نسخة الفيديو النصية
يدور عداء دورة كاملة حول حافة ملعب مستطيل الشكل. طولا ضلعي الملعب اللذين يجري فيهما العداء باتجاه الشرق-الغرب 40 مترًا، وطولا الضلعين اللذين يجري فيهما العداء باتجاه الشمال-الجنوب 20 مترًا. السرعة المتوسطة للعداء ثمانية أمتار لكل ثانية. حينما كان يركض هذا العداء، كانت عداءة أخرى تركض ذهابًا وإيابًا بين ركنين متقابلين في الملعب، ووصلت العداءة إلى الركن المقابل للركن الذي بدأت منه الحركة للمرة الثانية في نفس اللحظة التي يكمل فيها العداء دورته حول حدود الملعب. ما السرعة المتوسطة للعداءة؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. حينما كانت تركض العداءة بين الركنين المتقابلين في الملعب، كم كانت سرعتها المتوسطة في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشرق-الغرب من الملعب؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. حينما كانت تركض العداءة بين الركنين المتقابلين في الملعب، كم كانت سرعتها المتوسطة في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشمال-الجنوب من الملعب؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
حسنًا، يتكون هذا السؤال من ثلاثة أجزاء مختلفة، وسنتناول هذه الأجزاء واحدًا تلو الآخر. لكن أولًا دعونا نبدأ بإفراغ بعض المساحة وتلخيص المعطيات التي لدينا في السؤال.
لدينا عداء وعداءة يجريان في ملعب، دعونا نشر إلى العداء المذكور في السؤال أولًا بالعداء واحد، ونشر للعداءة الثانية بالعداءة اثنين. نعلم من المعطيات أن الملعب على شكل مستطيل طولا ضلعيه اللذين يجري فيهما العداء باتجاه الشرق-الغرب 40 مترًا، وطولا ضلعيه اللذين يجري فيهما العداء باتجاه الشمال-الجنوب 20 مترًا. يجري العداء الأول، أي العداء واحد، دورة واحدة كاملة حول حافة هذا الملعب. إذن، إذا افترضنا أنه بدأ الجري من الركن السفلي الأيسر وأكمل دورته في اتجاه عقارب الساعة، فإن هذا المسار الذي رسمناه باللون البرتقالي يوضح المسار الذي يقطعه العداء. نعلم أن السرعة المتوسطة للعداء واحد تساوي ثمانية أمتار لكل ثانية. سنرمز إلى هذه السرعة بـ 𝑣 واحد، ونستخدم العدد واحدًا للإشارة إلى أن هذه الكمية خاصة بالعداء واحد.
تتعلق المعطيات الأخرى التي لدينا بالعداءة الثانية، التي نشير إليها بالعداءة اثنين. يخبرنا السؤال أنها تجري في الملعب نفسه الذي يجري فيه العداء واحد، ولكنها تتبع مسارًا آخر ذهابًا وإيابًا بين ركنين متقابلين من الملعب. حسنًا، إذا بدأت العداءة الجري من هذا الركن السفلي الأيسر، فإنها تركض ذهابًا وإيابًا بين هذا الركن والركن العلوي الأيمن. أي أنها تجري في الملعب بطول هذا القطر المستقيم. ونعلم أنه في اللحظة نفسها التي يكون فيها العداء واحد قد أكمل دورة واحدة حول حواف الملعب، تصل العداءة اثنان إلى الركن المقابل لنقطة بدايتها للمرة الثانية.
إذن، المسار الذي تقطعه العداءة اثنان خلال هذا الزمن هو البدء أولًا من الركن السفلي الأيسر، وهو نقطة بدايتها، إلى الركن العلوي الأيمن المقابل، ثم العودة من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار، ثم العودة مرة أخيرة من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين، بحيث يكون في نفس الوقت الذي قطع فيه العداء واحد المسافة حول الحواف الأربع للملعب وعاد مرة أخرى إلى نقطة بدايته، تكون العداءة اثنان قد عادت إلى هذا الركن المقابل للمرة الثانية. إذن المسار الذي تقطعه العداءة اثنان يساوي ثلاثة أمثال قطر الملعب.
نحن نعلم أن كل عداء يستغرق نفس الزمن لقطع مساره. دعونا نرمز إلى هذا الزمن بـ 𝑡. أثناء تسمية المعطيات التي لدينا، دعونا أيضًا نعط اسمًا للمسافة التي قطعها كل عداء. سنسمي المسافة التي يركضها العداء واحد 𝑑 واحدًا، والمسافة التي تركضها العداءة اثنان 𝑑 اثنين. لم يخبرنا السؤال بقيم 𝑡 أو 𝑑 واحد أو 𝑑 اثنين. ولكننا سنتمكن من إيجاد هذه القيم. وقبل ذلك، وبما أننا لخصنا جميع المعلومات المعطاة لنا في السؤال، دعونا نذكر أنفسنا بما يطلبه الجزء الأول من السؤال.
حسنًا، الجزء الأول من السؤال هو: «ما السرعة المتوسطة للعداءة اثنين؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.»
لعلنا نتذكر أنه إذا قطع جسم مسافة كلية مقدارها 𝑑 في زمن كلي مقداره 𝑡، فإن السرعة المتوسطة 𝑣 لهذا الجسم تساوي 𝑑 مقسومة على 𝑡. ونحن نريد حساب قيمة هذه السرعة المتوسطة للعداءة اثنين. من المعطيات الموجودة لدينا في السؤال، نعلم المسار الذي تقطعه العداءة اثنان. وهذا يعني أنه في معادلة حساب السرعة المتوسطة هذه، سيمكننا إيجاد قيمة المسافة الكلية التي تقطعها العداءة اثنان. ولكننا لا نعرف حاليًّا قيمة الزمن الذي تستغرقه العداءة اثنان. لذا، قبل أن نتمكن من استخدام هذه المعادلة لحساب السرعة المتوسطة للعداءة اثنين، علينا إيجاد طريقة لإيجاد قيمة الزمن 𝑡.
الأمر المهم الذي علينا تذكره من المعلومات التي يخبرنا بها السؤال هو أن العداءة اثنين والعداء واحدًا يستغرقان الزمن نفسه 𝑡 لإكمال مساريهما. بما أننا نعلم السرعة المتوسطة للعداء واحد، ويمكننا استخدام مساره لحساب المسافة الكلية التي يقطعها، فسيكون بإمكاننا استخدام هاتين القيمتين وهذه المعادلة لحساب قيمة الزمن 𝑡. ومن ثم، ستكون قيمة 𝑡 هذه هي نفسها للعداءة اثنين، وعندئذ يمكننا حساب المسافة التي تقطعها من مسارها. وعند هذه النقطة، سيمكننا استخدام قيمتي المسافة والزمن بالإضافة إلى هذه المعادلة لحساب السرعة المتوسطة للعداءة اثنين.
دعونا نبدأ هذه العملية بحساب المسافة 𝑑 واحد التي يقطعها العداء واحد. نعلم أن العداء واحدًا يركض مرة واحدة بطول كل حافة من حواف الملعب الأربع. طول الحافة الأولى 20 مترًا، وطول الحافة الثانية 40 مترًا، وطول الحافة الثالثة 20 مترًا أيضًا، وطول الحافة الرابعة والأخيرة 40 مترًا. ومن ثم، فإن المسافة الكلية 𝑑 واحدًا التي يقطعها العداء واحد تساوي 20 مترًا للحافة الأولى زائد 40 مترًا للحافة الثانية زائد 20 مترًا أخرى للحافة الثالثة زائد 40 مترًا أخرى للحافة الرابعة. وبجمع كل هذه المسافات، نجد أن 𝑑 واحدًا تساوي 120 مترًا.
والآن، بعد أن عرفنا المسافة الكلية والسرعة المتوسطة للعداء واحد، يمكننا استخدام هاتين القيمتين لحساب الزمن 𝑡 الذي يستغرقه. وللقيام بذلك، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𝑡 المتغير التابع. الخطوة الأولى هي ضرب طرفي المعادلة في 𝑡 بحيث يلغي 𝑡 في بسط ومقام الطرف الأيمن أحدهما الآخر. ثم نقسم طرفي المعادلة على 𝑣 بحيث يلغي 𝑣 من بسط ومقام الطرف الأيسر أحدهما الآخر. ويعطينا هذا معادلة تنص على أن الزمن 𝑡 يساوي المسافة 𝑑 مقسومة على السرعة 𝑣.
عند استخدام هذه المعادلة مع العداء واحد، يمكننا إضافة العدد السفلي واحد للكميتين 𝑑 و𝑣. وبعد ذلك يمكننا التعويض بقيمتي 𝑑 واحد و𝑣 واحد لحساب الزمن 𝑡. عندما نفعل ذلك، نحصل على 𝑡 يساوي 120 مترًا مقسومًا على ثمانية أمتار لكل ثانية. وهذا يساوي 15 ثانية. إذن، نعرف الآن الزمن 𝑡 الذي يستغرقه العداء واحد لإكمال مساره. ونعرف أيضًا أن العداءة اثنين تستغرق الزمن نفسه الذي يستغرقه العداء واحد. إذن، فهي تستغرق أيضًا 15 ثانية.
ما علينا فعله الآن هو حساب المسافة 𝑑 اثنين التي تقطعها العداءة اثنان. لنفعل ذلك، يمكننا ملاحظة أن القطر الذي تركض العداءة اثنان بطوله يمثل وترًا لمثلث قائم الزاوية. والضلعان الآخران في هذا المثلث هما حافتا الملعب. ونحن نعرف أن طول الحافة باتجاه الشمال-الجنوب يساوي 20 مترًا، في حين أن طول الحافة باتجاه الشرق-الغرب يساوي 40 مترًا. إذن لإيجاد طول الوتر، يمكننا أن نتذكر نظرية فيثاغورس.
تنص هذه النظرية على أنه في المثلث القائم الزاوية الذي طول وتره 𝑐 وطولا ضلعيه الآخرين 𝑎 و𝑏، فإن 𝑐 تربيع يساوي 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. أو بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة، وبما أن الجذر التربيعي لـ 𝑐 تربيع هو 𝑐، فإن هذه المعادلة تنص على أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. بالنظر إلى المثلث الخاص بالعداءة اثنين، نعرف أن طول الضلع المناظر لـ 𝑎 يساوي 40 مترًا، وطول الضلع المناظر لـ 𝑏 يساوي 20 مترًا. دعونا نسم وتر هذا المثلث ℎ.
وفقًا لنظرية فيثاغورس، نعرف أن ℎ يجب أن يساوي الجذر التربيعي لـ 40 مترًا مربعًا زائد 20 مترًا مربعًا. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ 2000 متر مربع. وبحساب قيمة الجذر التربيعي، نجد أن ℎ يساوي 44.7214 مترًا، وتشير النقاط إلى أن النتيجة تتضمن منازل عشرية أخرى.
نعلم أن العداءة اثنين تركض بطول هذا القطر ثلاث مرات، أولًا من نقطة بدايتها إلى الركن المقابل، ثم تعود مجددًا إلى نقطة البداية، ثم تركض مرة أخيرة إلى الركن المقابل. وهذا يعني أن المسافة 𝑑 اثنين التي قطعتها العداءة اثنان تساوي ثلاثة في الطول ℎ لهذا الوتر. إذن، 𝑑 اثنان يساوي ثلاثة في ℎ. وبالتعويض بالقيمة التي حسبناها لـ ℎ، نجد أن 𝑑 اثنين تساوي 134.164 مترًا.
والآن بعد أن عرفنا المسافة الكلية التي تقطعها العداءة اثنان، وكذلك الزمن الكلي الذي تستغرقه لقطع هذه المسافة، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في هذه المعادلة لحساب السرعة المتوسطة للعداءة. دعونا نفرغ بعض المساحة لنتمكن من ذلك. سنشير إلى السرعة المتوسطة للعداءة اثنين بـ 𝑣 اثنين. ونحن نعرف أنها تساوي المسافة 𝑑 اثنين مقسومة على الزمن 𝑡. إذا عوضنا عن قيمتي 𝑑 اثنين و𝑡، فسنجد أن 𝑣 اثنين تساوي 134.164 مترًا مقسومًا على 15 ثانية. وبحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على 8.944 أمتار لكل ثانية. وبما أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين، فإن إجابة هذا الجزء الأول من السؤال هي أن السرعة المتوسطة للعداءة الثانية تساوي 8.94 أمتار لكل ثانية.
والآن، نفرغ بعض المساحة ونتناول الجزء الثاني من السؤال.
حينما كانت تركض العداءة بين الركنين المتقابلين في الملعب، كم كانت سرعتها المتوسطة في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشرق-الغرب من الملعب؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
حسنًا، في الجزء الأول من السؤال، حسبنا السرعة المتوسطة للعداءة الثانية. والآن، مطلوب منا التفكير في ركض العداءة الثانية بين ركنين متقابلين في الملعب. أي أننا سنفكر في جزء من مسارها؛ حيث تبدأ الركض من الركن السفلي الأيسر بطول هذا القطر وصولًا إلى الركن العلوي الأيمن. نعلم أن هذا القطر يمثل وترًا لمثلث قائم الزاوية، لذا يمكننا القول إن السرعة المتجهة للعداءة مقدارها 8.94 أمتار لكل ثانية، وهذه هي السرعة التي أوجدناها في الجزء الأول من السؤال، واتجاهها على طول قطر الملعب الذي نعلم أنه وتر المثلث القائم الزاوية.
يمكننا التفكير في متجه السرعة هذا باعتباره المتجه المحصل المكون من مركبتين. في هذا الشكل، يمثل السهم باللون الوردي السرعة المتجهة للعداءة على طول قطر الملعب. ويمثل السهمان باللون البرتقالي مركبتي هذه السرعة المتجهة في اتجاه الشرق-الغرب، واتجاه الشمال-الجنوب، على الترتيب. يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد مركبة السرعة المتجهة للعداءة في اتجاه الشرق-الغرب. وهي المركبة التي يمثلها هذا السهم هنا، سنسميها 𝑣𝑒𝑤؛ حيث يشير الحرفان 𝑒𝑤 إلى أن هذه هي مركبة السرعة المتجهة على طول اتجاه الشرق-الغرب للملعب.
بما أننا نعلم أن المتجه المحصل للسرعة يتجه بطول قطر الملعب، فإن الزاوية في مثلث متجهات السرعة هذا، وسنشير إليها بالرمز 𝜃، لا بد أن تساوي الزاوية المناظرة في المثلث الذي رسمناه باستخدام أبعاد الملعب. في هذا المثلث، نحن نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة. ومن ثم يمكننا استخدام هذا بالإضافة إلى بعض المتطابقات المثلثية لإيجاد قيمة الزاوية 𝜃. نفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية إحدى زواياه 𝜃، وطول الضلع المجاور لهذه الزاوية 𝑎، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية 𝑜، وطول الوتر ℎ.
بالنسبة إلى هذا المثلث، فإن sin 𝜃 يساوي 𝑜 مقسومًا على ℎ، وcos 𝜃 يساوي 𝑎 مقسومًا على ℎ، وtan 𝜃 يساوي 𝑜 مقسومًا على 𝑎. وبالنسبة إلى المثلث الذي يمثل جزءًا من الملعب، نعلم أن طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 يساوي 40 مترًا، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي 20 مترًا. إذن يمكننا التعويض بـ 40 مترًا عن قيمة a و بـ 20 مترًا عن قيمة o، ثم استخدام هذه المعادلة لحساب قيمة الزاوية 𝜃.
أولًا: علينا أن نجعل الزاوية 𝜃 المتغير التابع للمعادلة. وللقيام بذلك، نوجد الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. الدالة العكسية للظل لـ tan 𝜃 هي ببساطة 𝜃. وبذلك، نعرف أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لـ 𝑜 مقسومًا على 𝑎. بالتعويض بالقيمتين 20 مترًا و 40 مترًا عن 𝑜 و𝑎 على الترتيب، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لـ 20 مقسومًا على 40، وهو ما يمكن تبسيطه إلى الدالة العكسية للظل لنصف. وبحساب قيمة الدالة العكسية للظل، نجد أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي 26.565 درجة.
نحن نعلم أن هذه الزاوية 𝜃 تساوي الزاوية في مثلث متجهات السرعة. ولذلك يمكننا استخدامها لإيجاد مركبة السرعة باتجاه الشرق-الغرب 𝑣𝑒𝑤. في مثلث متجهات السرعة هذا، يمكننا أيضًا تحديد الضلع المجاور للزاوية 𝜃، وهو 𝑎، والضلع المقابل لهذه الزاوية، وهو 𝑜، والوتر، وهو ℎ. في هذه الحالة، قيمة ℎ، أي طول الوتر، تساوي مقدار السرعة، وهو 8.94 أمتار لكل ثانية. وقيمة 𝜃 هي القيمة التي حسبناها وتساوي 26.565 درجة. ونحن نحاول إيجاد طول ضلع هذا المثلث المجاور للزاوية 𝜃. إنه الضلع 𝑎، وهو يمثل مركبة السرعة المتجهة الموازية للضلع باتجاه الشرق-الغرب للملعب.
بما أننا نعرف قيمتي ℎ و𝜃، ونريد إيجاد قيمة 𝑎، فسنستخدم هذه المعادلة التي تربط بين الكميات 𝜃 و𝑎 وℎ. دعونا نفرغ بعض المساحة لكي نتمكن من إعادة ترتيب هذه المعادلة وجعل 𝑎 المتغير التابع. لجعل 𝑎 المتغير التابع، نضرب طرفي المعادلة في الوتر ℎ. وبهذا يحذف ℎ من بسط ومقام الطرف الأيمن. وبعكس المعادلة، يصبح لدينا 𝑎 يساوي ℎ في cos 𝜃.
في هذه الحالة، 𝑎 هو قيمة 𝑣𝑒𝑤، ويمكننا متابعة الحل والتعويض بقيمتي الوتر ℎ والزاوية 𝜃. وبحساب قيمة مقدار 𝑣𝑒𝑤، نحصل على ناتج يساوي 7.996 أمتار لكل ثانية. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، لأقرب منزلتين عشريتين، فإن السرعة المتوسطة للعداءة الثانية في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشرق-الغرب من الملعب تساوي 8.00 أمتار لكل ثانية.
حسنًا، سنفرغ بعض المساحة للمرة الأخيرة ونتناول الجزء الأخير من السؤال.
حينما كانت تركض العداءة بين الركنين المتقابلين في الملعب، كم كانت سرعتها المتوسطة في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشمال-الجنوب من الملعب؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
من المفترض أن يكون حل هذا الجزء الأخير من السؤال سريعًا نسبيًّا؛ لأننا أتممنا معظم الخطوات بالفعل. يطلب منا السؤال إيجاد السرعة المتوسطة للعداءة الثانية في الاتجاه الموازي لاتجاه الشمال-الجنوب من الملعب. حسنًا، بالنظر إلى مثلث السرعات هذا، وبدلًا من إيجاد طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 الذي يمثل مركبة السرعة المتجهة في اتجاه الشرق-الغرب، نريد إيجاد طول الضلع المقابل؛ لأن هذا سيعطينا المركبة في اتجاه الشمال-الجنوب.
نحن نعرف طول الوتر، وهو مقدار محصلة السرعة المتجهة، كما نعرف قياس الزاوية 𝜃. ونريد إيجاد 𝑜، أي طول الضلع المقابل. يعني هذا أن علينا استخدام هذه المعادلة، التي تربط بين الكميات 𝜃 و𝑜 وℎ. بضرب طرفي هذه المعادلة في الوتر ℎ، فسيحذف ℎ من بسط ومقام الطرف الأيمن. ويصبح لدينا 𝑜 يساوي ℎ في sin 𝜃. في هذه الحالة، 𝑜 يساوي 𝑣𝑛𝑠، أي مركبة السرعة المتجهة على طول الضلع باتجاه الشمال-الجنوب للملعب.
بالتعويض بقيمتي ℎ و𝜃، نحصل على هذا المقدار. وبحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على السرعة المتوسطة للعداءة الثانية في الاتجاه الموازي لاتجاه ركض العداء ناحية الشمال-الجنوب من الملعب. لأقرب منزلتين عشريتين، فإن ذلك يساوي 4.00 أمتار لكل ثانية.
