نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃﺏ مماسًّا للدائرة، وكانت ﺩ وﺟ تقعان على الدائرة، فأوجد قيمة ﺱ لأقرب جزء من عشرة.
دعونا نبدأ بالتفكير جيدًا في هذا الشكل أمامنا. علمنا من السؤال أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماس للدائرة. وكما نلاحظ، تقطع القطعة المستقيمة ﺏﺩ الدائرة في موضعين هما النقطتان ﺟ وﺩ. ومن ثم فإن القطعة المستقيمة ﺏﺩ قاطع للدائرة. علمنا من المعطيات طول ﺃﺏ، وهو يساوي ٢١ سنتيمترًا، ولدينا طول ﺏﺩ بدلالة ﺱ ومطلوب منا إيجاد قيمته.
ولكي نفعل ذلك، علينا كتابة العلاقة التي تربط بين طول المماس وطول القاطع المتقاطعين عند نقطة. توضح هذه العلاقة أنه إذا تقاطع مماس وقاطع خارج دائرة، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول القطعة المستقيمة الخارجية من القاطع.
هذه علاقة طويلة إلى حد ما. لذا، دعونا نتناولها خطوة بخطوة لفهم ما تعنيه في هذا السؤال. في البداية، تشير العلاقة إلى تقاطع مماس وقاطع خارج دائرة، وهذا هو حال المماس والقاطع لدينا بالفعل. كل من القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺏﺩ يتقاطع عند النقطة ﺏ، التي تقع خارج الدائرة. بعد ذلك، تتحدث العلاقة عن مربع طول المماس. وفي هذه المسألة لدينا سيكون هذا ﺃﺏ تربيع.
بعد ذلك، علمنا أن هذا يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول القطعة المستقيمة الخارجية من القاطع. القاطع هو القطعة المستقيمة ﺏﺩ بالكامل. والقطعة المستقيمة الخارجية من القاطع هي فقط الجزء من القاطع الموجود خارج الدائرة. بعبارة أخرى، إنه القطعة المستقيمة ﺏﺟ.
بهذا تكون لدينا المعادلة ﺃﺏ تربيع يساوي ﺏﺩ في ﺏﺟ. ويمكننا الآن التعويض ببعض قيم أو مقادير كل جزء من هذه الأجزاء. ﺃﺏ تربيع يساوي ٢١ تربيع، وﺏﺩ هو طول هذه القطعة المستقيمة بالكامل، ما يعني أنه يساوي ﺱ زائد ﺱ زائد اثنين، وﺏﺟ يساوي ﺱ. دعونا نبسط هذه المعادلة. ٢١ تربيع يساوي ٤٤١. وفي الطرف الأيمن، يبسط ما بداخل القوسين إلى اثنين ﺱ زائد اثنين.
بعد ذلك، سنفك ما بداخل القوسين في الطرف الأيمن. وهكذا يصبح لدينا ٤٤١ يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. وأخيرًا، سنجعل جميع الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة. ولفعل ذلك نطرح ٤٤١ من كلا الطرفين. بهذا تصبح لدينا المعادلة اثنان ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٤١ يساوي صفرًا.
هذه معادلة تربيعية. وبالطبع لا يمكننا تحليلها مباشرة. لذا سنستخدم القانون العام لحلها. يوضح القانون العام أن حلول المعادلة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا تعطى بواسطة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ.
بالنسبة إلى المعادلة التي لدينا، كل من ﺃ وﺏ يساوي اثنين وﺟ يساوي سالب ٤٤١. وبالتعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ في القانون العام، نجد أن ﺱ يساوي سالب اثنين زائد أو ناقص الجذر التربيعي لاثنين تربيع ناقص أربعة مضروبًا في اثنين مضروبًا في سالب ٤٤١ الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في اثنين. وإذا استخدمنا الآلة الحاسبة لحساب ذلك، فسنحصل على حلين ممكنين لموجب وسالب الجذر التربيعي، وهما ١٤٫٣٥٧٦ وسالب ١٥٫٣٥٧٦.
تذكر أن ﺱ يمثل طولًا. إنه طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. ولذلك، لا بد أن تكون قيمته موجبة. إذن الحل المناسب هنا هو الحل الموجب؛ أي ١٤٫٣٥٧٦. مطلوب منا أيضًا إعطاء الإجابة لأقرب جزء من عشرة. لذا علينا تقريبها. وبفعل ذلك نجد أن قيمة ﺱ لأقرب جزء من عشرة تساوي ١٤٫٤.
تذكر الحقيقة الأساسية التي استخدمناها في هذا السؤال: إذا تقاطع مماس وقاطع خارج دائرة، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول القطعة المستقيمة الخارجية من القاطع.
