فيديو: حل المتباينات باستخدام دوال كسرية

ما جميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل ‪(𝑥 + 3)/(𝑥 − 1) ≥ 3‬‏ صحيحة؟

٠٦:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

ما جميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل المتباينة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد أكبر من أو تساوي ثلاثة، صحيحة؟

نكتب المتباينة مرة أخرى. يمكننا ملاحظة أنه عند ضرب الطرفين في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، سنحصل على متباينة خطية. سيكون لدينا ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة في الطرف الأيسر وثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد في الطرف الأيمن. ولكن ما هي علامة المتباينة التي ستكون بينهما؟

تذكر، إذا ضربنا طرفي المتباينة في كمية موجبة، فسنحافظ على العلامة نفسها. ولكن إذا ضربنا في كمية سالبة، فسنعكس العلامة، أي نعكس اتجاهها. إذن، السؤال هو: هل الكمية التي نضرب فيها، وهي ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، موجبة أم سالبة؟

حسنًا، بالتأكيد يعتمد هذا على قيمة ‪𝑥‬‏. إذا كان ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد، فإن الكمية التي نضرب فيها ستكون موجبة. وبذلك سيكون لدينا العلامة نفسها في المتباينة: أكبر من أو يساوي. ولكن إذا كان ‪𝑥‬‏ أقل من واحد، فإن الكمية التي نضرب فيها ستكون سالبة. إذن، عند الضرب في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، نعكس علامة المتباينة من أكبر من أو يساوي إلى أقل من أو يساوي.

هناك احتمالية أخرى بالتأكيد. ‏‏‪𝑥‬‏ قد يساوي واحدًا. ولكن إذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا، فإن الطرف الأيسر من المتباينة الأصلية سيكون غير معرف؛ لأننا نقسم على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، وهو ما سيكون صفرًا. من الواضح أن ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا ليس من قيم ‪𝑥‬‏ التي تشملها المتباينة.

لدينا حالتان متبقيتان: الأولى هي عندما يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد، والثانية عندما يكون ‪𝑥‬‏ أقل من واحد. كلتا الحالتين لها متباينة خطية، يمكننا حلها بالطريقة العادية. بداية بالحالة: ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد، نضرب بالتوزيع في الطرف الأيمن، ونطرح ‪𝑥‬‏ من الطرفين، ثم نجمع ثلاثة إلى الطرفين، ونقسم على اثنين، مع ملاحظة أنه بما أن الاثنين عدد موجب، فلن نحتاج لعكس علامة المتباينة.

بكتابة ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر كالمعتاد، فإن ثلاثة أكبر من أو يساوي ‪𝑥‬‏ يصبح ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي ثلاثة. ربما نتسرع ونظن أن هذه هي الإجابة. لكن علينا أن نتذكر أننا افترضنا أن ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد لحل هذه المتباينة.

بجمع الشرطين معًا، يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ يقع بين واحد وثلاثة، ونقطة النهاية الواحد غير مشمولة؛ لأن لدينا علامة أقل من. ولكن نقطة النهاية الثلاثة مشمولة. ننتقل الآن إلى الحالة التي فيها ‪𝑥‬‏ أقل من واحد. ونكرر العملية نفسها للحل. نضرب بالتوزيع، ثم نطرح ‪𝑥‬‏ من الطرفين، ثم نجمع ثلاثة إلى الطرفين، ونقسم الطرفين على اثنين دون عكس العلامة؛ لأن اثنين عدد موجب، وأخيرًا نعيد كتابة ثلاثة أقل من أو يساوي ‪𝑥‬‏، كما هو معتاد، في صورة ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي ثلاثة.

مرة أخرى نحتاج إلى دمج شرطي ‪𝑥‬‏. يجب أن يكون ‪𝑥‬‏ أقل من واحد وأكبر من أو يساوي ثلاثة. لا يوجد أي أعداد حقيقية تحقق هذين الشرطين معًا. لا يمكن أن يكون أي عدد أقل من واحد وأكبر من أو يساوي ثلاثة في الوقت نفسه. لذلك لا نحصل على أي حلول من هذه الحالة.

قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل المتباينة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد أكبر من أو يساوي ثلاثة صحيحة هي القيم الأكبر من واحد وأقل من أو يساوي ثلاثة. لو لم نكن قد انتبهنا إلى ما إذا كانت الكمية التي نضرب فيها موجبة أم سالبة، لكنا ببساطة وضعنا العلامة نفسها دون التقسيم إلى حالات.

ولكنا حصلنا على إجابة غير صحيحة، وهي ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي ثلاثة، إذ لم نكن لندرك أنه علينا وضع افتراض إضافي بأن ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد. ومن السهل أن نرى أن ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي ثلاثة لا يمكن أن تكون إجابة صحيحة؛ لأن الصفر أقل من أو يساوي ثلاثة. ولكن الصفر لا يحقق المتباينة الأصلية.

بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر من المتباينة بالصفر، يصبح لدينا صفر زائد ثلاثة على صفر ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة، وهو ما ليس أكبر من أو يساوي الطرف الأيمن للمتباينة، أي الثلاثة. لكن يمكنك التأكد من أن ما نقوله هو الإجابة الصحيحة. ‏‏‪‏𝑥‬‏ أكبر من واحد وأقل من أو يساوي ثلاثة. إذن، فالقيم التي تقع ضمن هذه الفترة تحقق المتباينة الأصلية. ومن المهم أيضًا أن نذكر أن القيم التي تقع خارج هذه الفترة لا تحقق المتباينة الأصلية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.