فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة كثيرة الحدود عند نقطة باستخدام قاعدة حاصل الضرب الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب اثنين، إذا كانت ‎ ﺹتساوي أربعة ﺱ ناقص واحد في سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة.

علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولذا، فنحن بحاجة إلى اشتقاق أربعة ﺱ ناقص واحد في سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة بالنسبة إلى ﺱ. أود في هذا الفيديو عرض طريقتين لحل هذه المسألة. في الطريقة الأولى، سنفك الطرف الأيسر باستخدام خاصية التوزيع، ثم نشتق الحدود واحدًا بعد الآخر. والطريقة الثانية أن نستخدم قاعدة حاصل الضرب لإجراء الاشتقاق، والتي تسمح لنا بإيجاد مشتقة حاصل ضرب عاملين، طالما أننا نعرف مشتقتي هذين العاملين.

سنذكر المزيد عن ذلك لاحقًا، لكن دعونا أولًا نفك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع. يكتب ﺹ الآن على هيئة كثيرة الحدود في ﺱ، والتي يمكننا اشتقاقها حدًا بعد الآخر‎. إذن نشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. وكما قلنا، يمكننا اشتقاق كل حد على حدة، ثم جمع النتائج أو طرحها حسب الاقتضاء.

والآن، كيف نشتق كل حد من الحدود؟ حسنًا، لدينا صيغة لإيجاد مشتقة قوة ما لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ‎‏: ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بعبارة أخرى، لاشتقاق قوة ما لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فإننا نكتب الأس مضروبًا في تلك القوة، ثم نطرح واحدًا من الأس الأصلي.

وبما أن مشتقة ضرب عدد ثابت في دالة ما تساوي ذلك العدد مضروبًا في مشتقة الدالة، إذن فالمشتقة ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺃ في ﺱ أس ﻥ تساوي ﺃ في ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد.‎ يمكننا تطبيق هذه القاعدة لإيجاد ﺩ على ﺩﺱ لسالب ١٢ﺱ أس أربعة، حيث ﺃ يساوي سالب ١٢ وﻥ يساوي أربعة. نحصل إذن على سالب ١٢ في أربعة ﺱ أس أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب ٤٨ﺱ تكعيب.

ثم مشتقة ٢٨ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ٢٨؛ لأن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا. وذلك أمر يمكنك التوصل إليه باستخدام قاعدة القوى، وذلك بجعل ﻥ يساوي واحدًا، أو من خلال معرفة بعض الحقائق عن التمثيلات البيانية للخط المستقيم.

مشتقة ثلاثة ﺱ أس ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ هي تسعة ﺱ تربيع، حيث يأتي العدد تسعة نتيجة ضرب المعامل ثلاثة في الأس ثلاثة. وبعد أن أتممنا عملية الضرب، علينا أن نطرح واحدًا من الأس — لينقص من ثلاثة إلى اثنين.

وأخيرًا، فإن مشتقة الدالة الثابتة سبعة تساوي صفرًا. إذن هذا هو ناتج ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا كان هذا هو ما نبحث عنه، فربما نريد تبديل موقعي الحدين الأخيرين تسعة ﺱ تربيع و٢٨ حتى نكتب الحدود مرتبة حسب الدرجة. لكننا في الواقع، لسنا مهتمين بالمشتقة بدلالة ﺱ. بصرف النظر عن ذلك، فإنها تتيح لنا إيجاد المشتقة عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين.

لذا، يتعين علينا إيجاد قيمة هذا المقدار عند ﺱ يساوي سالب اثنين. باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ٤٤٨. توصلنا إلى هذه القيمة من خلال فك مقدار ﺹ بدلالة ﺱ باستخدام خاصية التوزيع، ثم اشتقاق كثيرة الحدود التي حصلنا عليها. لكن يمكننا أيضًا حل هذه المسألة باستخدام قاعدة حاصل الضرب.

تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين تساوي الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد مشتقة الدالة الأولى في الدالة الثانية. يمكننا تطبيق قاعدة حاصل الضرب لإيجاد مشتقة حاصل ضرب أربعة ﺱ ناقص واحد في سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة.

بما أن الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص واحد، والدالة ﻕ في المتغير ﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة، فإن الحد الأول في الطرف الأيمن من الدالة ﺩ في المتغير ﺱ مضروبًا في مشتقة الدالة ﻕ في المتغير ﺱ يصبح أربعة ﺱ ناقص واحد مضروبًا في مشتقة سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة. ويصبح الحد الثاني مشتقة أربعة ﺱ ناقص واحد في سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد سبعة.

مهمتنا الآن هي إيجاد هاتين المشتقتين. ويكون ذلك باستخدام القواعد المذكورة سابقًا في هذا الفيديو. على وجه الخصوص، نريد مشتقة ضرب عدد ثابت في قوة ما للمتغير ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. باستخدام هذه القاعدة وحقيقة أن مشتقة الدالة الثابتة سبعة تساوي صفرًا، نجد أن المشتقة الأولى هي سالب تسعة ﺱ تربيع. كما نجد أن مشتقة أربعة ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ هي أربعة، إما باستخدام القاعدة أو باستخدام ما نعرفه عن الخطوط المستقيمة. وبالتعويض هنا، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ. ومن ثم فإن كل ما تبقى فعله هو التعويض بسالب اثنين عن ﺱ. وهكذا، نحصل على ٤٤٨ كما في الطريقة السابقة.

وبذلك، نكون قد رأينا طريقتين لإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب اثنين. بالطبع هناك طرق أخرى كان يمكننا استخدامها. كان يمكننا اشتقاق هذه القيمة من المبادئ الأولى باستخدام تعريف المشتقة بدلالة النهايات.

إن حقيقة أن قاعدة حاصل الضرب تعطي الناتج نفسه الذي تعطيه طريقة فك الحدود واشتقاقها حدًا بعد الآخر أمر مشجع؛ إذ تعني أن قاعدة حاصل الضرب التي لدينا صحيحة بالفعل. بالمثل، يمكنك التأكد من أن الشخص الذي يعتقد أن مشتقة حاصل ضرب دوال تساوي حاصل ضرب مشتقاتها سيحصل على ناتج غير صحيح. وإذا تطرق إليك الشك في أي وقت، واعتقدت أنك لا تتذكر قاعدة حاصل الضرب بشكل صحيح، فيمكنك التحقق من صحتها بمثال بسيط كهذا.

في هذه المسألة، رأينا أننا لسنا بحاجة إلى استخدام قاعدة حاصل الضرب لإيجاد الناتج. ولكن في مسائل أخرى، لن يكون هناك بد من استخدام قاعدة حاصل الضرب. سيتوجب علينا استخدامها، وسيكون علينا تذكرها.