فيديو السؤال: تحديد قاعدة الدالة التربيعية من تمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من الآتي يمثل معادلة الدالة المرسومة في التمثيل البياني؟ (أ) ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ثمانية. (ب) ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية. (ج) ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع ناقص ثمانية. (د) ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثمانية. (هـ) ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثمانية.

دعونا نبدأ بتحديد بعض السمات الرئيسية للدالة الممثلة بيانيًّا. نلاحظ في البداية أن ما لدينا هو قطع مكافئ، وهو في الواقع قطع مكافئ موجب أو قطع مكافئ على شكل حرف U؛ أي إنه مفتوح لأعلى. هذا يعنى أن الدالة الممثلة بيانيًّا هي دالة تربيعية. جميع القطوع المكافئة هنا متماثلة ولها خط تماثل رأسي يمر عبر رأسها. وكما نلاحظ، خط التماثل لهذه الدالة هو الخط ﺱ يساوي صفرًا أو المحور ﺹ. بناء على هاتين المعلومتين، فإننا نعلم أن الدالة الممثلة بيانيًّا تعبر عنها معادلة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ. وعلينا تحديد قيمتي الثابتين ﻙ وﺟ.

تمثل قيمة ﺟ الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة المنحنى. ونعرف ذلك لأن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يكون عند ﺱ يساوي صفرًا. وإذا أردنا إيجاد قيمة الدالة ﺩ لصفر، فسنحصل على ﻙ مضروبًا في صفر تربيع زائد ﺟ، وهو ما يساوي ﺟ. بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذه الدالة هو سالب ثمانية، وعليه فإن قيمة ﺟ تساوي سالب ثمانية. وبهذا، يصبح لدينا المعادلة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع ناقص ثمانية. لكن علينا إيجاد قيمة ﻙ. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام إحداثيات أي نقطة أخرى على المنحنى.

سنتناول النقطة التي إحداثياتها ثلاثة، واحد. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي ثلاثة، فإن ﺩﺱ يجب أن تساوي واحدًا. وبالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، وﺩﺱ تساوي واحدًا في المعادلة، يصبح لدينا واحد يساوي ﻙ مضروبًا في ثلاثة تربيع ناقص ثمانية. وهذا يبسط إلى واحد يساوي تسعة ﻙ ناقص ثمانية. نضيف بعد ذلك ثمانية إلى طرفي المعادلة لنحصل بذلك على تسعة يساوي تسعة ﻙ. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على تسعة، نجد أن ﻙ يساوي واحدًا.

لقد علمنا أن الدالة ﺩﺱ تكتب على الصورة ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ. ووجدنا أن ﻙ يساوي واحدًا وﺟ يساوي سالب ثمانية. وبهذا، تكون معادلة الدالة المرسومة في التمثيل البياني هي ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية، وهو ما يتوافق مع الخيار (ب).

دعونا نتناول بإيجاز الخيارات الأربعة الأخرى المعطاة. بالنظر إلى الخيار (هـ) ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثمانية، نجد أن هذه المعادلة تمثل دالة خطية. وهذا يعني أن هذه الدالة ستمثل بخط مستقيم. وعليه، فإننا نعلم مباشرة أن هذه ليست الدالة الصحيحة. بالنظر إلى الخيارين (أ) و(د) بعد ذلك، نجد أن قيمة ﺟ، أي الحد الثابت في كل دالة، تساوي موجب ثمانية. وبهذا، يكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهاتين الدالتين هو موجب ثمانية، وليس سالب ثمانية. وبالنظر إلى الخيار (ج)، نجد أنه يتضمن بالفعل القيمة الصحيحة للجزء المقطوع من المحور ﺹ، لكن معامل ﺱ تربيع يساوي سالب واحد، في حين أنه يجب أن يكون موجب واحد. وفي الواقع، سيمثل هذه الدالة قطع مكافئ يكون فيه الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب ثمانية، ولكن بما أن معامل ﺱ سالب، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل.

يمكننا بالطبع التحقق من إجابتنا عن طريق اختيار أي نقطة أخرى على المنحنى، مثل النقطة التي إحداثياتها سالب أربعة، ثمانية. وبالتعويض عندئذ بـ ﺱ يساوي سالب أربعة في الدالة بالخيار (ب)، يصبح لدينا ﺩ لسالب أربعة يساوي سالب أربعة تربيع ناقص ثمانية. هذا يعطينا ١٦ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ثمانية. وهذا يؤكد أن إجابتنا صحيحة. إذن، معادلة الدالة المرسومة في التمثيل البياني هي ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثمانية.