فيديو السؤال: إيجاد عجلة جسم يتحرك على مستوى مائل تؤثر عليه قوة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

وضع جسم كتلته ٤٨٤ جرامًا على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃؛ حيث جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. إذا أثرت قوة مقدارها ٤٨٤ ثقل جرامًا على الجسم لأعلى المستوى تأثيرًا موازيًا لخط أكبر ميل، فأوجد عجلة الحركة. عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سنبدأ برسم شكل لتمثيل معطيات السؤال. علمنا أن كتلة الجسم تساوي ٤٨٤ جرامًا. وبما أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام الواحد، فإن هذا يساوي ٠٫٤٨٤ كيلوجرام. يؤثر الجسم بقوة رأسيًّا لأسفل، هذه القوة تساوي وزنه، وهو يساوي ٠٫٤٨٤ مضروبًا في عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ. نعلم من المعطيات أن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. هذا يعني أن هناك قوة مقدارها ٤٫٧٤٣٢ نيوتن تؤثر رأسيًّا لأسفل. وستكون هناك قوة رد فعل عمودي ﺭ تؤثر عموديًّا على المستوى.

عرفنا من السؤال أن المستوى يميل على الأفقي بزاوية قياسها 𝜃؛ حيث جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. وبما أن المستوى أملس، فلا توجد أي قوة احتكاك. لكن هناك قوة مقدارها ٤٨٤ ثقل جرامًا تؤثر في اتجاه أعلى المستوى. وبما أن هذا يساوي ٠٫٤٨٤ ثقل كيلوجرام، فيمكننا ضرب هذه القيمة في ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، وهذا يعطينا قوة تؤثر في اتجاه أعلى المستوى مقدارها ٤٫٧٤٣٢ نيوتن.

يمكننا الآن تحليل القوة المؤثرة في الاتجاه الموازي لهذا المستوى باستخدام قانون نيوتن الثاني ﻕ يساوي ﻙﺟ. مجموع القوى يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. سنفترض أن هذه العجلة أعلى المستوى هي ﺟ، وعلينا حساب مركبة قوة الوزن المؤثرة في اتجاه أسفل المستوى. وسنفعل ذلك مستخدمين ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. مركبة قوة الوزن المؤثرة في الاتجاه الموازي للمستوى تساوي ﻭ جا 𝜃. وعلى الرغم من أن مركبة قوة الوزن المؤثرة عموديًّا على المستوى غير مطلوبة في هذا السؤال، فإنها تساوي ﻭ جتا 𝜃.

لدينا قوتان تؤثران على الجسم في الاتجاه الموازي للمستوى. سنجعل الاتجاه الموجب هو اتجاه الحركة، وعليه فإن مجموع القوتين يساوي ٤٫٧٤٣٢ ناقص ﻭ جا 𝜃. وهذا يساوي الكتلة ٠٫٤٨٤ كيلوجرام مضروبة في العجلة ﺟ. بالتعويض عن قوة الوزن بـ ٤٫٧٤٣٢ نيوتن وعن جا 𝜃 بثلاثة أخماس، نحصل على المعادلة الموضحة. وبكتابة الطرف الأيمن على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٫٨٩٧٢٨. وهذا يساوي ٠٫٤٨٤ﺟ. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ٠٫٤٨٤، ما يعطينا ﺟ يساوي ٣٫٩٢. إذن، عجلة حركة الجسم تساوي ٣٫٩٢ أمتار لكل ثانية مربعة في اتجاه أعلى المستوى.