نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط المقادير اللوغاريتمية. سنبدأ باسترجاع تعريف اللوغاريتم وكيفية ارتباطه بالأسس. بعد ذلك، سنستخدم هذا الارتباط بينهما لوضع بعض قوانين اللوغاريتمات التي ستساعدنا في تبسيط المقادير اللوغاريتمية.
سنبدأ بتناول إحدى قوى العدد اثنين. نحن نعلم أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢. ولكن هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك؛ وهي التفكير في القوة التي يرفع إليها العدد اثنان لنحصل على ٣٢. يمكننا كتابة ذلك على الصورة اللوغاريتمية لو ٣٢ للأساس اثنين يساوي ماذا؟ حسنًا، لقد عرفنا بالفعل أن هذا يساوي خمسة. هاتان المعادلتان هما طريقتان متكافئتان للتعبير عن العلاقة نفسها.
بشكل عام، دعونا نفكر في عدد حقيقي موجب، وهو ﺏ ، الذي لا يساوي واحدًا والعددين الموجبين الآخرين ﺱ وﺹ. لدينا هنا لو ﺹ للأساس ﺏ يساوي ﺱ، ما يعني أن ﺏ أس ﺱ يساوي ﺹ. حيث ﺏ الأساس، وﺱ الأس، وﺹ العدد داخل اللوغاريتم.
ما يعنينا الآن هو قوانين اللوغاريتمات وكيف يمكن أن تساعدنا في تبسيط المقادير اللوغاريتمية. وبما أن اللوغاريتم هو طريقة مكافئة للتعبير عن العلاقة بين عدد ما وأسه، فيمكننا إعادة صياغة قوانين الأسس. ينص قانون الأسس الأول الذي نسترجعه على أن ﺏ أس ﺱ واحد في ﺏ أس ﺱ اثنين يساوي ﺏ أس ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين. بعبارة أخرى، بالنسبة للثابت الحقيقي ﺏ ، ما دام أن الأساس له القيمة نفسها، فإننا ببساطة نجمع الأسين.
ينص قانون اللوغاريتمات المكافئ على أن لو ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ . وبالمثل، نقارن قانون الأسس الخاص بالقسمة بقانون اللوغاريتمات. نجد أن لو ﺱ واحد على ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ ناقص لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ .
حسنًا، إثبات ذلك كله خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. لكننا إذا تابعنا بهذه الطريقة، فسنتوصل إلى قانون للتعامل مع الأسس. ينص هذا القانون على أن لو ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ يساوي ﻝ في لو ﺱ للأساس ﺏ . ومن ثم، نحصل على صيغة تغيير الأساس. وهي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ على لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺱ اثنين. تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى القانونين التاليين. لو ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا، ولو واحد للأساس ﺏ يساوي صفرًا. ما يعنينا حقًا هو أن نتناول كيفية تطبيق هذه القوانين لتبسيط اللوغاريتمات.
احسب لو ١٩٢ للأساس اثنين ناقص لو ثلاثة للأساس اثنين.
سنبدأ بتذكر قانون مناسب من قوانين اللوغاريتمات. ينص هذا القانون على أنه بالنسبة للأساس الثابت ﺏ الأكبر من صفر ولا يساوي واحدًا والعددين الموجبين ﺱ واحد وﺱ اثنين، فإن لو ﺱ واحد على ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ ناقص لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ . والعكس صحيح. لذا نقول إنه عند طرح لوغاريتمين لهما الأساس نفسه، فإننا ببساطة نقسم العددين الموجودين داخل اللوغاريتمين.
في هذه المسألة؛ سنجعل ﺏ يساوي اثنين، وﺱ واحد يساوي ١٩٢، وﺱ اثنين يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا القول إن لو ١٩٢ للأساس اثنين ناقص لو ثلاثة للأساس اثنين هو نفسه لو ١٩٢ على ثلاثة للأساس اثنين. ١٩٢ على ثلاثة يساوي ٦٤. إذن يمكننا كتابة ذلك على الصورة لو ٦٤ للأساس اثنين. حسنًا، لقد قمنا بالتبسيط، ولكن ما زال علينا حساب قيمة هذا اللوغاريتم. بعبارة أخرى، علينا إيجاد قيمة لو ٦٤ للأساس اثنين. لذا، علينا أن نسترجع تعريف اللوغاريتم.
بوجه عام، نقول إن لو ﺹ للأساس ﺏ يساوي ﺱ هو نفسه قول إن ﺏ أس ﺱ يساوي ﺹ. ومن ثم، نفكر في القوة التي يرفع إليها العدد اثنان لنحصل على ٦٤. حسنًا، نحن نعلم أن اثنين أس ستة يساوي ٦٤. وبذلك، نجد أن لو ٦٤ للأساس اثنين يجب أن يساوي ستة. إذن الإجابة هي ستة.
دعونا نتناول مثالًا آخر.
أوجد قيمة لو ١٠ للأساس اثنين زائد لو ١٦ للأساس اثنين ناقص لو خمسة للأساس اثنين دون استخدام الآلة الحاسبة.
أولًا، دعونا نتذكر ترتيب إجراء العمليات الحسابية. هذا يوضح لنا أنه عند وجود عمليتي جمع وطرح في المقدار نفسه، فإننا ببساطة نتحرك من اليمين إلى اليسار. لذا سنبدأ بإيجاد قيمة لو ١٠ للأساس اثنين زائد لو ١٦ للأساس اثنين. ثم سنطرح لو خمسة للأساس اثنين. لذلك سنسترجع بعض قوانين اللوغاريتمات.
يسمى القانون الأول أحيانًا بقانون الضرب. وهو ينص على أنه بالنسبة للأساس الثابت ﺏ الأكبر من صفر ولا يساوي واحدًا والعددين الموجبين ﺱ واحد وﺱ اثنين، فإن لو ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ . والعكس صحيح بالطبع. لذا يمكننا القول إنه عند جمع لوغاريتمين لهما الأساس نفسه، فإننا نضرب الأعداد الموجودة داخل اللوغاريتمين.
وبالمثل، عند القسمة، فإن لو ﺱ واحد على ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺏ ناقص لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ . وبذلك، يمكننا القول إن لو ١٠ للأساس اثنين زائد لو ١٦ للأساس اثنين يساوي لو ١٠ في ١٦ للأساس اثنين. عادة ما نرغب في إيجاد قيمة ذلك، لكننا لن نوجدها الآن. بدلًا من ذلك، سننتقل مباشرة إلى طرح لو خمسة للأساس اثنين. نحن نعرف أن هذا يعني أنه علينا قسمة الأعداد الموجودة داخل اللوغاريتمين. إذن، يصبح لدينا لو ١٠ في ١٦ على خمسة للأساس اثنين.
نلاحظ أنه بما أننا لم نبسط ذلك، يمكننا قسمة كل من بسط الكسر ومقامه على خمسة، وهو ما يعطينا لو اثنين في ١٦ على واحد للأساس اثنين، وهو ما يساوي لو ٣٢ للأساس اثنين. تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة هذا اللوغاريتم. لذا سنسترجع تعريف اللوغاريتم. إننا نقول إن لو ﺹ للأساس ﺏ يساوي ﺱ هو نفسه قول إن ﺏ أس ﺱ يساوي ﺹ. حسنًا، الأساس هنا هو اثنان. ومن ثم، علينا أن نفكر في القوة التي يرفع إليها العدد اثنان لنحصل على الناتج ٣٢. حسنًا، نحن نعلم أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢، ولذلك، فإن لو ٣٢ للأساس اثنين يجب أن يساوي خمسة. إذن، قيمة لو ١٠ للأساس اثنين زائد لو ١٦ للأساس اثنين ناقص لو خمسة للأساس اثنين تساوي خمسة.
سنتناول الآن مثالًا يتطلب استخدام صيغة تغيير الأساس.
أوجد قيمة لو ٣٢ للأساس سبعة زائد لو ثمانية للأساس سبعة على لو ١٠ للأساس سبعة ناقص لو خمسة للأساس سبعة دون استخدام الآلة الحاسبة.
دعونا نتذكر بعض قوانين اللوغاريتمات. نحن نعلم أنه عند جمع لوغاريتمين لهما الأساس نفسه، فإننا نضرب العددين الموجودين داخل اللوغاريتمين. إذن، لو ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ . لدينا أيضًا قاعدة مشابهة خاصة بالطرح، لكن هذه المرة نقسم العددين الموجودين داخل اللوغاريتمين. سنستخدم هاتين القاعدتين لحساب قيمة بسط الكسر ومقامه. لو ٣٢ للأساس سبعة زائد لو ثمانية للأساس سبعة يساوي لو ٣٢ في ثمانية للأساس سبعة، و٣٢ في ثمانية يساوي ٢٥٦. إذن البسط هو لو ٢٥٦ للأساس سبعة. والمقام لدينا هو لو ١٠ على خمسة للأساس سبعة، وهو ما يساوي لو اثنين للأساس سبعة. بذلك نكون قد بسطنا الكسر قليلًا ليصبح لو ٢٥٦ للأساس سبعة على لو اثنين للأساس سبعة.
علينا الانتباه هنا. فمن الأخطاء الشائعة الاعتقاد بأنه لكوننا نطرح اللوغاريتمين عند قسمة العددين داخل اللوغاريتمين، فإننا يمكننا ببساطة طرح هاتين القيمتين. تذكر أن هذا ليس ما تنص عليه قوانين اللوغاريتمات. بدلًا من ذلك، سنطبق صيغة تغيير الأساس، وقد سميت بهذا الاسم لأنها تتيح لنا فعليًا تغيير الأساس لدينا.
لاستخدام هذه الصيغة، يجب أن يكون لدينا كسر به لوغاريتمان لهما الأساس نفسه. إذن، لو ﺱ واحد للأساس ﺏ على لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺱ اثنين. وبمقارنة هذه الصورة العامة بالكسر لدينا، نجد أن الأساس ﺏ يساوي سبعة. ﺱ واحد هو العدد داخل اللوغاريتم الموجود في بسط الكسر لدينا، إذن فهو يساوي ٢٥٦. وﺱ اثنان هو العدد داخل اللوغاريتم الموجود في المقام، إذن فهو يساوي اثنين. هذا يعني أنه يمكننا الآن كتابة لو ٢٥٦ للأساس سبعة على لو اثنين للأساس سبعة على الصورة لو ٢٥٦ للأساس اثنين.
إننا لم ننته بعد. لقد بسطنا ما سبق تبسيطًا كاملًا، لكن علينا إيجاد قيمته. حسنًا، دعونا نسترجع تعريف اللوغاريتم. إذا افترضنا أن لو ﺹ للأساس ﺏ يساوي ﺱ، يمكننا القول إن ﺏ أس ﺱ يجب أن يساوي ﺹ. وبما أن الأساس هنا هو اثنان، فالسؤال هو: ما القوة التي يرفع إليها العدد اثنان لنحصل على ٢٥٦؟ اثنان أس ثمانية يساوي ٢٥٦. وهذا يعني أن لو ٢٥٦ للأساس اثنين يجب أن يساوي ثمانية. إذن، لو ٣٢ للأساس سبعة زائد لو ثمانية للأساس سبعة على لو ١٠ للأساس سبعة ناقص لو خمسة للأساس سبعة يساوي ثمانية.
في المثال التالي، سنتناول كيفية حل مسألة الأساس فيها غير مكتوب.
أي مما يلي يساوي خمسة لو ثلاثة على لو أربعة زائد لو ستة؟
قد يكون هذا المقدار غريبًا نوعًا ما؛ إذ يبدو أن اللوغاريتمات ليس لها أساس. وإذا لم يكن هناك أساس للوغاريتم، فإننا نفترض عامة أن الأساس يساوي ١٠. ومن ثم، سنعيد كتابة الكسر على الصورة خمسة لو ثلاثة للأساس ١٠ على لو أربعة للأساس ١٠ زائد لو ستة للأساس ١٠.
حسنًا، سنسترجع الآن بعض قوانين اللوغاريتمات. أولًا، نحن نعلم أن لو ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ . وما دام الأساس هنا له القيمة نفسها، فإننا ببساطة نضرب العددين الموجودين داخل اللوغاريتمين. وبذلك، يصبح مقام الكسر هو لو أربعة في ستة للأساس ١٠، وهو ما يساوي لو ٢٤ للأساس ١٠.
لكن ماذا عن البسط؟ حسنًا، بالنسبة للثابت الحقيقي ﻝ، فإن لو ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ يساوي ﻝ في لو ﺱ للأساس ﺏ . والعكس صحيح. إذن يمكننا كتابة البسط على الصورة لو ثلاثة أس خمسة للأساس ١٠. ثلاثة أس خمسة يساوي ٢٤٣. إذن، يصبح لدينا لو ٢٤٣ للأساس ١٠ على لو ٢٤ للأساس ١٠.
لاحظ أن لدينا كسرًا به لوغاريتمان لهما الأساس نفسه. ومن ثم، يمكننا استخدام صيغة تغيير الأساس. تنص هذه الصيغة على أنه يمكن كتابة لو ﺱ واحد للأساس ﺏ على لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ على الصورة لو ﺱ واحد للأساس ﺱ اثنين. وإذا كان الأساس له القيمة نفسها، نجعل العدد الموجود داخل لوغاريتم المقام هو الأساس الجديد. ويصبح العدد الموجود داخل لوغاريتم البسط هو العدد الجديد داخل اللوغاريتم. وبذلك، يكون أساس اللوغاريتم هو ٢٤، والعدد الجديد داخل اللوغاريتم هو ٢٤٣. لذا، يمكننا كتابة الكسر على الصورة لو ٢٤٣ للأساس ٢٤. إذن، الإجابة الصحيحة هي (ج).
لاحظ أن هذا يعني أنه لا يهم الأساس الذي افترضناه. ولأننا حصلنا في النهاية على لوغاريتمين لهما الأساس نفسه، فقد طبقنا ببساطة صيغة تغيير الأساس. كان بإمكاننا اختيار الأساس اثنين أو الأساس ثلاثة. ولكن تذكر أن القاعدة العامة تنص على افتراض أن الأساس يساوي ١٠.
سنتناول الآن مثالًا أخيرًا حول كيفية تطبيق صيغة تغيير الأساس.
بسط لو ١٦ للأساس ثلاثة في لو ٢٤٣ للأساس اثنين.
علينا أن ننتبه جيدًا هنا. الخطأ الشائع الأول هو الخلط بين قوانين اللوغاريتمات والتفكير في أنه يمكننا جمع العددين ١٦ و٢٤٣. وهذا بالطبع عكس ما تنص عليه قاعدة الضرب، ولا يمكن تطبيقه هنا؛ لأن الأساسين مختلفان. إذن، بدلًا من ذلك، سنسترجع صيغة تغيير الأساس. إنها تنص على أنه يمكن كتابة لو ﺱ واحد للأساس ﺏ على لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ على الصورة لو ﺱ واحد للأساس ﺱ اثنين. نحن نحتاج إلى كسر به لوغاريتم في البسط، ولوغاريتم في المقام. كما يجب أن يكون أساسا هذين اللوغاريتمين متساويين. وإذا كان الأمر كذلك، يمكننا إعادة كتابة هذا في صورة لوغاريتم له أساس جديد وهو العدد الموجود داخل لوغاريتم المقام لدينا.
بما أننا نوجد حاصل ضرب لوغاريتمين، إذن علينا إعادة كتابة الصيغة. سنضرب طرفي المعادلة في لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ . ثم سنقارن ذلك بالمقدار لدينا. لاحظ أنه في الضرب، يكون أساس اللوغاريتم الأول مساويًا للعدد الموجود داخل اللوغاريتم الثاني. ولكن هذا لا يمكن تطبيقه هنا. ليس لدينا قيمة مشتركة لـ ﺱ اثنين في المقدار، ولكن يمكننا إعادة كتابة اللوغاريتم الأول لدينا. نحن نعلم أن ١٦ يساوي اثنين أس أربعة. لذا، سنعيد كتابة لو ١٦ للأساس ثلاثة ليكون على الصورة لو اثنين أس أربعة للأساس ثلاثة. ثم نستخدم قاعدة الأسس ونكتب ذلك على الصورة أربعة في لو اثنين للأساس ثلاثة. إذن، يصبح المقدار لدينا أربعة لو اثنين للأساس ثلاثة في لو ٢٤٣ للأساس اثنين.
بما أن الضرب عملية إبدالية، يمكننا إجراؤها بأي ترتيب، ويمكننا إضافة قوسين. سنوجد قيمة لو اثنين للأساس ثلاثة في لو ٢٤٣ للأساس اثنين أولًا. سنجعل ﺱ اثنين يساوي اثنين. ثم نجعل ﺱ واحد يساوي ٢٤٣، وﺏ يساوي ثلاثة. هذا يعني أنه يمكننا كتابة لو اثنين للأساس ثلاثة في لو ٢٤٣ للأساس اثنين على الصورة لو ٢٤٣ للأساس ثلاثة. إذن، يصبح المقدار لدينا هو أربعة في لو ٢٤٣ للأساس ثلاثة. في الواقع، يمكننا إيجاد قيمة لو ٢٤٣ للأساس ثلاثة. بتذكر تعريف اللوغاريتم، نسأل أنفسنا: ما القوة التي يرفع إليها العدد ثلاثة لنحصل على ٢٤٣؟
نحن نعلم أن ثلاثة أس خمسة يساوي ٢٤٣. إذن، لو ٢٤٣ للأساس ثلاثة يساوي خمسة. وبذلك، يمكننا تبسيط المقدار لدينا بكل سهولة إلى أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٢٠. إذن، لو ١٦ للأساس ثلاثة في لو ٢٤٣ للأساس اثنين يساوي ٢٠، وذلك باستخدام صيغة تغيير الأساس.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه بالنسبة للأساس الثابت ﺏ الذي يكون أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا والأعداد الموجبة ﺱ واحد وﺱ اثنين وﺱ، فإن لو ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ . وبالمثل، فإن لو ﺱ واحد للأساس ﺏ ناقص لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد على ﺱ اثنين للأساس ﺏ . وبالنسبة للثابت الحقيقي ﻝ، فإن لو ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ يساوي ﻝ في لو ﺱ للأساس ﺏ . كما عرفنا أيضًا أن صيغة تغيير الأساس تنص على أن لو ﺱ واحد للأساس ﺏ على لو ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لو ﺱ واحد للأساس ﺱ اثنين. وتعلمنا أيضًا أن لو ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا، ولو واحد للأساس ﺏ يساوي صفرًا، وإذا كان المقدار اللوغاريتمي ليس له أساس، فإننا نفترض أن أساسه يساوي ١٠.
