فيديو السؤال: إيجاد عددين حاصل ضربهما أكبر ما يمكن بمعلومية مجموعهما باستخدام الاشتقاق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد العددين اللذين مجموعهما ٩٦، وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

في هذا السؤال، يطلب منا السؤال إيجاد العددين، اللذين سنرمز لهما بالرمزين ﺃ وﺏ، واللذين يساوي مجموعهما ٩٦ وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن. يمكننا أن نجرب حل هذه المسألة بالتعويض بالقيم واستخدام طريقة التجربة والتحسين. ولكن، في هذه الحالة، سنستخدم طريقة أكثر منهجية تتضمن الاشتقاق. سنبدأ بافتراض أن العدد الأول ﺃ يساوي ﺱ. وعليه، بما أن ﺃ زائد ﺏ يساوي ٩٦، فإن ﺏ يساوي ٩٦ ناقص ﺱ. يمكننا التحقق من ذلك بجمع ﺱ و٩٦ ناقص ﺱ، وهو ما يعطينا بالفعل مجموعًا يساوي ٩٦. بعد ذلك، دعونا نتناول حاصل ضرب العددين. إذا افترضنا أن حاصل الضرب هو ﺽ، فإن ﺽ يساوي ﺱ مضروبًا في ٩٦ ناقص ﺱ. وبتوزيع القوسين أو فكهما، يصبح لدينا ٩٦ﺱ ناقص ﺱ تربيع.

في هذه المرحلة، تجدر ملاحظة الإشارة الموجودة أمام الحد التربيعي. يطلب منا السؤال إيجاد القيم التي يكون فيها حاصل الضرب أكبر ما يمكن. وهذا يكافئ القيمة العظمى. ولعلنا نتذكر أنه إذا كانت لدينا دالة تربيعية، كما في هذه الحالة، وكان ﺱ تربيع سالبًا، فسنحصل على قطع مكافئ على شكل حرف ‪n‬‏. وستكون له نقطة عظمى. ونعلم أن الميل أو الانحدار ﻡ عند هذه النقطة سيساوي صفرًا. ونعلم أنه يمكننا إيجاد ميل أي دالة عن طريق الاشتقاق. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، إذا كان ﺽ يساوي ٩٦ﺱ ناقص ﺱ تربيع، فإن ﺽ شرطة أو ﺩﺽ على ﺩﺱ يساوي ٩٦ ناقص اثنين ﺱ.

يمكننا بعد ذلك إيجاد النقطة العظمى أو النقطة الحرجة من خلال جعل هذا المقدار يساوي صفرًا. إذا كان صفر يساوي ٩٦ ناقص اثنين ﺱ، فبإضافة اثنين ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة، نحصل على اثنان ﺱ يساوي ٩٦. وبالقسمة على اثنين، نحصل على ﺱ يساوي ٤٨. وهذا يعني أنه عند النقطة الحرجة أو القيمة العظمى، ﺱ يساوي ٤٨. لعلنا نتذكر أننا جعلنا أول عدد من العددين، أي ﺃ، يساوي ﺱ. إذن، ﺃ يساوي ٤٨. وبما أن العدد الثاني ﺏ يساوي ٩٦ ناقص ﺱ، فإنه يساوي ٩٦ ناقص ٤٨، وهو ما يساوي ٤٨ أيضًا. يمكننا إذن استنتاج أن العددين اللذين مجموعهما ٩٦ وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن هما ٤٨ و٤٨.

وتمكنا من الوصول إلى هذه الإجابة من خلال إيجاد تعبير لحاصل الضرب، ثم اشتقاقه، ثم مساواة المشتقة بالصفر، لأن هذا أعطانا النقطة التي يكون عندها الميل أو الانحدار يساوي صفرًا، ومن ثم، توصلنا إلى نقطة القيمة العظمى.