نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل شبه منحرف ومستطيلًا. الجزء (أ) اكتب مقدارًا يعبر عن مساحة المستطيل. الجزء (ب) اكتب مقدارًا يعبر عن مساحة شبه المنحرف. الجزء (ج) إذا كان لشبه المنحرف والمستطيل المساحة نفسها، فأوجد قيمة ﺱ باستخدام معادلة ملائمة.
دعونا نبدأ بالجزء (أ). علينا إيجاد مقدار يعبر عن مساحة المستطيل. نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد مساحة المستطيل باستخدام الصيغة التي تنص على أن المساحة تساوي الطول مضروبًا في العرض. إذن، نضرب بعدي المستطيل أحدهما في الآخر. في هذه المسألة، أبعاد المستطيل معطاة على صورة التعبيرين اثنين ﺱ زائد واحد وﺱ ناقص تسعة. يمكننا الضرب بأي من الترتيبين. إذن، يصبح لدينا مقدار يعبر عن مساحة المستطيل، وهو اثنان ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص تسعة. وهذا المقدار غير مبسط. ومع ذلك، سنتركه على صورته التحليلية.
دعونا الآن نتناول كيفية إيجاد مساحة شبه المنحرف. بشكل عام، مساحة شبه المنحرف تساوي ارتفاعه العمودي، ﻉ، مضروبًا في نصف مجموع طولي ضلعيه المتوازيين. وهذا يساوي ﺃ زائد ﺏ على اثنين، حيث ﺃ وﺏ هما طولا الضلعين المتوازيين. إذن، بالنسبة لشبه المنحرف هذا، لدينا ﺱ ناقص سبعة الذي نعوض به عن الارتفاع العمودي مضروبًا في ﺱ زائد ﺱ زائد ستة الذين نعوض بهما عن مجموع ضلعيه المتوازيين على اثنين. ﺱ زائد ﺱ زائد ستة يساوي اثنين ﺱ زائد ستة. يمكننا التبسيط بعد ذلك بحذف العامل اثنين في المقدار الثاني، وهو ما يعطينا مقدارًا مبسطًا على صورة ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة. وبذلك، نكون قد أجبنا عن أول جزأين من السؤال.
في الجزء (ج)، نعلم أن شبه المنحرف والمستطيل متساويان في المساحة. ومطلوب منا إيجاد قيمة هذا المجهول ﺱ بتكوين معادلة ملائمة وحلها. إذا كانت المساحتان متساويتين، يمكننا تكوين معادلة بأخذ المقدارين اللذين يعبران عن مساحة المستطيل ومساحة شبه المنحرف وجعل أحدهما يساوي الآخر. وهذا يعطينا المعادلة اثنين ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص تسعة يساوي ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة.
يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة بتوزيع الأقواس. في الطرف الأيمن، لدينا اثنان ﺱ تربيع ناقص ١٨𝑥 زائد ﺱ ناقص تسعة، وفي الطرف الأيسر لدينا ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص سبعة ﺱ ناقص ٢١. يمكننا تبسيط كلا الطرفين بتجميع الحدود المتشابهة في وسط كل مفكوك، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٧𝑥 ناقص تسعة يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص ٢١. بعد ذلك، علينا تجميع كل الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. سنجمع الحدود في الطرف الأيمن، لأن معامل ﺱ تربيع هنا، وهو اثنان، أكبر من معامل ﺱ تربيع في الطرف الآخر.
أولًا، يمكننا طرح ﺱ تربيع من طرفي المعادلة. بعد ذلك، نضيف أربعة ﺱ إلى كلا الطرفين. وأخيرًا، نضيف ٢١ إلى كلا طرفي المعادلة. وهذا سيجعلنا نحذف الحدود كلها في الطرف الأيسر. فيتبقى لدينا ﺱ تربيع ناقص ١٣𝑥 زائد ١٢ يساوي صفرًا.
وهذه معادلة تربيعية بمتغير مجهول وهو ﺱ. دعونا نلاحظ إذا ما كان يمكننا حل هذه المعادلة بالتحليل أم لا. إننا نبحث عن عاملين خطيين بهما المتغير، اللذان حاصل ضربهما هو المعادلة التربيعية الأصلية. وبما أن معامل ﺱ تربيع هو واحد، فإننا نعرف أن الحد الأول في كل قوس سيكون ﺱ، لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. بعد ذلك، نبحث عن عددين لإكمال هذين القوسين اللذين لهما مجموعة محددة من الخواص. أولًا، يجب أن يكون مجموعهما يساوي معامل ﺱ. وهذا يساوي سالب ١٣. ثانيًا، حاصل ضربهما يجب أن يكون الحد الثابت، وهو موجب ١٢.
مع القليل من التفكير، وربما بكتابة أزواج عوامل العدد ١٢، نجد أن العددين اللذين مجموعهما سالب ١٣ وحاصل ضربهما ١٢ هما سالب ١٢ وسالب واحد. كلاهما عدد سالب، ولذلك، في حالة الضرب نحصل على عدد موجب، أي ١٢. وعندما نجمع سالب ١٢ وسالب واحد، نحصل على سالب ١٣. إذن، فإن تحليل المعادلة التربيعية يكون على صورة ﺱ ناقص ١٢ مضروبًا في ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا.
يمكننا التحقق من ذلك عن طريق إعادة توزيع الأقواس، ربما باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني إذا أردنا. بعد ذلك، نتذكر أنه إذا كان حاصل ضرب قيمتين أو عاملين يساوي صفرًا، فإن أحد هذين العاملين لا بد أن يساوي صفرًا. بجعل كل عامل يساوي صفرًا على التوالي، نحصل على المعادلتين ﺱ ناقص ١٢ يساوي صفرًا أو ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. كل من هذه المعادلتين يمكن حلها في خطوة واحدة.
لحل المعادلة الأولى، نضيف ١٢ إلى كلا الطرفين، فنحصل على ﺱ يساوي ١٢. ولحل المعادلة الثانية، نضيف واحدًا إلى كلا الطرفين، فنحصل على ﺱ يساوي واحدًا. إذن، يوجد حلان لهذه المعادلة التربيعية. لكن هل كلاهما قيمة صحيحة لـ ﺱ؟ إذا نظرنا إلى الشكل، نجد أن ارتفاع شبه المنحرف يساوي ﺱ ناقص سبعة. وعرض المستطيل يساوي ﺱ ناقص تسعة. لكي تكون هاتان القيمتان موجبتين، ويجب أن يكونا كذلك لأن كليهما طولان، يجب أن تكون قيمة ﺱ أكبر من تسعة. فعلى الرغم من أن ﺱ يساوي واحدًا هو حل صحيح لهذه المعادلة التربيعية، لكن هذه ليست قيمة ممكنة لـ ﺱ في هذا الشكل. إذن، قيمة ﺱ التي نريدها هي ١٢.
يمكننا التحقق من هذه الإجابة، إذا أردنا، بالتعويض عن ﺱ بـ ١٢ في المقدارين اللذين يعبران عن المساحتين والتأكد من أنهما متساويتان بالفعل. وفي كلتا الحالتين، سنحصل على الإجابة ٧٥. وبذلك، تكون قيمة ﺱ صحيحة.
إذن، إجاباتنا عن الأجزاء الثلاثة للمسألة هي أولًا المقدار الذي يعبر عن مساحة المستطيل هو اثنان ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص تسعة. وثانيًا، المقدار الذي يعبر عن مساحة شبه المنحرف هو ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة. وثالثًا، إذا كان شبه المنحرف والمستطيل متساويين في المساحة، فإن قيمة ﺱ تساوي ١٢.
