فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كسرية تتضمن استخدام تحليل الفرق بين مربعين الرياضيات

أوجد ∫ (ﺱ^٢ −١٦)‏/‏(٣ﺱ^٢ − ١٢ﺱ) ﺩﺱ.

٠٤:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل ﺱ تربيع ناقص ١٦ الكل على ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد التكامل لخارج قسمة دالتين. في الواقع، هذا خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود، لذا نطلق على هذا دالة كسرية. لكننا لا نعلم بشكل عام كيف نوجد تكامل دالة كسرية. لذا، سنحتاج إلى إجراء بعض العمليات عليها. وفي الواقع، في هذه الحالة، توجد عدة خيارات مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القسمة الجبرية لقسمة البسط كاملًا على المقام. هذا سيعطينا تكاملًا جديدًا. ويمكننا بعد ذلك محاولة إيجاد هذا التكامل الجديد باستخدام قواعد التكامل.

لكن توجد طريقة يمكننا تجربتها قبل فعل ذلك. يمكننا دائمًا محاولة تحليل البسط والمقام. لذا، دعونا نجرب تحليل كل من البسط والمقام. هيا نبدأ بكثيرة الحدود التربيعية في البسط. يمكننا أن نلاحظ أن كلًا من ﺱ تربيع و١٦ مربعان، لذا يمكننا أن نتذكر أنه يمكننا تحليل ذلك باستخدام الفرق بين مربعين. لدينا ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. إذن، بجعل ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي أربعة، يمكننا تحليل البسط لنحصل على ﺱ ناقص أربعة مضروبًا في ﺱ زائد أربعة. لكننا ما زال علينا تحليل المقام. يمكننا أن نلاحظ أنه يمكننا إخراج العاملين المشتركين ثلاثة وﺱ في المقام.

عند إخراج ثلاثة ﺱ عاملًا مشتركًا في المقام، علينا ضرب الحد الأول في ﺱ لنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع. وعلينا ضرب الحد الثاني في سالب أربعة لنحصل على سالب ١٢ﺱ. هذا يعطينا مقامًا جديدًا هو ثلاثة ﺱ في ﺱ ناقص أربعة. وبذلك نكون قد تمكنا من إعادة كتابة التكامل على صورة تكامل ﺱ ناقص أربعة في ﺱ زائد أربعة الكل على ثلاثة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكننا رؤية أمر مثير للاهتمام. يشترك كل من البسط والمقام في العامل ﺱ ناقص أربعة. يمكننا حذف هذا العامل المشترك ﺱ ناقص أربعة من البسط والمقام لتبسيط ما سيتم تكامله. وهذا يعطينا تكامل ﺱ زائد أربعة الكل على ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

ولا يزال إيجاد التكامل لذلك صعبًا. لكن يمكننا جعل إيجاد تكامل هذا أسهل كثيرًا في حال تقسيم هذا الكسر إلى كسرين. سنقسم ما بداخل التكامل إلى جزأين؛ ما يعطينا تكامل ﺱ على ثلاثة ﺱ زائد أربعة على ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكننا تبسيط هذا أكثر من ذلك. في الحد الأول مما بداخل التكامل، يمكننا حذف ﺱ من بسط ومقام الكسر؛ ما يعني أنه ليس علينا الآن سوى إيجاد تكامل واحد على ثلاثة زائد أربعة على ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا في الواقع القيام بذلك حدًا حدًا. أولًا، يمكننا إيجاد التكامل للثابت ثلث باستخدام قاعدة القوى للتكامل. أو يمكننا تذكر أن ﺱ على ثلاثة هو مشتقة عكسية للثلث. في كلتا الحالتين، يصبح لدينا ﺱ على ثلاثة.

بعد ذلك، لإيجاد تكامل الحد الثاني، علينا تذكر قواعد تكامل دوال المقلوب. نعلم أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، يكون تكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وفي هذه الحالة، قيمة الثابت ﺃ تساوي أربعة على ثلاثة. ومن ثم، نجد أن تكامل الحد الثاني يساوي أربعة على ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. وتذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن تكامل ﺱ تربيع ناقص ١٦ الكل على ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ على ثلاثة زائد أربعة على ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.