نسخة الفيديو النصية
إذا كان الخط المستقيم ﺃﺏ مماس للدائرة التي مركزها ﻡ، وقياس الزاوية ﺃﺏﻡ يساوي ٤٩ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ.
الزاوية ﺃﺩﺏ هي الزاوية التي تتكون بالانتقال من ﺃ إلى ﺩ إلى ﺏ، ومن ثم فهي الزاوية المحددة باللون البرتقالي في الشكل. والزاوية ﺃﺏﻡ هي الزاوية التي تتكون بالانتقال من ﺃ إلى ﺏ إلى ﻡ. ومن ثم، فهي الزاوية المحددة باللون الوردي في الشكل وقياسها ٤٩ درجة.
لا يمكننا حساب قياس الزاوية ﺃﺩﺏ مباشرة بناء على المعلومات المعطاة. علينا أولًا إيجاد قياسات بعض الزوايا الأخرى في الشكل. هناك معطى آخر مهم ورد في السؤال وهو أن الخط المستقيم ﺃﺏ مماس للدائرة التي مركزها ﻡ. ومن الخواص الأساسية لمماسات الدوائر أن المماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التماس.
والنقطة التي يلتقي عندها المماس مع الدائرة هي النقطة ﺃ، ونصف القطر هنا هو القطعة المستقيمة ﺃﻡ. بذلك نعرف أن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٩٠ درجة. وهكذا أصبحنا نعرف قياس زاوية أخرى في الشكل. لكن لا يمكننا حتى الآن حساب قياس الزاوية ﺃﺩﺏ مباشرة، لذلك دعونا نر إذا ما يمكننا إيجاد قياس أي من الزوايا الأخرى.
لدينا هنا مثلث. في الواقع ﺃﻡﺏ مثلث قائم الزاوية، ونعرف قياسي زاويتين من زواياه، وهما الزاوية القائمة والزاوية التي قياسها ٤٩ درجة. إذن باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث. ويمكننا حسابها عن طريق كتابة معادلة توضح أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ زائد ٤٩ درجة زائد ٩٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة. ٤٩ زائد ٩٠ يساوي ١٣٩، ومن ثم بطرح هذه القيمة من ١٨٠، نجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ٤١ درجة. بذلك نكون قد عرفنا قياس زاوية أخرى في الشكل.
ما زلنا لا نملك ما يكفي من المعلومات لحساب قياس الزاوية ﺃﺩﺏ، لكن يمكننا الآن إيجاد قياس زاوية أخرى، وهي الزاوية ﺃﻡﺩ. نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن قياس الزاوية ﺃﻡﺩ زائد قياس الزاوية الذي حسبناه للتو، وهو ٤١ درجة، يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم فإن قياس الزاوية ﺃﻡﺩ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٤١ درجة. وهذا يساوي ١٣٩ درجة. لقد أوجدنا تقريبًا قياسات جميع الزوايا في الشكل، لكننا لم نوجد قياس الزاوية التي نريدها بعد.
في الخطوة الأخيرة، نتناول المثلث ﺃﻡﺩ، الذي نعرف أن قياس زاوية فيه يساوي ١٣٩ درجة. ونلاحظ أن القطعتين المستقيمتين ﻡﺃ، ﻡﺩ نصفا قطر في دائرة واحدة مركزها ﻡ. لذا فهما متساويتان في الطول. إذن المثلث ﻡﺩﺃ مثلث متساوي الساقين، وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺩﺃﻡ يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﻡ. ومن ثم يمكننا إيجاد قياس كل من الزاويتين بطرح قياس الزاوية الثالثة، أي ١٣٩ درجة، من مجموع قياسات زوايا المثلث، الذي يساوي ١٨٠ درجة، ثم بقسمة ناتج الطرح على اثنين. بإجراء ذلك، نجد أن قياس كل من الزاويتين يساوي ٢٠٫٥ درجة.
وهكذا نلاحظ أن الزاوية ﺃﺩﻡ هي نفسها الزاوية ﺃﺩﺏ. وكلتاهما تشير إلى الزاوية المشار إليها باللون الوردي. بذلك نكون قد أكملنا حل المسألة. إذن باستخدام بعض الحقائق الأساسية عن قياسات الزوايا في المثلثات وقياسات الزوايا الواقعة على الخطوط المستقيمة، وباستخدام الخاصية الأساسية التي تنص على أن المماس لدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التماس، وجدنا أن قياس الزاوية ﺃﺩﺏ يساوي ٢٠٫٥ درجة.
