فيديو السؤال: إيجاد معادلة مستوى على الصورة المتجهة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين ﺭ واحد يساوي ﺱ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ زائد ﻙ واحد مضروبًا في ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻉ وﺭ اثنين يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ زائد ﻙ اثنين في سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص أربعة ﻉ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة مستوى. ولنفعل هذا، لدينا معادلة خطين مستقيمين في المستوى. إذن للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر الصورة المتجهة لمعادلة المستوى. إنها معادلة على صورة الضرب القياسي بين المتجهين ﻥ وﺭ يساوي ﻫ؛ حيث ﻥ متجه عمودي على المستوى، وﻫ ثابت.

إذن لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى، علينا إيجاد متجه عمودي على المستوى. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أن لدينا خطين مستقيمين في المستوى. وهذا يعني أن الخطين المستقيمين يوازيان المستوى. ومن ثم، فإن متجهي الاتجاه لكلا الخطين المستقيمين موازيان للمستوى. ويمكننا هنا رؤية متجهي الاتجاه لكل من الخطين المستقيمين. فمتجه اتجاه الخط المستقيم الأول، ﻫ واحد، يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻉ. ومتجه اتجاه الخط المستقيم الثاني، ﻫ اثنان، يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص أربعة ﻉ.

ومن ثم، لكي يكون المتجه عموديًّا على المستوى، لا بد أن يكون متعامدًا على متجهي اتجاه الخطين المستقيمين. وعلى وجه التحديد، يمكننا إيجاد متجه عمودي على متجهي الاتجاه عن طريق حساب حاصل ضربهما الاتجاهي. ونفعل ذلك من خلال حساب قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ حيث الصف الأول بها هو متجهات الوحدة ذات الاتجاهات المعروفة ﺱ، وﺹ، وﻉ؛ والصفين الثاني والثالث من هذه المصفوفة هما مركبات المتجهين. ومن ثم، فإن المتجه العمودي ﻥ هو محدد المصفوفة التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: ﺱ، ﺹ،ﻉ، سالب واحد، سالب اثنين، سالب أربعة، ثلاثة، ثلاثة، أربعة. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا تبديل ترتيب الصف الثاني والصف الثالث. الفرق الوحيد هو أننا سنضرب المتجه العمودي لدينا في سالب واحد.

يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المحدد من خلال الفك باستخدام الصف الأول. نحصل على ﺱ في محدد المصفوفة سالب اثنين، سالب أربعة، ثلاثة، أربعة ناقص ﺹ مضروبًا في محدد المصفوفة سالب واحد، سالب أربعة، ثلاثة، أربعة زائد ﻉ في محدد المصفوفة سالب واحد، سالب اثنين، ثلاثة، ثلاثة. والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة محدد كل مصفوفة من هذه المصفوفات الثلاث. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن قيمة محدد المصفوفة التي من الرتبة اثنين في اثنين هي الفرق بين حاصل ضرب قطري المصفوفة. عند إيجاد قيمة محدد كل مصفوفة والتبسيط، نحصل على ﺱ مضروبًا في سالب ثمانية زائد ١٢ ناقص ﺹ في سالب أربعة زائد ١٢ زائد ﻉ في سالب ثلاثة زائد ستة.

والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة مركبات هذا المتجه. وعليه نحصل على أربعة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد ثلاثة ﻉ. بذلك نكون قد أوجدنا المتجه العمودي على المستوى ﻥ. وكل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة الثابت ﻫ. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بالمتجه العمودي ﻥ في معادلة المستوى واستخدام نقطة معلومة على المستوى.

تذكر أن المتجه ﺭ هو متجه الموضع لأي نقطة على المستوى. ومن ثم، علينا إيجاد متجه الموضع لنقطة ما على المستوى. ويمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن الخطين المستقيمين يقعان في المستوى. وبالتحديد، يمكننا اختيار المتجه ﺃ يساوي ﺱ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ ليكون متجه الموضع لنقطة ما على المستوى؛ لأنه يقع على الخط المستقيم الأول. ومن ثم، فإن قيمة الثابت ﻫ هي حاصل الضرب القياسي بين المتجه العمودي ومتجه الموضع هذا للنقطة الواقعة على الخط المستقيم.

بناء عليه، كل ما علينا فعله هو حساب حاصل الضرب القياسي بين المتجه أربعة، سالب ثمانية، ثلاثة، والمتجه واحد، سالب واحد، سالب ثلاثة. يمكننا فعل ذلك من خلال تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين لهما نفس البعد، كل ما علينا فعله هو إيجاد مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة. وبحساب قيمة ذلك، نحصل على أربعة في واحد زائد سالب ثمانية مضروبًا في سالب واحد زائد ثلاثة في سالب ثلاثة، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته بعد ذلك. فنحصل على أربعة زائد ثمانية ناقص تسعة، وهو ما يساوي ثلاثة، ومن ثم قيمة ﻫ تساوي ثلاثة.

وعليه يمكننا التعويض بالمقدار الذي يعبر عن المتجه العمودي ﻥ وبقيمة الثابت ﻫ في الصورة المتجهة لمعادلة المستوى، وهو ما يعطينا أن الضرب القياسي بين المتجه أربعة، سالب ثمانية، ثلاثة؛ وﺭ يساوي ثلاثة، هو الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين ﺭ واحد وﺭ اثنين.