نسخة الفيديو النصية
في أي ربع تقع 𝜃 إذا كان جا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين وجتا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين؟
لفهم هذه المسألة، علينا استخدام دائرة الوحدة. وكما نعلم، فإن دائرة الوحدة مركزها نقطة الأصل. وهي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا. ولكن كيف يمكننا الاستفادة من ذلك؟ حسنًا، دعونا أولًا ننظر إلى أربع نقاط على دائرة الوحدة. لدينا النقاط ﺱ، ﺹ؛ وﺱ، سالب ﺹ؛ وسالب ﺱ، سالب ﺹ؛ وسالب ﺱ، ﺹ.
إذا نظرنا إلى الربع العلوي الأيمن؛ حيث ﺱ، ﺹ نقطة لدينا على دائرة الوحدة، وفكرنا في قيمة جا 𝜃، فسنجد أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وفي هذه الحالة، طول الضلع المقابل سيكون التغير في ﺹ، أي إنه سيكون ﺹ. وبما أنها دائرة وحدة، فإننا نعرف أن طول الوتر هو نصف القطر، أي إنه يساوي واحدًا. وبذلك، نحصل على ﺹ على واحد. وهو ما يساوي ﺹ. حسنًا، رائع، هذا ما يساويه جا 𝜃.
إذا فكرنا في جتا 𝜃، فسنجد أنه يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وفي هذه الحالة، طول الضلع المجاور هو ﺱ؛ لأنه سيكون التغير في ﺱ. وطول الوتر يساوي واحدًا مرة أخرى؛ لأن طول الوتر هو نصف قطر الدائرة، وهو يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن هذا يساوي ﺱ. إذن، جتا 𝜃 يساوي ﺱ.
وأخيرًا، دعونا نفكر في ظا 𝜃. حسنًا، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وهذا يعطينا ﺹ على ﺱ. وبذلك، نكون قد حصلنا في الربع العلوي الأيمن على الإجابات جا 𝜃 يساوي ﺹ، وجتا 𝜃 يساوي ﺱ، وظا 𝜃 يساوي ﺹ على ﺱ. الملاحظة الأساسية هنا هي أن جميع هذه القيم موجبة. وهذا الأمر يمثل لنا أهمية كبيرة عندما نعود إليه مرة أخرى.
حسنًا، نتناول سريعًا كل ربع من الأرباع الأخرى ونوضح ما سنحصل عليه في كل ربع. عندما ننتقل إلى الربع السفلي الأيمن حيث لدينا النقطة ﺱ، سالب ﺹ؛ فإننا نجد هذه المرة أن جا 𝜃 يساوي سالب ﺹ؛ لأن هذا هو طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر، أي نصف القطر الذي يساوي واحدًا. إذن، هذا يساوي سالب ﺹ.
مرة أخرى، جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. إذن، فهو يساوي ﺱ. وهذه هي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها؛ لأن الإحداثي ﺱ لا يزال ﺱ كما هو. وهو مقسوم على واحد، أي الوتر. وعليه، فإن جتا 𝜃 يساوي ﺱ. وأخيرًا، ظا 𝜃 يساوي سالب ﺹ على ﺱ، وذلك لأنه يساوي طول الضلع المقابل، أي سالب ﺹ؛ على طول الضلع المجاور، وهو ﺱ. إذن، هذا يعطينا سالب ﺹ على ﺱ.
لقد حصلنا الآن على قيم الدوال المثلثية الثلاث. إذن، ما الذي يهمنا هنا؟ حسنًا، ما يهمنا ملاحظته هنا هو أن قيمة جتا 𝜃 فقط هي الموجبة. ونجد أن قيمتي الدالتين المثلثيتين الأخريين سالبتان. حسنًا، هذا رائع! لقد انتهينا الآن من ربعين. دعونا ننتقل إلى الربع السفلي الأيسر.
في الربع السفلي الأيسر، لدينا النقطة سالب ﺱ، سالب ﺹ على دائرة الوحدة. وهذه المرة، يمكننا ملاحظة أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن، فهو يساوي سالب ﺹ على واحد، ما يعطينا أيضًا سالب ﺹ. ولكن، جتا 𝜃 يساوي سالب ﺱ على واحد؛ لأن ﺱ هنا سالب أيضًا. وهذا يعطينا الإجابة سالب ﺱ.
وأخيرًا، لدينا ظا 𝜃، لكن نلاحظ هنا أن الأمر مختلف بعض الشيء؛ فنحن نعلم أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، وهذا يعطينا سالب ﺹ على سالب ﺱ. وفي الواقع، سالب ﺹ على سالب ﺱ يعطينا ﺹ على ﺱ. وهذا مهم لأن هذه القيمة موجبة. إذن، نلاحظ أنه في الربع السفلي الأيسر، تكون قيمة ظا 𝜃 فقط هي الموجبة. حسنًا، دعونا ننتقل إلى الربع الأخير، وهو الربع العلوي الأيسر.
لدينا هنا النقطة سالب ﺱ، ﺹ على دائرة الوحدة. إذن، جا 𝜃 يساوي ﺹ على واحد. وهذا يساوي ﺹ. جتا 𝜃 يساوي سالب ﺱ على واحد. وهذه المرة، سيساوي سالب ﺱ. وظا 𝜃 سيساوي ﺹ على سالب ﺱ. عند النظر إلى قيم هذه الدوال، نلاحظ أن قيمة جا 𝜃 فقط هي التي تكون موجبة. وهكذا نكون أكملنا الأرباع كلها، لكن ما أهمية ذلك؟
في الواقع، إذا ألقينا نظرة على الشكل، فسنلاحظ أن ما أوضحناه وأثبتناه هو مخطط إشارات الدوال المثلثية. وهذا هو المخطط الذي نستخدمه في حساب المثلثات لتوضيح المواضع التي تكون قيم الدوال المثلثية عندها موجبة أو سالبة. إذن، يمكننا ملاحظة أن جميع هذه القيم موجبة في الربع العلوي الأيمن. وفي الربع العلوي الأيسر، تكون قيمة جا 𝜃 فقط موجبة. وفي الربع السفلي الأيسر، تكون قيمة ظا 𝜃 فقط موجبة. وفي الربع السفلي الأيمن، تكون قيمة جتا 𝜃 فقط موجبة.
حسنًا، بعد أن أصبح لدينا هذه المعلومات، يمكننا استخدامها لحل المسألة. إذا نظرنا إلى القيمتين المعطاتين في السؤال، فسنجد أن جا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين. وجتا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين أيضًا. ومن ثم، نحن نعلم أن قيمتيهما موجبتان. وبما أن قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 موجبة، فلا بد أن تقع 𝜃 في الربع العلوي الأيمن، لأنه الربع الذي تكون فيه جميع قيم النسب المثلثية موجبة.
وعليه، يمكننا القول إن 𝜃 لا بد أن تقع في الربع الأول. ونحن نعرف أن هذا هو الربع الأول؛ لأن الأرباع مرقمة من واحد إلى أربعة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، بدءًا من الربع العلوي الأيمن يكون لدينا الربع رقم واحد، وفي الربع العلوي الأيسر لدينا الربع رقم اثنين، وفي الربع السفلي الأيسر لدينا الربع رقم ثلاثة، وفي الربع السفلي الأيمن لدينا الربع رقم أربعة. وهكذا، فإن الإجابة هي أن 𝜃 تقع في الربع الأول.
