينقل إلى رأس المتجه المنقول. في المسألة، سنحرك المتجه ‪𝐵‬‏ حتى يصبح ذيل المتجه ‪𝐵‬‏ على رأس المتجه ‪𝐴‬‏. ونتأكد من أن مركبتي المتجه ‪𝐵‬‏، بينما نرسمه الآن، هما نفسهما مركبتا المتجه ‪𝐵‬‏ الأصلي. في هذه الحالة، قد يعني هذا أن يكون بمقدار وحدتين أفقيًّا إلى اليمين، وثلاث وحدات رأسيًّا إلى أعلى الشاشة.

نرسم متجه المحصلة بداية من ذيل المتجه ‪𝐴‬‏ إلى رأس المتجه ‪𝐵‬‏. واتجاه المحصلة يكون بعيدًا عن نقطة الأصل، أو نحو رأس المتجه ‪𝐵‬‏. يمكننا أن نلاحظ أن متجه المحصلة الذي رسمناه يقع على طول المتجه ‪𝑄‬‏. لذا، يمكننا أن نقول إن المتجه ‪𝑄‬‏ هو المتجه الذي يساوي ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏. من بين المتجهات الخمسة المرسومة في الشكل ‪𝑃‬‏، أو ‪𝑄‬‏، أو ‪𝑅‬‏، أو ‪𝑆‬‏، أو ‪𝑇‬‏؛ المتجه ‪𝑄‬‏ هو الذي يساوي ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏.

والآن، لننظر إلى مثال آخر حيث يمكننا استخدام صيغة متجهات الوحدة.

لدينا المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. المتجه ‪𝐴‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑗‬‏، والمتجه ‪𝐵‬‏ يساوي سبعة ‪𝑖‬‏ زائد خمسة ‪𝑗‬‏. احسب ‪𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏.

في هذه المسألة، ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ متجهان. وإذ إننا سنحل هذه المسألة جبريًّا، فسنرسم أنصاف أسهم فوق الحرفين لإظهار أنهما متجهان. ننظم المتجهين رأسيًّا بالإضافة إلى علامة جمع حتى نسهل على أنفسنا جمع المركبات معًا.

نحتاج إلى تذكر أنه عندما نجمع متجهات الوحدة، فإننا نجمع كل مركبة على حدة، الأمر الذي يعني أن نجمع مركبتي ‪𝑖‬‏ معًا، ومركبتي ‪𝑗‬‏ معًا كل على حدة. يمكننا أن نقول إن المتجه ‪𝑉‬‏ سيكون متجه المحصلة الناتج عن جمع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. لتحديد مركبتي ‪𝑉‬‏، نبدأ بجمع مركبتي ‪𝑖‬‏ معًا. اثنان ‪𝑖‬‏ زائد سبعة ‪𝑖‬‏ يساوي تسعة ‪𝑖‬‏. ثم نجمع مركبتي ‪𝑗‬‏ معًا. ثلاثة ‪𝑗‬‏ زائد خمسة ‪𝑗‬‏ يساوي ثمانية ‪𝑗‬‏. عندما نجمع متجهين باستخدام صيغة متجهات الوحدة، والمتجه ‪𝐴‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑗‬‏، والمتجه ‪𝐵‬‏ يساوي سبعة ‪𝑖‬‏ زائد خمسة ‪𝑗‬‏؛ نحصل على تسعة ‪𝑖‬‏ زائد ثمانية ‪𝑗‬‏.

النقاط الأساسية من الدرس. جمع المتجهات بيانيًّا باستخدام طريقة الرأس للذيل. عند جمع المتجهات باستخدام صيغة متجهات الوحدة؛ نجمع مركبتي ‪𝑖‬‏ معًا، ومركبتي ‪𝑗‬‏ معًا كل على حدة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.