نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نوجد مجال دالة جذرية ومداها، من خلال تمثيلها البياني، أو قاعدة تعريفها. على وجه التحديد، سنركز على مجال ومدى الدوال التي تتضمن جذورًا تربيعية وتكعيبية.
لنبدأ بتذكر تعريفي مجال الدالة ومداها. مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو مجموعة كل قيم 𝑥 الممكنة، بحيث يكون التعبير 𝑓 لـ 𝑥 معرفًا. بشكل غير منهجي، يمكننا التفكير في مجال الدالة على أنه مجموعة كل القيم الممكنة للدالة، أو قيمها المدخلة. أما مدى الدالة 𝑓 لـ 𝑥 فهو مجموعة كل القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها التعبير 𝑓 لـ 𝑥 عندما يكون 𝑥 أي عدد من مجال الدالة. يمكننا إذن التفكير في مدى الدالة على أنه مجموعة القيم التي تنتجها الدالة، أو قيمها المخرجة.
لنبدأ بالنظر إلى أبسط دالة جذرية: 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥. إذا كان هناك عدد حقيقي 𝑦 يحقق 𝑦 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥، فلا بد أن يتحقق أن 𝑥 يساوي 𝑦 تربيع. نعلم أن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا؛ ومن ثم، لا بد ألا يكون 𝑥 سالبًا أيضًا. هذا يعني أن أي قيمة مدخلة للدالة 𝑓 لـ 𝑥 يجب ألا تكون سالبة، وهذا يعني أن مجال دالة الجذر التربيعي هو 𝑥 أكبر من أو يساوي صفرًا. يمكننا أيضًا التعبير عن ذلك باستخدام ترميز الفترة على الصورة 𝑥 ينتمي إلى الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من صفر إلى ∞.
والآن، لنتناول مدى دالة الجذر التربيعي. إليك تمثيلها البياني. يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني يصبح أكثر تسطحًا مع تزايد قيم 𝑥. لكن قيمته تستمر في الزيادة دون حد. وهذا يخبرنا أن أي قيمة موجبة حقيقية هي قيمة مخرجة ممكنة للدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥. والقيمة صفر متضمنة أيضًا لأن الجذر التربيعي لصفر يساوي صفرًا. وبالتالي، يكون مدى دالة الجذر التربيعي هو الأعداد الحقيقية غير السالبة. يمكننا إذن القول إن 𝑓 لـ 𝑥 أكبر من أو يساوي صفرًا. مرة أخرى، يمكننا التعبير عن ذلك باستخدام ترميز الفترة على الصورة 𝑓 لـ 𝑥 تنتمي إلى الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من صفر إلى ∞.
لاحظ أننا نستخدم 𝑥 لوصف مجال الدالة، لأنها القيم المدخلة، بينما نستخدم 𝑓 لـ 𝑥 لوصف المدى لأننا نناقش القيم المخرجة. ونلاحظ أيضًا، في هذه الحالة، أن قيم مجال دالة الجذر التربيعي ومداها هي في الحقيقة متساوية. لكن الأمر لن يكون كذلك دائمًا. نلاحظ أيضًا من التمثيل البياني للدالة أن مجال الدالة يمثل جزء المحور الأفقي المرسوم عنده المنحنى، في حين أن مدى الدالة يمثل جزء المحور الرأسي المرسوم عنده المنحنى. وهذا يعطينا طريقة مفيدة لإيجاد مجال دالة ما ومداها، إذا كان تمثيلها البياني معطى لنا.
لنتناول الآن دالة جذر تربيعي عامة بشكل أكبر: 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥. هذه المرة، لا نوجد الجذر التربيعي لـ 𝑥، وإنما لدالة في 𝑥، التي نسميها 𝑔 لـ 𝑥. ومن ثم، يصبح لدينا دالة مركبة أو دالة لدالة. ونستنتج مما عرفناه سابقًا أن القيم المدخلة للدالة 𝑓 لـ 𝑥 لا بد ألا تكون سالبة. ومن ثم، لا بد ألا تكون قيم 𝑔 لـ 𝑥 سالبة. إذن مجال دالة الجذر التربيعي المركبة، كما هو موضح، هو مجموعة كل قيم 𝑥، بحيث تكون الدالة 𝑔 لـ 𝑥 أكبر من أو تساوي صفرًا. يعتمد مدى الدالة 𝑓 لـ 𝑥 على قيم الدالة 𝑔 لـ 𝑥. لكن يمكننا تحديد المدى بالنظر إلى القيم الأكبر والأصغر التي يمكن أن تأخذها الدالة، كما سنرى في الأمثلة.
لنبدأ بمثال سنوجد فيه مجال دالة جذر تربيعي مركبة.
أوجد مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لسبعة 𝑥 ناقص سبعة.
لدينا هنا دالة جذر تربيعي مركبة. إذا جعلنا الدالة 𝑔 لـ 𝑥 هي الدالة التي أسفل الجذر التربيعي، أي 𝑔 لـ 𝑥 تساوي سبعة 𝑥 ناقص سبعة، فإن 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥. لعلنا نتذكر أن مجال دالة الجذر التربيعي المركبة التي على الصورة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥 يمكن إيجاده بإيجاد مجموعة كل قيم 𝑥، حيث تكون قيم 𝑔 لـ 𝑥 غير سالبة. علينا إذن حل المتباينة سبعة 𝑥 ناقص سبعة أكبر من أو يساوي صفرًا.
يمكننا فعل ذلك بإضافة سبعة إلى كلا الطرفين أولًا، ما يعطينا سبعة 𝑥 أكبر من أو يساوي سبعة. ثم يمكننا قسمة كلا طرفي المتباينة على سبعة لنحصل على 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا. ويمكننا التعبير عن ذلك باستخدام ترميز الفترة على صورة الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من واحد إلى ∞.
لنتناول الآن مثالًا سنحدد فيه التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي مركبة من خلال النظر إلى مجالها ومداها.
أي مما يلي يمكن أن يكون التمثيل البياني لـ 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص اثنين 𝑥؟
سنحل هذه المسألة بالنظر إلى مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 ومداها. هذه دالة جذر تربيعي مركبة؛ لأنه يمكننا التفكير فيها على الصورة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥، حيث 𝑔 لـ 𝑥 هي الدالة واحد ناقص اثنين 𝑥. لعلنا نتذكر أن مجال دالة الجذر التربيعي المركبة على هذه الصورة هو مجموعة كل قيم 𝑥 التي تكون فيها قيم 𝑔 لـ 𝑥 أكبر من أو تساوي صفرًا.
يمكننا إذن إيجاد مجال هذه الدالة عن طريق حل المتباينة واحد ناقص اثنين 𝑥 أكبر من أو يساوي صفرًا. بطرح واحد من كلا الطرفين، نحصل على سالب اثنين 𝑥 أكبر من أو يساوي سالب واحد. ثم نقسم كلا الطرفين على سالب اثنين، مع تذكر أنه عند قسمة متباينة على قيمة سالبة، علينا أن نعكس اتجاه العلامة. إذن، لدينا 𝑥 أصغر من أو يساوي سالب واحد على سالب اثنين، وهو ما يساوي واحدًا على اثنين، أو نصفًا. وبذلك نكون قد وجدنا أن مجال الدالة هو مجموعة القيم من سالب ∞ إلى نصف.
علينا تذكر أنه عند تمثيل الدالة بيانيًّا، فإن مجالها يمثل جزء المحور الأفقي المرسوم عنده المنحنى. بالنظر إلى التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة، نلاحظ أن هذا يؤدي إلى استبعاد الخيارات (أ) و(ج) و(هـ) لأنها معرفة لقيم 𝑥 غير المتضمنة في الفترة من سالب ∞ إلى نصف، في حين أن الخيارين (ب) و(د) فقط هما المعرفان على الفترة الصحيحة.
لننظر الآن إلى مدى الدالة 𝑓 لـ 𝑥. نتذكر أن مدى دالة الجذر التربيعي هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية غير السالبة، التي يمكننا التعبير عنها باستخدام ترميز الفترة على صورة الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من صفر إلى ∞. وبما أن مدى الدالة 𝑔 لـ 𝑥 أسفل الجذر التربيعي هو جميع الأعداد الحقيقية، فإن الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥 له المدى نفسه الذي للجذر التربيعي لـ 𝑥. ومن ثم، فإن مدى 𝑓 لـ 𝑥 هو جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة.
تذكر أنه على التمثيل البياني لدالة ما، يمثل مداها جزء المحور الرأسي المرسوم عنده المنحنى. في التمثيل البياني (ب)، نلاحظ أن الدالة تقع أسفل المحور 𝑥 بالكامل. وبالتالي، مدى هذه الدالة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية السالبة والصفر. لذا نستبعد التمثيل البياني (ب). لكن في التمثيل البياني (د)، المدى هو بالفعل مجموعة كل الأعداد الحقيقية غير السالبة، حيث يقع المنحنى أعلى المحور 𝑥 وعليه. كما نلاحظ أن هذا التمثيل البياني يمثل بالفعل الشكل الصحيح لدالة الجذر التربيعي. وبما أنه يحتوي أيضًا على المجال والمدى الصحيحين لدالة الجذر التربيعي هذه، فإنه يمكننا أن نثق في أن التمثيل البياني (د) هو التمثيل البياني لـ 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص اثنين 𝑥.
في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، أوجدنا مجال دوال الجذر التربيعي المركبة ومداها عندما يكون التعبير الموجود داخل الجذر التربيعي خطيًّا. في المثال التالي، سنوجد مجال دالة جذر تربيعي مركبة ومداها يكون فيها التعبير داخل الجذر التربيعي دالة قيمة مطلقة.
افترض أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة. الجزء الأول: أوجد مجال 𝑓 لـ 𝑥؛ الجزء الثاني: أوجد مدى 𝑓 لـ 𝑥.
في هذه المسألة، لدينا دالة جذر تربيعي مركبة على الصورة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥. لعلنا نتذكر أن مجال دالة الجذر التربيعي المركبة هو مجموعة كل قيم 𝑥 حيث تكون قيم 𝑔 لـ 𝑥 غير سالبة. في هذه الدالة، يعطينا ذلك المتباينة أربعة ناقص القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة أكبر من أو يساوي صفرًا.
لحل هذه المتباينة، علينا أولًا أن نعزل دالة القيمة المطلقة. يمكننا طرح أربعة من كلا طرفي المتباينة ثم ضرب طرفيها في سالب واحد أو قسمتهما على سالب واحد، مع تذكر أنه عندما نفعل ذلك لا بد أن نعكس اتجاه علامة المتباينة. إذن، لدينا القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة أصغر من أو يساوي أربعة. إذا كانت القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة أقل من أو تساوي أربعة، فهذا يعني أن مسافة قيمة التعبير 𝑥 ناقص خمسة من صفر لا بد ألا تزيد عن أربعة. بعبارة أخرى، 𝑥 ناقص خمسة أكبر من أو يساوي سالب أربعة وأصغر من أو يساوي أربعة.
لحل هذه المتباينة المركبة، نضيف خمسة إلى كل جزء، فنحصل على 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من أو يساوي تسعة. وعليه، نجد أن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو الفترة المغلقة من واحد إلى تسعة.
لنتناول الآن مدى الدالة 𝑓 لـ 𝑥. بما أن مدى دالة ما هو مجموعة جميع القيم الممكنة لهذه الدالة، فيمكننا الحصول على المدى بالنظر إلى أكبر وأصغر قيمتين يمكن أن تأخذهما الدالة. وبما أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 دالة جذر تربيعي، فإننا نعرف أنها لا يمكن أن تنتج عنها قيم سالبة. ومن ثم، تكون قيم 𝑓 لـ 𝑥، على الأقل، أكبر من أو تساوي صفرًا. سيكون الصفر أصغر قيمة للدالة إذا كان من الممكن الحصول على صفر من قيمة ما في مجال 𝑓 لـ 𝑥.
ولمعرفة إذا ما كان الصفر قيمة مخرجة ممكنة لهذه الدالة، يجب أن يساوي التعبير الموجود أسفل الجذر التربيعي صفرًا، لأن الجذر التربيعي لصفر يساوي صفرًا. وهذا سيعطينا المعادلة أربعة ناقص القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة يساوي صفرًا. حل معادلة القيمة المطلقة هذه يعطينا القيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة يساوي أربعة. هذا يعني أن 𝑥 ناقص خمسة يساوي سالب أربعة أو أربعة، ما يؤدي إلى أن 𝑥 يساوي واحدًا أو 𝑥 يساوي تسعة. تقع كل من هاتين القيمتين في مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥، ما يعني أنه من الممكن أن نحصل على صفر باستخدام قيمة ما في المجال.
وبذلك نكون قد أوجدنا أصغر قيمة ممكنة للدالة 𝑓 لـ 𝑥. والآن لنفكر في أكبر قيمة ممكنة. أكبر قيمة لـ 𝑓 لـ 𝑥 ستناظر أكبر قيمة لـ 𝑔 لـ 𝑥، التي تناظر بدورها أصغر قيمة ممكنة للقيمة المطلقة لـ 𝑥 ناقص خمسة. فدالة القيمة المطلقة تكون قيمتها غير سالبة دائمًا، لذا تكون قيمتها الأصغر عندما تساوي صفرًا. وهذا يحدث عندما تكون قيمة 𝑥 تساوي خمسة، وهي تقع في مجال الدالة.
وبالتالي، 𝑔 لـ 𝑥 تساوي أربعة ناقص صفر، وهو ما يساوي أربعة، و𝑓 لـ 𝑥 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥. إذن، ذلك يساوي الجذر التربيعي لأربعة، وهو اثنان. إذن، أكبر قيمة لـ 𝑓 لـ 𝑥 هي اثنان. وبما أن 𝑓 لـ 𝑥 دالة متصلة، فسيكون مداها كل القيم بدءًا من أصغر قيمة إلى أكبر قيمة. ومن ثم، فهو الفترة المغلقة من صفر إلى اثنين.
وبهذا، نكون قد أكملنا حل المسألة. مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو الفترة المغلقة من واحد إلى تسعة. والمدى هو الفترة المغلقة من صفر إلى اثنين.
لنتناول الآن مجال ومدى دالة الجذر التكعيبي 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التكعيبي لـ 𝑥. يبدو التمثيل البياني لدالة الجذر التكعيبي هكذا. خلافًا لدالة الجذر التربيعي، نلاحظ أن تمثيل الدالة يمتد لكلا الطرفين الأيسر والأيمن للمحور 𝑦، ما يشير إلى أن دالة الجذر التكعيبي يمكن أن تأخذ أي أعداد حقيقية قيمًا مدخلة لها. وهذا يشير إلى أن مجال دالة الجذر التكعيبي هو الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى موجب ∞.
نلاحظ أيضًا أن هناك أجزاء من المنحنى تقع أعلى المحور 𝑥 وأسفله، مما يشير إلى أن دالة الجذر التكعيبي تنتج عنها قيم موجبة وسالبة على حد السواء. وتئول قيمة الدالة إلى موجب وسالب ∞، عندما تئول قيمة 𝑥 إلى موجب وسالب ∞، على الترتيب. وهذا يشير إلى أن مدى دالة الجذر التكعيبي هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. عرفنا إذن أنه خلافًا لدالة الجذر التربيعي، لا توجد في الواقع أي قيود على مجال دالة الجذر التكعيبي ومداها.
لنر السبب في ذلك. إذا كانت هناك قيمة حقيقية لـ 𝑦 بحيث يكون 𝑦 يساوي الجذر التكعيبي لـ 𝑥، فهذا يعني أن 𝑥 يساوي 𝑦 تكعيب. لكننا نعلم أننا إذا قمنا بتكعيب قيم موجبة، فسنحصل على ناتج موجب، بينما إذا قمنا بتكعيب قيم سالبة، فسنحصل على ناتج سالب. إذن هذه المرة، يمكن أن تأخذ 𝑥 قيمًا موجبة وسالبة والصفر أيضًا، وكذلك قيمة الدالة 𝑦.
لنتناول الآن مثالًا أخيرًا نحدد فيه مجال ومدى الدالة التي تتضمن الجذرين التربيعي والتكعيبي.
افترض أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التكعيبي لـ 125 ناقص الجذر التربيعي لاثنين 𝑥 زائد ثلاثة. الجزء (أ): أوجد مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥. الجزء (ب): أوجد مدى 𝑓 لـ 𝑥.
لدينا هنا دالة جذر تكعيبي، ودالة الجذر التربيعي في التعبير الموجود داخل الجذر التكعيبي. لعلنا نتذكر أولًا أن مجال دالة الجذر التكعيبي هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية. إذن، بما أنه لا توجد أي قيود على مجال دالة الجذر التكعيبي، فعلينا فقط التفكير في قيود دالة الجذر التربيعي.
مجال دالة الجذر التربيعي يجب أن يعطي قيمًا غير سالبة. إذن، لدينا المتباينة اثنان 𝑥 زائد ثلاثة أكبر من أو يساوي صفرًا. حل هذه المتباينة يؤدي إلى 𝑥 أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة على اثنين. إذن نجد أن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من سالب 1.5 إلى ∞، لأنه يمكننا حساب قيمة التعبير الذي أسفل الجذر التكعيبي بالكامل عندما تقع قيمة 𝑥 في هذه الفترة.
لنتناول الآن مدى 𝑓 لـ 𝑥. يمكننا كتابة الدالة على صورة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التكعيبي لـ 125 ناقص 𝑎، حيث 𝑎 يساوي الجذر التربيعي لاثنين 𝑥 زائد ثلاثة. نعلم أن مدى دالة الجذر التربيعي هو مجموعة كل القيم غير السالبة. وبالتالي، 𝑎 أكبر من أو يساوي صفرًا. أكبر قيمة لـ 𝑓 لـ 𝑥 ستناظر أصغر قيمة لـ 𝑎، وهي صفر. إذن، أكبر قيمة لـ 𝑓 لـ 𝑥 هي الجذر التكعيبي لـ 125 ناقص صفر، وهي الجذر التكعيبي لـ 125، وهو ما يساوي خمسة.
أصغر قيمة لـ 𝑓 لـ 𝑥 ستناظر أكبر قيمة لـ 𝑎. إذن، عندما تئول 𝑎 إلى ∞، فإن 𝑓 لـ 𝑥 تئول إلى الجذر التكعيبي لسالب ∞، الذي يئول بدوره إلى سالب ∞. وبما أن 𝑓 لـ 𝑥 دالة متصلة، فإن مداها سيحتوي على جميع القيم التي تقع بين أصغر قيمة لها وأكبر قيمة لها، وهي الفترة المفتوحة من اليسار والمغلقة من اليمين من سالب ∞ إلى خمسة.
وبذلك نكون قد أكملنا حل المسألة وأوجدنا مجال ومدى هذه الدالة الجذرية المعقدة إلى حد ما، التي تتضمن جذرًا تربيعيًّا وتكعيبيًّا. المجال هو الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من سالب 1.5 إلى ∞. والمدى هو الفترة المفتوحة من اليسار والمغلقة من اليمين من سالب ∞ إلى خمسة.
دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، مجال ومدى دالة الجذر التربيعي 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 هما الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين من صفر إلى ∞. ورأينا أن مجال الدالة يمثل جزء المحور الأفقي المرسوم عنده المنحنى، بينما يمثل المدى جزء المحور الرأسي المرسوم عنده المنحنى.
عندما تكون دالة الجذر التربيعي المركبة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑔 لـ 𝑥، يكون مجالها هو مجموعة قيم 𝑥 حيث تكون قيم 𝑔 لـ 𝑥 أكبر من أو تساوي صفرًا. كما رأينا أنه بالنسبة إلى دالة الجذر التكعيبي 𝑓 لـ 𝑥 تساوي الجذر التكعيبي لـ 𝑥، فإن كلًّا من مجالها ومداها هما مجموعة الأعداد الحقيقية التي يمكننا التعبير عنها في صورة الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. بالنسبة إلى دوال الجذر التربيعي أو التكعيبي الأكثر تعقيدًا، يعتمد مدى الدالة على القيم الواقعة في مجالها.
