فيديو السؤال: اشتقاق تركيب من دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي سالب تسعة ظا ستة ﺱ ناقص قتا سبعة ﺱ.

بالنظر إلى الدالة المطلوب اشتقاقها، يمكننا ملاحظة أنها تتكون من دالة مثلثية، ظا ستة ﺱ، وكذلك مقلوب دالة مثلثية، قتا سبعة ﺱ، التي نتذكر أنها تساوي واحدًا على جا سبعة ﺱ. لإيجاد كل من هذه المشتقات، علينا تذكر النتائج القياسية لاشتقاق كل من هذه الدوال. أولًا، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ظا ﺃﺱ، حيث ﺃ ثابت، تساوي ﺃ مضروبًا في قا تربيع ﺃﺱ. ويمكننا ملاحظة ذلك إذا تذكرنا أن ظا ﺃﺱ يساوي جا ﺃﺱ على جتا ﺃﺱ، ويمكننا تطبيق قاعدة القسمة لإيجاد هذه المشتقة، وذلك بتطبيق النتائج القياسية لاشتقاق دالتي الجيب وجيب التمام.

نتذكر أيضًا أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ قتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ مضروبًا في قتا ﺃﺱ مضروبًا في ظتا ﺃﺱ. ومرة أخرى، يمكننا ملاحظة ذلك إذا اعتبرنا أن قتا ﺃﺱ هو واحد على جا ﺃﺱ، ثم طبقنا قاعدة القسمة بحيث تكون الدالة ﻉ في البسط تساوي واحد، والدالة ﻕ في المقام تساوي جا ﺃﺱ. ورغم أنه من المهم أن نعرف كيف نستنتج كل نتيجة من هذه النتائج، فمن المفيد أيضًا أن نحفظها في الذاكرة؛ لأننا يمكننا أن نقتبسها ثم نطبقها في حالات كهذه.

إذن، لنجد الآن تعبيرًا يدل على ﺩﺹ على ﺩﺱ. بتطبيق القاعدة الأولى، نجد أن مشتقة سالب تسعة ظا ستة ﺱ تساوي سالب تسعة مضروبًا في ستة قا تربيع ستة ﺱ. وبتطبيق القاعدة الثانية، نجد أن مشتقة قتا سبعة ﺱ تساوي سالب سبعة قتا سبعة ﺱ في ظتا سبعة ﺱ. إذن، التعبير كاملًا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب تسعة مضروبًا في ستة قا تربيع ستة ﺱ ناقص سالب سبعة قتا سبعة ﺱ في ظتا سبعة ﺱ. ويمكننا تبسيط المعاملات إلى سالب ٥٤ وموجب سبعة ثم نعيد ترتيب الحد بحيث يأتي الحد الموجب أولًا، إن أردنا ذلك. إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة قتا سبعة ﺱ في ظتا سبعة ﺱ ناقص ٥٤ قا تربيع ستة ﺱ.

تذكر أن علينا معرفة كيفية استنتاج كل نتيجة من هذه النتائج باستخدام قاعدة القسمة، ولكن من المفيد أيضًا حفظها في الذاكرة.