فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة كثيرة الحدود عند نقطة باستخدام قاعدة حاصل الضرب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين أس ستة عند واحد، سالب أربعة.

إذا نظرنا إلى ما نحاول اشتقاقه هنا، نجد أن لدينا ﺹ يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين، وهذا مرفوع للقوة ستة. حسنًا، ذلك على الصورة ﺹ يساوي ﻉﻕ. إذن، يمكننا استخدام قاعدة الضرب. تنص قاعدة الضرب على أنه إذا كان لدينا ﺹ يساوي ﻉﻕ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ، أو المشتقة، تساوي ﻉﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕﺩﻉ على ﺩﺱ؛ ما يعني أن لديك ﻉ مضروبًا في مشتقة ﻕ زائد ﻕ مضروبًا في مشتقة ﻉ.

في هذه الدالة إذن، لدينا ﺱ ناقص خمسة هو ﻉ، وﺱ ناقص اثنين أس ستة هو ﻕ. بالتالي، إذا كان لدينا ﻉ يساوي ﺱ ناقص خمسة، فيمكننا إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ عن طريق الاشتقاق بالنسبة إلى ﺱ. ستحصل على واحد. وهذا لأننا إذا اشتققنا ﺱ، وضربنا الأس في المعامل، فإن ذلك يساوي واحدًا مضروبًا في واحد. ثم نخفض أس الـ ﺱ. حسنًا، سيصبح لدينا ﺱ أس صفر. فيتبقى لدينا واحد فقط.

ثم إذا اشتققنا سالب خمسة، فسنحصل على صفر. وعليه، ﺩﻉ على ﺩﺱ، أو مشتقة ﻉ، تساوي واحدًا. وإذا كان لدينا ﻕ يساوي ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة، فإن مشتقة ذلك تساوي ستة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين أس خمسة.

لكي نحسب ذلك، أي اشتقاق ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة، فإننا نستخدم ما يسمى بقاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ. سنوضح لكم ما يعنيه هذا وكيفية استخدامه. إذا كان لدينا ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة، ومن ثم نقول إن ﻥ يساوي ﺱ ناقص اثنين، فإن ﺹ يجب أن يساوي ﻥ أس ستة.

أولًا، ما سنفعله هو إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ. ولإيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ، نقوم بالاشتقاق. لدينا إذن ﻥ أس ستة. إذا اشتققنا ذلك، فسنحصل على ستة ﻥ أس خمسة. مرة أخرى، ضربنا الأس في المعامل، أي ستة في واحد، وهو ما يساوي ستة. بعد ذلك، خفضنا الأس بمقدار واحد. فحصلنا إذن على ﻥ أس خمسة.

إذا اشتققنا ﻥ بالنسبة إلى ﺱ، فسنحصل على واحد فقط. إذن، ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي واحدًا. وقد أوضحنا سبب ذلك. وعليه، إذا عوضنا بذلك في قاعدة السلسلة، فسنحصل على المشتقة، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ، تساوي ستة ﻥ أس خمسة؛ لأن هذا كان ﺩﻥ على ﺩﺹ مضروبًا في واحد، لأن الواحد لدينا هو ﺩﻥ على ﺩﺱ.

وعليه، إذا عوضنا بقيمة ﻥ التي كانت ﺱ ناقص اثنين، فسنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين الكل أس خمسة. وهذا ما لدينا إذا عدنا إلى ما كنا نفعله في المشتقة الأصلية.

حسنًا، إذا عدنا إلى ما كنا نفعله، فلدينا الآن ﻉ، وﺩﻉ على ﺩﺱ، وﻕ، وﺩﻕ على ﺩﺱ. الآن يمكننا استخدام قاعدة الضرب. ومن ثم، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ، أي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ستة في ﺱ ناقص اثنين أس خمسة، ثم زائد ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة مضروبًا في واحد. سنعيد الآن كتابة ذلك لتسهيل التبسيط.

عند إعادة كتابة ذلك، نحصل على ستة مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين الكل أس خمسة زائد ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة. حسنًا، عادة ما ننشد مزيدًا من التبسيط، ربما بفك الأقواس. ولكن ليس علينا فعل ذلك في هذه المسألة؛ لأن لدينا قيمة نعوض بها في المشتقة.

وهذه القيمة هي ﺱ يساوي واحدًا؛ لأن ما نحاول فعله هو إيجاد قيمة المشتقة الأولى للدالة عند واحد، سالب أربعة. بالتالي، إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا، نحصل على ستة مضروبًا في واحد ناقص خمسة مضروبًا في واحد ناقص اثنين الكل أس خمسة زائد واحد ناقص اثنين الكل أس ستة. فنحصل على ستة في سالب أربعة مضروبًا في سالب واحد أس خمسة زائد سالب واحد أس ستة.

من ثم، نحصل على ٢٤ زائد واحد. ونحصل على ٢٤ من الجزء الأول؛ لأنه إذا كان لديك ستة مضروبًا في سالب أربعة، فهذا يساوي سالب ٢٤. ثم، إذا ضربنا هذا في سالب واحد، نحصل على ٢٤. وهو سالب واحد لأننا رفعنا سالب واحد للقوة خمسة، وهو أس فردي. وإذا كان الأس فرديًّا، فسنحصل على ناتج سالب إذا كان سالبًا بالفعل. ذلك لأن الإشارة ستظل كما هي. لكننا بعد ذلك نضيف واحدًا لأن لدينا سالب واحد أس ستة، وهو أس زوجي. وتصبح سالب واحد قيمة موجبة. إذن، تصبح واحدًا.

وبناء على ذلك، يمكننا القول إن قيمة المشتقة الأولى لـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين الكل أس ستة عند النقطة واحد، سالب أربعة هي ٢٥.