نسخة الفيديو النصية
يقفز ضفدع من سطح الأرض ويهبط عند نقطة تقع على بعد 16 سنتيمترًا أفقيًّا من النقطة الابتدائية، متحركًا بسرعة أفقية ثابتة. أقصى إزاحة رأسية للضفدع أعلى سطح الأرض أثناء القفزة تساوي 3.6 سنتيمترات. ما السرعة الأفقية للضفدع؟
لنبدأ برسم شكل لهذه الحالة. لدينا ضفدع يقفز من سطح الأرض. يتحرك الضفدع بسرعة ابتدائية سنسميها 𝑣 وبزاوية أعلى الأفقي سنسميها 𝜃. علمنا أن الضفدع يحلق في الهواء بسرعة أفقية ثابتة. إذن القوة الوحيدة المؤثرة على الضفدع أثناء تحليقه في الهواء لا بد أن تكون قوة الجاذبية. وهذه القوة هي وزن الضفدع ومقدارها يساوي كتلة الضفدع، التي سنسميها 𝑚، مضروبة في عجلة الجاذبية، 𝑔.
ونظرًا لأن القوة الوحيدة المؤثرة على الضفدع أثناء تحليقه في الهواء هي قوة الجاذبية، فسيسلك سلوك المقذوف. هذا يعني أن مسار الضفدع في الهواء سيكون منحنيًا. فيتحرك الضفدع لأعلى وصولًا إلى أقصى إزاحة رأسية، والتي تعرف أيضًا بأقصى ارتفاع. ويتحرك بعد ذلك لأسفل حتى يصل إلى نقطة الهبوط التي علمنا من السؤال أنها تبعد أفقيًّا عن نقطة إطلاقه. إذن نقطة الهبوط لها نفس الإزاحة الرأسية لنقطة الإطلاق. سنسمي أقصى ارتفاع للضفدع ℎ، والمسافة الأفقية بين نقطة انطلاقه ونقطة هبوطه R. وهذه تعرف أيضًا باسم المدى الأفقي للمقذوف.
علمنا من معطيات السؤال أن المدى الأفقي للضفدع يساوي 16 سنتيمترًا، وأقصى ارتفاع له 3.6 سنتيمترات. ويطلب منا السؤال أن نستخدم هذين المعطيين لإيجاد السرعة الأفقية للضفدع. سنبدأ باستعراض معادلتين لأقصى ارتفاع للمقذوف ومداه الأفقي. لنبدأ بمعادلة المدى الأفقي، وهي تنص على أن المدى الأفقي يساوي اثنين في مربع السرعة الابتدائية للمقذوف في cos زاوية الإطلاق في sin زاوية الإطلاق الكل مقسوم على عجلة الجاذبية.
والآن لنستعرض معادلة أقصى ارتفاع للمقذوف، وهي تنص على أن أقصى ارتفاع للمقذوف يساوي مربع السرعة الابتدائية للمقذوف مضروبة في sin زاوية إطلاق المقذوف تربيع الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في عجلة الجاذبية. ولكن ما علاقة هاتين المعادلتين بالسرعة الأفقية للضفدع؟
لمعرفة ذلك، دعونا نلق نظرة على الرسم الذي يوضح السرعة الابتدائية للضفدع. ذكرنا أن الضفدع يقفز من سطح الأرض بسرعة ابتدائية 𝑣 وبزاوية 𝜃 أعلى الأفقي. يمكننا أن نلاحظ أن هذه السرعة الابتدائية لها مركبة أفقية سنسميها 𝑣𝑥 ومركبة رأسية سنسميها 𝑣𝑦. ويشكل ذلك مثلثًا قائم الزاوية؛ ولذا يمكننا القول إن السرعة الأفقية للضفدع، 𝑣𝑥، تساوي السرعة الابتدائية للضفدع 𝑣 مضروبة في cos زاوية انطلاقه أعلى الأفقي 𝜃. والسرعة الرأسية الابتدائية للضفدع، 𝑣𝑦، تساوي السرعة الابتدائية للضفدع 𝑣 مضروبة في sin زاوية انطلاقه أعلى الأفقي 𝜃.
تبدو هذه الحدود مشابهة لبعض الحدود التي توجد في معادلتي المدى الأفقي وأقصى ارتفاع. لنر إن كان بإمكاننا كتابة معادلة المدى الأفقي للضفدع بطريقة نستخدم فيها 𝑣 مضروبة في cos𝜃 و𝑣 مضروبة في sin 𝜃، ولنبدأ بالمقدار الابتدائي R يساوي اثنين 𝑣 تربيع مضروبًا في cos𝜃 مضروبًا في sin𝜃 الكل مقسوم على 𝑔. لاحظ أن 𝑣 تربيع يمكن كتابته في صورة 𝑣 مضروبة في 𝑣. ولنا مطلق الحرية في تغيير ترتيب حدود الضرب، ولذا يمكننا وضع أحد الحدين 𝑣 أمام الحد sin 𝜃. إذن بإعادة ترتيب معادلة المدى الأفقي قليلًا، تصبح المعادلة بدلالة السرعة الأفقية والسرعة الرأسية. وبدلًا من 𝑣 مضروبة cos𝜃، يمكننا كتابة 𝑣𝑥. وبدلًا من 𝑣 مضروبًا sin𝜃، يمكننا كتابة 𝑣𝑦.
بذلك أصبح لدينا مقدار للمدى الأفقي للضفدع بدلالة سرعة الضفدع الأفقية وسرعته الرأسية الابتدائية وعجلة الجاذبية. نعلم بالفعل المدى الأفقي للضفدع، وكذلك عجلة الجاذبية. إذن لتحديد السرعة الأفقية للضفدع، التي نهدف لإيجادها، علينا أولًا حساب السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع، 𝑣𝑦.
لكن قبل أن نبدأ في حساب السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع، سندون معادلة المدى الأفقي هذه بدلالة 𝑣𝑥 و𝑣𝑦 بدلًا من المعادلة الأصلية للمدى الأفقي. لإيجاد مقدار يعبر عن السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع، يمكننا النظر إلى المعادلة التي تعبر عن أقصى ارتفاع له. بالنظر أولًا إلى المقدار الابتدائي، ℎ يساوي 𝑣 تربيع مضروبًا في sin 𝜃 تربيع مقسومًا على اثنين 𝑔، نلاحظ أن 𝑣 تربيع مضروبًا في sin 𝜃 تربيع يساوي 𝑣 مضروبة في sin 𝜃 الكل تربيع. وهكذا يمكننا إعادة كتابة المقدار الذي يعبر عن أقصى ارتفاع ليصبح ℎ يساوي 𝑣 مضروبة في sin 𝜃 الكل تربيع مقسومًا على اثنين 𝑔. ونعلم أن 𝑣 مضروبًا في sin𝜃 يساوي السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع. ومن ثم يمكننا كتابة ذلك في صورة ℎ يساوي 𝑣𝑦 تربيع على اثنين 𝑔.
نحاول إيجاد مقدار يعبر عن السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع. لذا علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة بدلالة 𝑣𝑦. سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في اثنين 𝑔، وهكذا يحذف الحدان اثنان والحدان 𝑔 من الطرف الأيمن. بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. الجذر التربيعي لـ 𝑣𝑦 تربيع هو 𝑣𝑦، ما يعطينا المقدار الذي يعبر عن السرعة الرأسية للضفدع، وهو ما سندونه هنا على اليسار. بالنظر إلى معادلة المدى الأفقي للضفدع، نجد أننا نعلم المدى الأفقي. ونعلم أيضًا عجلة الجاذبية، ولدينا الآن مقدار للسرعة الرأسية الابتدائية للضفدع، 𝑣𝑦.
كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على مقدار للسرعة الأفقية للضفدع، 𝑣𝑥. نبدأ بضرب طرفي المعادلة في 𝑔. فيحذف الحدان 𝑔 من الطرف الأيمن. نقسم بعد ذلك طرفي المعادلة على اثنين، فيحذف المعاملان اثنان من الطرف الأيمن. وأخيرًا، نقسم طرفي المعادلة على 𝑣𝑦، فيحذف الحدان 𝑣𝑦 من الطرف الأيمن. وهكذا يصبح لدينا مقدار لـ 𝑣𝑥، أي السرعة الأفقية للضفدع.
وأخيرًا، نعوض بالمقدار الذي يعبر عن السرعة الرأسية الابتدائية للضفدع في هذه المعادلة. وهذا هو المقدار النهائي للسرعة الأفقية للضفدع. لنكتبه بصورة أكثر تنظيمًا. السرعة الأفقية للضفدع، 𝑣𝑥، تساوي عجلة الجاذبية، 𝑔، مضروبة في المدى الأفقي للضفدع، R، الكل مقسوم على اثنين في الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في عجلة الجاذبية، 𝑔، مضروبة في أقصى ارتفاع للضفدع، ℎ.
نعلم أن R يساوي 16 سنتيمترًا، وℎ يساوي 3.6 سنتيمترات، و𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. لكن قبل التعويض بأي من هذه القيم، يجب أن نتأكد من أن جميعها بوحدات النظام الدولي. هذا يعني أن جميع الأطوال يجب أن تكون بوحدة المتر بدلًا من السنتيمتر. إذن R يساوي 0.16 متر، وℎ يساوي 0.036 متر. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد أن 𝑣𝑥 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة في 0.16 متر، الكل مقسوم على اثنين في الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة مضروبًا في 0.036 متر. بحساب قيمة هذا المقدار بالكامل، نجد أن 𝑣𝑥 تساوي 0.93 متر لكل ثانية، لأقرب منزلتين عشريتين. إذن السرعة الأفقية للضفدع تساوي 0.93 متر لكل ثانية.
