نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة، وﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي ثلاثة.
هيا نبدأ هذا السؤال برسم شكل مبسط لهاتين الدالتين لنرى ما نفعله. إن المساحة المحصورة بين هاتين المعادلتين هي هذه المساحة هنا. حسنًا، أحد الأمور التي نعرف أنها ستفيدنا هي إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى والمحور ﺱ في الفترة بين ﺃ وﺏ باستخدام التكامل. لكن في هذا السؤال، لا نريد المساحة الكلية بين المنحنى والمحور ﺱ. نحن نريد المساحة بين المستقيم والمنحنى. لكن إذا تمكنا من حساب المساحة الكلية أسفل المنحنى البرتقالي بين النقطتين ﺃ وﺏ، وحساب المساحة أسفل المستقيم الوردي بين ﺃ وﺏ، يمكننا إذن طرح إحداهما من الأخرى للحصول على المساحة المحصورة بينهما.
لكن ما النقطتان ﺃ وﺏ؟ حسنًا، نحن نعلم أنهما النقطتان اللتان يتقاطع عندهما ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة مع ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي ثلاثة. دعونا نفعل ذلك بإعادة ترتيب هذه المعادلة لعزل ﺱ، ثم التعويض بذلك في هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. عند إعادة ترتيب المعادلة لعزل ﺱ، نحصل على: ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة. وبالتعويض بذلك في ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة، نحصل على: ﺹ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺹ زائد ثلاثة ناقص خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: ﺹ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺹ ناقص اثنين.
نحل هذه المعادلة إذن لإيجاد قيمة ﺹ. يجب أن نحصل في النهاية على قيمتين مختلفتين لـ ﺹ. وهما قيمتا ﺹ لنقطتي تقاطع المنحنى والمستقيم. ومن ثم، يمكننا استخدام التعويض لإيجاد قيمتي ﺱ لنقطتي التقاطع.
لنبدأ إذن بتربيع طرفي هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. هذا يعطينا: ﺹ تربيع يساوي ثلاثة ﺹ ناقص اثنين. وعند إعادة الترتيب، نحصل على: ﺹ تربيع ناقص ثلاثة ﺹ زائد اثنين يساوي صفرًا. نلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية. لذا، دعونا نحل هذه المعادلة التربيعية من خلال التحليل.
يمكننا تحليل ذلك إلى: ﺹ ناقص اثنين مضروبًا في ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا. وهذا يعطينا حلين؛ وهما: ﺹ يساوي اثنين، وﺹ يساوي واحدًا. دعونا نعوض بهما في: ﺱ يساوي ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة؛ لإيجاد قيمتي ﺱ. عندما يكون ﺹ مساويًا لاثنين، نجد أن ﺱ يساوي تسعة. وعندما يكون ﺹ مساويًا لواحد، نجد أن ﺱ يساوي ستة. هذا يعطينا نقطتي تقاطع المنحنى مع المستقيم؛ وهما: ستة، وتسعة. إذن، هاتان هما القيمتان اللتان علينا أن نجري التكامل بينهما.
تذكر أننا قلنا إننا نحتاج إلى حساب المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ لإحدى الدالتين، والمساحة بين المستقيم والمحور ﺱ للدالة الأخرى. يمكننا بعد ذلك طرح المساحتين لإيجاد المساحة المحصورة بينهما. عادة ما تكون الدالة الأولى هي الدالة ذات التمثيل البياني الأعلى، أي المنحنى البرتقالي هنا، وهو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة. ومن ثم، فإن الدالة الثانية ستكون هي الدالة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي ثلاثة. لكن علينا إعادة ترتيب هذا ليصبح دالة في ﺱ تساوي ﺹ.
إذن، بإعادة الترتيب، يصبح لدينا: ثلاثة ﺹ يساوي ﺱ ناقص ثلاثة، وبهذا نحصل على: ﺹ يساوي ثلث ﺱ ناقص واحد. لنبدأ في إجراء التكامل بين ستة وتسعة للجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ. ولأن هذه دالة جذرية، دعونا نجر تكامل هذا باستخدام التكامل بالتعويض. إذا اخترنا التعويض بـ ﻉ يساوي ﺱ ناقص خمسة، فإن اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﺱ يعطينا: ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا.
على الرغم من أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، إلا أننا نتعامل معه على أنه كسر عندما نجري التكامل بالتعويض. إذن، بإعادة ترتيب ذلك، نجد أن ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. وهذا يعني أنه يمكننا التبديل المباشر بين ﺩﺱ وﺩﻉ. دعونا أولًا نوجد هذا التكامل دون تضمين الحدود، وسنستخدمها بعد ذلك.
نبدأ بكتابة التكامل باستخدام التعويض؛ حيث يصبح التكامل هو تكامل الجذر التربيعي لـ ﻉ ﺩﻉ. لكننا نعلم أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﻉ على الصورة: ﻉ أس نصف. والآن، نجري تكامل ﻉ أس نصف بالنسبة إلى ﻉ. نحن نعلم أنه يمكننا إجراء ذلك بإضافة واحد إلى الأس للحصول على الأس الجديد ثلاثة على اثنين، ثم القسمة على الأس الجديد، أي القسمة على ثلاثة على اثنين. حتى الآن، ليس لدينا أي حدود هنا، لذا نضيف ثابت التكامل ﺙ.
القسمة على ثلاثة على اثنين هي نفسها الضرب في اثنين على ثلاثة. لذلك، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: اثنان على ثلاثة ﻉ أس ثلاثة على اثنين زائد ﺙ. لكننا نتذكر أن ﻉ يساوي ﺱ ناقص خمسة. إذن، سنعوض عن ﻉ بـ ﺱ ناقص خمسة. ما نريده هنا هو التكامل بين ستة وتسعة للجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا حساب التكامل الذي أوجدناه، وهو: اثنان على ثلاثة ﺱ ناقص خمسة أس ثلاثة على اثنين، بين الحدين ستة وتسعة.
لاحظ أنه عندما يكون لدينا حدود التكامل، لا نحتاج بعد ذلك إلى ثابت التكامل. نعوض بـ ﺱ يساوي تسعة وﺱ يساوي ستة، ثم نطرح. يمكننا بعد ذلك تبسيط ما بداخل كل قوس. نحسب ذلك لنحصل على ١٤ على ثلاثة. إذن، هذا هو ناتج التكامل بين ستة وتسعة للجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ.
لكن علينا أيضًا أن نحسب التكامل بين ستة وتسعة لثلث ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ. نحسب هذا التكامل بالطريقة المعتادة، حدًّا تلو الآخر، من خلال إضافة واحد إلى الأس والقسمة على الأس الجديد. إذن، تكامل ثلث ﺱ يعطينا ثلث ﺱ تربيع على اثنين. ونعلم أيضًا أن تكامل واحد يساوي ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. علينا إذن حساب ثلث ﺱ تربيع على اثنين ناقص ﺱ بين ستة وتسعة. لكن دعونا أولًا نبسط ثلث ﺱ تربيع على اثنين.
ثلث مقسوم على اثنين يساوي سدسًا. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ﺱ يساوي تسعة وﺱ يساوي ستة، ثم الطرح. هذا يعطينا: ٨١ على ستة ناقص تسعة ناقص ٣٦ على ستة ناقص ستة. وهذا يساوي تسعة على اثنين. بذلك نكون قد أوجدنا المساحة أسفل المنحنى البرتقالي؛ وهي: ١٤ على ثلاثة، والمساحة أسفل المستقيم الوردي؛ وهي: تسعة على اثنين.
تذكر أننا قلنا إنه لإيجاد المساحة المحصورة بين المنحنى والمستقيم، علينا طرح هاتين القيمتين. إذن، المساحة المحصورة بينهما تساوي ١٤ على ثلاثة ناقص تسعة على اثنين. وهذا يساوي واحدًا على ستة.
