فيديو السؤال: تحديد الدالة العكسية لدالة الجيب من جداول تتضمن قيم الدالة

نسخة الفيديو النصية

توضح الجداول التالية بعض قيم الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، والدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، والدالة ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. أي من هذه الدوال تناظر الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏؟

وفقًا لرأس المسألة، لدينا ثلاثة جداول تمثل قيمًا للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، والدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، والدالة ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، على الترتيب. وإحدى هذه الدوال، ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ أو ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، هي الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏، وسنتناول كل خيار في دوره لمعرفة أي منها يمثل تلك الدالة.

أولًا، ننظر إلى الجدول الذي يحتوي على قيم الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، ونطرح السؤال: هل الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏؟ حسنًا، إذا كانت كذلك، فإن جيب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي جيب الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏، وجيب الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. إذن، نحن في حقيقة الأمر نسأل عما إذا كان جيب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. ويمكننا التحقق من الأمر باستخدام القيم الواردة في الجدول. إذن ننظر إلى زوج القيم الأول، حيث ‪𝑥‬‏ يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين وقيمة الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. ونتساءل، في حالة زوج القيم هذا، إذا ما كان جيب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. ومن ثم، فإن ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة يجب أن يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين.

وببعض المعرفة بالزوايا الخاصة أو باستخدام الآلة الحاسبة، نستخلص أن هذه العبارة صحيحة. ولكن يلزم بالطبع التأكد من صحتها كذلك لقيم ‪𝑥‬‏ والدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ الأخرى. لذا نتناول زوج القيم الثاني، الذي فيه ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف وقيمة الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝜋‬‏ على ستة. وهنا علينا أن نسأل: «هل ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ستة يساوي سالب نصف؟» وبالطبع هو كذلك. إذن يبدو الأمر صحيحًا للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، ولكن علينا التحقق من كل القيم. لذا نتابع، ونتناول زوج القيم التالي، ونتساءل عما إذا كان ‪sin‬‏ صفر يساوي صفرًا، وبالطبع هو كذلك. ونتابع إلى زوج القيم التالي، ونتساءل عما إذا كان ‪sin 𝜋‬‏ على أربعة يساوي نصفًا، وبالطبع هو ليس كذلك. ‏‪sin 𝜋‬‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين وليس نصفًا. وهذا يعني أنه في حالة زوج القيم هذا، فإن جيب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ لا يساوي ‪𝑥‬‏. ومن ثم، فالدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ ليست الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏. وبالتالي، الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ ليست الإجابة، لذا ننتقل إلى الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏.

ومن ثم، نطبق العملية نفسها ولكن للدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ بدلًا من الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. ولمعرفة ما إذا كانت الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ مساوية للدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏ أم لا، ننظر فيما إذا كان جيبها يساوي ‪𝑥‬‏، وذلك لكل قيمها الواردة في الجدول. وبالنظر في زوج القيم الأول، نتساءل عما إذا كان ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ستة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين. والإجابة هي لا؛ ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ستة يساوي في الواقع سالب نصف. لم نفلح من القيمة الأولى. ومن ثم، فجيب الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ لا يساوي ‪𝑥‬‏ في العموم. فزوج القيم هذا لا يؤكد هذا الافتراض منذ البداية. إذن الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ ليست الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏.

الآن وقد استبعدنا كلتا الدالتين ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، يتبقى لدينا خيار واحد فقط، وهو الدالة ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. لن أستغرق كثيرًا من الوقت فيها، ولكن دعونا فقط نتأكد من أن جيب ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏، وذلك لجميع القيم الواردة في الجدول. يتضح لنا أن ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين يساوي سالب واحد، و‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ستة يساوي سالب نصف، و‪sin‬‏ صفر يساوي صفرًا، و‪sin 𝜋‬‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين، و‪sin 𝜋‬‏ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين.

إذن، فإن جيب الدالة ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى كل القيم الواردة في الجدول. وبناء عليه، نستنتج أن الدالة ‪ℎ‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ هي الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏.