نسخة الفيديو النصية
يوضح التمثيل البياني الآتي الدالة ﺭ ﺱ بعد الانعكاس على المحور ﺱ، والتمدد أفقيًّا بمعامل قياس مقداره نصف. أي مما يأتي يمثل الدالة الأصلية ﺩ ﺱ؟ أ: ﺩ ﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ ناقص واحد. ب: ﺩ ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد. ج: ﺩ ﺱ تساوي أربعة ﺱ زائد اثنين. د: ﺩ ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين. هـ: ﺩ ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ زائد واحد.
علمنا من معطيات السؤال أن هذا الخط المستقيم الممثل بيانيًّا يمثل الدالة ﺭ ﺱ بعد تطبيق تحويلين هندسيين عليها؛ وهما الانعكاس على المحور ﺱ، والتمدد أفقيًّا بمعامل قياس مقداره نصف. ولإيجاد الدالة الأصلية ﺩ ﺱ، علينا عكس هذين التحويلين، بدءًا بالتحويل الذي طبق أخيرًا. لكي نعكس تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره نصف، فإننا نجري تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره اثنان. ولعكس اتجاه الانعكاس على المحور ﺱ، علينا إجراء الانعكاس على المحور ﺱ مرة أخرى.
بذلك نكون قد عرفنا التحويلين الهندسيين المطلوب إجراؤهما على الدالة ﺭ ﺱ لإيجاد الدالة ﺩ ﺱ. ويمكننا إجراء هذين التحويلين إما بيانيًّا أو جبريًّا. دعونا نستخدم الطريقة البيانية أولًا. أول تحويل هندسي سنطبقه هو التمدد الأفقي بمعامل قياس مقداره اثنان. لأي إحداثي ﺹ معطى، نضاعف الإحداثي ﺱ المناظر له. ومن ثم، تتحرك كل نقطة أفقيًّا ضعف المسافة التي تبعدها عن المحور ﺹ. يوضح المستقيم الوردي التمثيل البياني للدالة ﺭ ﺱ بعد التمدد أفقيًّا بمعامل قياس مقداره اثنان. بعد ذلك، علينا إجراء الانعكاس على المحور ﺱ. ومن ثم، تتحرك الآن النقاط الواقعة أعلى المحور ﺱ المسافة نفسها أسفله، والعكس صحيح.
يوضح المستقيم البرتقالي الدالة بعد عكس كل من التحويلين. إذن، يمثل المستقيم البرتقالي الدالة ﺩ ﺱ. يمكننا الآن استخدام معرفتنا بمعادلات التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة لإيجاد معادلة الدالة ﺩ ﺱ. وسوف نستخدم صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﻡ يمثل الميل، وﺟ يمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ.
نلاحظ من التمثيل البياني أن المستقيم يقطع المحور ﺹ عند واحد. إذن، قيمة ﺟ هي واحد. يمكننا حساب ميل المستقيم باستخدام الصيغة ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد من خلال تحديد إحداثيات نقطتين تقعان على المستقيم. دعونا نستخدم النقطتين صفر، واحد؛ واثنين، خمسة. بالتعويض بهذه القيم في صيغة الميل، نحصل على خمسة ناقص واحد على اثنين ناقص صفر. هذا يساوي أربعة على اثنين، وهو ما يساوي اثنين. إذن، معادلة المستقيم البرتقالي هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. ومن ثم، فإن الدالة ﺩ ﺱ تمثلها ﺩ ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد. وهذا هو الخيار ب من بين الخيارات الخمسة لدينا.
بهذا نكون قد أجبنا عن السؤال باستخدام الطريقة البيانية. لقد عكسنا كلًّا من التحويلين بيانيًّا، ثم أوجدنا تعبيرًا جبريًّا لمعادلة الخط المستقيم الناتج. دعونا نتناول أيضًا الطريقة الجبرية. هذه المرة، سنوجد معادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺭ ﺱ أولًا، ثم نعكس التحويلين الهندسيين جبريًّا.
حسنًا، لنستخدم معرفتنا بالخط المستقيم مرة أخرى لإيجاد معادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺭ ﺱ. نلاحظ من الخط المستقيم الممثل بيانيًّا أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم يقع عند سالب واحد. ومن ثم، فإن معادلة الخط المستقيم تكون على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ ناقص واحد. وباستخدام النقطتين اللتين إحداثياتهما سالب اثنين، سبعة؛ وصفر، سالب واحد، يمكننا حساب ميل هذا المستقيم ليكون سبعة ناقص سالب واحد على سالب اثنين ناقص صفر؛ ما يساوي سالب أربعة. إذن، معادلة هذا الخط المستقيم هي ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص واحد. بعبارة أخرى: الدالة ﺭ ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ ناقص واحد.
والآن، علينا تذكر التحويل الجبري المناظر للتحويلين المذكورين. من الواضح أن التمدد الأفقي له تأثير أفقي. وكذلك المتغير الذي سنغيره. يعوض عن ﺱ بنصف ﺱ، في حين أن الانعكاس على المحور ﺱ له تأثير رأسي، ويؤدي إلى عكس الإشارات للدالة بأكملها. يحول ﻕ ﺱ إلى سالب ﻕ ﺱ. ومن ثم، علينا فقط إجراء هذين التحويلين على معادلة الدالة جبريًّا.
عند إجراء التمدد الأفقي أولًا، نحصل على سالب أربعة مضروبًا في نصف ﺱ ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص واحد. بعد ذلك، لإجراء الانعكاس على المحور ﺱ، نعكس إشارات الدالة بأكملها، وهو ما يعطينا سالب واحد مضروبًا في سالب اثنين ﺱ ناقص واحد، ما يمكن تبسيطه إلى اثنين ﺱ زائد واحد. مرة أخرى، أوجدنا أن معادلة الدالة الأصلية ﺩ ﺱ هي ﺩ ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد.
