فيديو السؤال: تحليل حركة نظام جسم معلق رأسيًّا ومربوط بواسطة خيط يمر عبر بكرة بجسم آخر على مستوى أفقي خشن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته ١٦٢ جرامًا يرتكز على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية ظلها أربعة أثلاث. ربط هذا الجسم، بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبتة أعلى المستوى، بجسم آخر كتلته ١٨١ جرامًا معلق تعليقًا رأسيًّا حرًّا أسفل البكرة. معامل الاحتكاك بين الجسم الأول والمستوى يساوي نصفًا. أوجد المسافة التي يقطعها النظام في أول سبع ثوان من بدء حركته، إذا تحرك الجسمان من السكون. ‏ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سنبدأ برسم النظام. علمنا أن المستوى يميل على الأفقي بزاوية 𝛼، حيث ظا أو ظل الزاوية 𝛼 يساوي أربعة أثلاث. باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات القائمة الزاوية، نعلم أن ظا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وبما أن لدينا ثلاثية فيثاغورس، وهي ثلاثة، أربعة، خمسة، فإننا نعرف أن جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، وجتا أو جيب تمام الزاوية 𝛼 يساوي ثلاثة أخماس.

كتلتا الجسمين هما ١٦٢ جرامًا و١٨١ جرامًا. وبما أن الكيلوجرام الواحد يساوي ١٠٠٠ جرام، فإن كتلة كل من الجسمين تساوي ٠٫١٦٢ كيلوجرام و٠٫١٨١ كيلوجرام، على الترتيب. علمنا أن الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة؛ ما يعني أن القوة الرأسية لأسفل للجسم ﺃ تساوي ٠٫١٦٢ مضروبًا في ﺩ. والقوة الرأسية لأسفل للجسم ﺏ تساوي ٠٫١٨١ مضروبًا في ﺩ.

لدينا خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء. هذا يعني أن الشد سيكون متساويًا على طول الخيط. كما يعني أيضًا أن الجسمين سيتحركان بنفس العجلة. علمنا أن المستوى خشن؛ وهو ما يعني أن هناك قوة احتكاك ﺡ تؤثر عكس اتجاه الحركة. في هذه الحالة، عندما يتحرك الجسم ﺃ أعلى المنحدر، ستؤثر قوة الاحتكاك في اتجاه أسفل المنحدر. ولدينا قوة رد فعل عمودي تؤثر عموديًّا على المستوى. سنستخدم الآن قانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن محصلة القوى تساوي الكتلة مضروبة في العجلة، ويكتب عادة على الصورة ﻕ يساوي ﻙﺟ. بالنسبة للجسم ﺏ، سوف نحلل في الاتجاه الرأسي، أما بالنسبة للجسم ﺃ، فسوف نحلل في الاتجاه الموازي للمستوى والعمودي عليه.

لفعل ذلك، علينا إيجاد هاتين المركبتين لقوة الوزن التي تساوي ٠٫١٦٢ مضروبًا في ﺩ. باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات القائمة الزاوية، نجد أن القوة العمودية على المستوى تساوي ٠٫١٦٢ﺩ مضروبًا في جتا 𝛼. ومركبة القوة الموازية للمستوى تساوي ٠٫١٦٢ﺩ مضروبًا في جا 𝛼. نعلم أن جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس أو ٠٫٨، وجتا 𝛼 يساوي ثلاثة أخماس أو ٠٫٦.

بالنسبة للجسم ﺃ، عند تحليل القوى المؤثرة في اتجاه عمودي على المستوى، فإن محصلة القوى تساوي ﺭ ناقص ٠٫١٦٢ﺩ مضروبًا في ٠٫٦. وهذا يساوي ٠٫١٦٢ مضروبًا في صفر؛ لأن الجسم لا يتحرك بعجلة في هذا الاتجاه. يمكننا تبسيط ذلك بضرب ٠٫١٦٢ و٩٫٨ و٠٫٦. وهذا يعطينا ﺭ ناقص ٠٫٩٥٢٥٦ يساوي صفرًا. بإضافة ٠٫٩٥٢٥٦ إلى كلا الطرفين، نحصل على قيمة ﺭ تساوي هذا العدد. إذن، قوة رد الفعل العمودي تساوي ٠٫٩٥٢٥٦ نيوتن.

بالنسبة إلى الجسم ﺃ، يمكننا الآن تحليل القوى في الاتجاه الموازي للمستوى. لدينا ثلاث قوى تؤثر في هذا الاتجاه: قوة الشد في الخيط وقوة الاحتكاك و٠٫١٦٢ﺩ مضروبًا في ٠٫٨. وبما أن الجسم يتحرك أعلى المستوى، يصبح لدينا ﺵ ناقص ﺡ ناقص ٠٫١٦٢ﺩ مضروبًا في ٠٫٨ يساوي ٠٫١٦٢ﺟ. يمكن تبسيط ذلك إلى ﺵ ناقص ﺡ ناقص ١٫٢٧٠٠٨ يساوي ٠٫١٦٢ﺟ.

نعلم أنه عند التعامل مع سطح خشن، فإن قوة الاحتكاك ﺡ تساوي ﻡ، أي معامل الاحتكاك، مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي. في هذا السؤال، نعلم أن ﻡ يساوي نصفًا. ومن ثم، فإن قوة الاحتكاك تساوي نصف قوة رد الفعل العمودي. وبما أن هذا يساوي ٠٫٩٥٢٥٦، فيمكننا ضرب ذلك في نصف والتعويض به في المعادلة لدينا. هذا يعطينا ﺵ ناقص ١٫٧٤٦٣٦ يساوي ٠٫١٦٢ﺟ.

دعونا الآن نتناول الجسم ﺏ ونحلل في الاتجاه الرأسي. بما أن الجسم يتحرك بعجلة لأسفل، فسنعتبر هذا الاتجاه هو الاتجاه الموجب. لدينا ٠٫١٨١ﺩ ناقص ﺵ يساوي ٠٫١٨١ﺟ. بضرب ٠٫١٨١ في ٩٫٨، نحصل على ١٫٧٧٣٨. لدينا الآن معادلتان بهما مجهولان وهما الشد ﺵ والعجلة ﺟ. سنفرغ بعض المساحة ونحل هاتين المعادلتين الآنيتين بطريقة الحذف. عند جمع المعادلتين الأولى والثانية، يحذف ﺵ. وبهذا، يصبح الطرف الأيمن ٠٫٠٢٧٤٤ والطرف الأيسر ٠٫٣٤٣ﺟ. يمكننا قسمة كلا الطرفين على ٠٫٣٤٣، فنجد أن ﺟ يساوي ٠٫٠٨. إذن، عجلة النظام عند التحرك من السكون تساوي ٠٫٠٨ متر لكل ثانية مربعة.

يمكننا الآن استخدام هذه القيمة لحساب المسافة التي يقطعها النظام في أول سبع ثوان. سنفعل ذلك باستخدام معادلات الحركة. علينا حساب الإزاحة ﻑ. نحن نعلم أن السرعة الابتدائية تساوي صفرًا متر لكل ثانية، والعجلة تساوي ٠٫٠٨ متر لكل ثانية مربعة، والزمن المستغرق يساوي سبع ثوان. سنستخدم المعادلة ﻑ يساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ﻑ يساوي صفرًا مضروبًا في سبعة زائد نصف مضروبًا في ٠٫٠٨ مضروبًا في سبعة تربيع. وهذا يساوي ١٫٩٦. إذن، المسافة المقطوعة تساوي ١٫٩٦ متر. بما أن المتر الواحد يساوي ١٠٠ سنتيمتر، فإن هذا يساوي ١٩٦ سنتيمترًا.

إذن، يقطع النظام مسافة مقدارها ١٩٦ سنتيمترًا في أول سبع ثوان من بدء الحركة.