تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: القيم العظمى والصغرى للدالة التربيعية

أحمد لطفي

يوضِّح الفيديو كيفية تحديد القيم العظمى والصغرى للدالة التربيعية، كما يوضِّح أيضًا كيفية إيجاد مجال ومدى الدوال التربيعية.

٠٨:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن القيم العظمي والصغري للدالة التربيعية، وهنعرف إزاي نقدر نحدد القيم العظمي والصغري للدالة التربيعية، وإزاي نقدر نحدد مجال ومدى الدالة التربيعية.

في البداية هنقول إن الإحداثي الصادي لرأس المنحنى للدالة التربيعية بيكون هو القيمة العظمي أو الصغري للدالة، والقيم دي بتكون أكبر أو أصغر قيمة ممكنة تصل لها الدالة. ولازم نلاحظ الفرق بين المصطلحين؛ أول مصطلح هو القيمة الصغرى، وتاني مصطلح هو النقطة الصغرى.

بالنسبة للنقطة الصغرى، فالنقطة الصغرى على الرسم البياني للدالة التربيعية بتكون هي الزوج المرتب اللي بيوضّح موضع رأس المنحنى. لكن بالنسبة للقيمة الصغرى، فالقيمة الصغرى هي الإحداثي الصادي للنقطة الصغرى، وهي أصغر قيمة نحصل عليها عند إيجاد قيم الدالة د س لجميع قيم س. يبقى النقطة الصغرى هي الزوج المرتب اللي بيوصف رأس المنحنى، لكن القيمة الصغرى هي الإحداثي الصادي للنقطة الصغرى. وهيكون تركيزنا على القيم العظمي والصغري للدالة التربيعية.

في صفحة جديدة لو عايزين نشوف إزاي هنقدر نحدد القيم العظمي والصغري للدالة التربيعية فهنقول إن التمثيل البياني للدالة د س بتساوي أ س تربيع زائد ب س زائد جـ حيث أ لا تساوي صفر، ممكن يكون بالشكل ده، وممكن نقول إن الشكل ده هيكون مفتوحًا إلى أسفل وله قيمة عظمى عند أ أصغر من صفر؛ يعني ممكن نعبّر عن النقطة دي بالزوج المرتب س وص؛ وبالتالي هيكون الإحداثي الصادي للزوج المرتب هو قيمة عظمى.

وممكن يكون عندنا التمثيل البياني للدالة التربيعية بالشكل ده، والشكل ده هيكون شكل مفتوحًا إلى أعلى وله قيمة صغرى عند أ أكبر من صفر، وممكن نعبّر عن النقطة دي بالزوج المرتب س وص، وبالتالي هنقول إن الإحداثي الصادي للنقطة هو قيمة صغرى. ويبقى إحنا هنحصل على قيمة عظمى لما أ تكون أصغر من صفر، اللي هو معامل س تربيع في الدالة التربيعية، وهيكون شكل المنحنى مفتوحًا إلى أسفل؛ وهنحصل على قيمة صغرى لما أ يكون أكبر من صفر، اللي هو معامل س تربيع في الدالة التربيعية، وهيكون المنحنى مفتوحًا إلى أعلى.

هناخد مثال في صفحة جديدة، لو عندنا مثال بالشكل ده، مُعطى الدالة د س بتساوي سالب أربعة س تربيع زائد اتناشر س زائد تمنتاشر، ومطلوب نحدد تلات مطاليب؛ أول مطلوب، حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. تاني مطلوب، اوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. وآخر مطلوب، حدد مجال الدالة ومداها. بالنسبة لأول مطلوب، فعندنا الدالة سالب أربعة س تربيع زائد اتناشر س زائد تمنتاشر، هنلاقي إن معامل س تربيع في الدالة التربيعية كان بيساوي سالب أربعة، وبما إن معامل س تربيع أصغر من الصفر، فبالتالي التمثيل البياني للدالة مفتوحًا إلى أسفل، وهيكون للدالة قيمة عظمى. يبقى قدرنا نحدد إن الدالة هيكون ليها قيمة عظمى.

بالنسبة لتاني مطلوب، عشان نقدر نوجد القيمة العظمى، فالقيمة العظمي هي الإحداثي الصادي لرأس المنحنى، يبقى محتاجين الأول نوجد رأس المنحنى. وعشان نقدر نوجد رأس المنحنى، هنوجد الأول الإحداثي السيني لرأس المنحنى، اللي هو هيكون عبارة عن سالب اتناشر على اتنين في سالب أربعة أو واحد وخمسة من عشرة، ويبقى كده قدرنا نوجد الإحداثي السيني لرأس المنحنى. عشان نقدر نوجد الإحداثي الصادي لرأس المنحنى، هنعوض في الدالة عن س بـ واحد وخمسة من عشرة، فهيكون د واحد وخمسة من عشرة بتساوي سالب أربعة في واحد وخمسة من عشرة تربيع زائد اتناشر في واحد وخمسة من عشرة زائد تمنتاشر، يعني هتساوي سبعة وعشرين؛ وبالتالي القيمة العظمي للدالة هي بتساوي سبعة وعشرين.

ويبقى كده قدرنا نوجد تاني مطلوب، بالنسبة لتالت مطلوب عشان نقدر نحدد مجال الدالة ومداها، فهنقول إن المجال والمدى للدالة التربيعية هيكونوا عبارة عن، بالنسبة للمجال المجال هيكون دائمًا جميع الأعداد الحقيقية، وبالنسبة للمدى فالمدى إما أن يكون جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة الصغرى إذا كانت أ أكبر من صفر، أو المدى هيكون جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمي إذا كانت أ أصغر من صفر.

ويبقى كده عرفنا إزاي نقدر نحدد المجال والمدى للدالة التربيعية. بالنسبة للدالة المُعطاة سالب أربعة س تربيع زائد اتناشر س زائد تمنتاشر، وجدنا إن لها قيمة عظمى، يبقى هنقول المجال والمدى هيكونوا عبارة عن؛ المجال هيكون هو جميع الأعداد الحقيقية، لكن المدى هيكون هو جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى؛ يعني ممكن نكتب المدى في صورة المجموعة ص حيث ص أصغر من أو تساوي سبعة وعشرين.

ويبقى كده قدرنا نوجد المطلوب التالت في المسألة. في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، في تجربة لإطلاق نموذج صاروخ، تم تمثيل ارتفاع الصاروخ عن الأرض بالأمتار بعد س ثانية بالدالة د س بتساوي سالب تمنية س تربيع زائد تمنية وأربعين س زائد خمسة وتسعين، ومطلوب إيجاد أقصى ارتفاع يصله الصاروخ.

في البداية الدالة هي سالب تمنية س تربيع زائد تمنية وأربعين س زائد خمسة وتسعين، فـ أ، اللي هو معامل س تربيع، بيساوي سالب تمنية، يعني التمثيل البياني هيكون مفتوحًا إلى أسفل، وهيكون للدالة قيمة عظمى، وعشان نقدر نوجد القيمة العظمى، هتكون هي الإحداثي الصادي لرأس المنحنى، فهنوجد في البداية الإحداثي السيني لرأس المنحنى، وهيبقى الإحداثي السيني لرأس المنحنى هو سالب تمنية وأربعين على اتنين في سالب تمنية أو تلاتة. وهنوجد الإحداثي الصادي لرأس المنحنى عن طريق إننا هنعوض في الدالة عن س بتساوي تلاتة، فهيبقى د تلاتة هتساوي سالب تمنية في تلاتة تربيع زائد تمنية وأربعين في تلاتة زائد خمسة وتسعين، هنكتبها بصورة أفضل خمسة وتسعين، وهتبقى د تلاتة هتساوي مية سبعة وستين، ويبقى الإحداثي الصادي لرأس المنحنى هو بيساوي مية سبعة وستين، اللي هي بتمثل القيمة العظمى للدالة؛ وبالتالي هنقدر نقول إن هيصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له، اللي هو مية سبعة وستين مترًا، بعد تلات ثواني من بدء الانطلاق؛ يعني أقصى ارتفاع هيكون هو مية سبعة وستين متر، اللي هو بيمثل القيمة العظمي للدالة.

وفي النهاية نكون عرفنا إزاي نقدر نحدد القيم العظمي والصغري للدالة التربيعية.