نسخة الفيديو النصية
من النقطة ﺃ على جانب نهر، رأى رجل بيتًا يقع على الجانب الآخر من النهر عند النقطة ﺏ، ووجد أنه في اتجاه ٣٩ درجة شمال الشرق. عندما سار الرجل ١٤٧ مترًا موازيًا للنهر في اتجاه الشرق ليصل إلى النقطة ﺟ، وجد النقطة ﺏ في اتجاه ٥٩ درجة شمال الشرق. إذا كان جانبا النهر متوازيين، وكانت النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ تقع في نفس المستوى الأفقي، فأوجد عرض النهر، لأقرب متر.
لدينا الكثير من المعطيات في السؤال، ولكن سيساعدنا أيضًا أن لدينا شكلًا لتمثيل هذه المعطيات. يمكننا أن نرى النقطتين ﺃ وﺟ على أحد جانبي النهر، والنقطة ﺏ، التي تمثل البيت، على الجانب الآخر. الزاويتان اللتان قياساهما ٣٩ درجة و٥٩ درجة، اللتان تمثلان الاتجاهين من النقطتين ﺃ وﺟ إلى النقطة ﺏ، محددتان على الشكل. وتوصف كل من هاتين الزاويتين بأنها تقع في اتجاه شمال الشرق. إذا افترضنا أن لدينا بوصلة اتجاهها الشمالي هو الاتجاه الرأسي على الشاشة، فإن اتجاه شمال الشرق ستمثله زاوية في هذا الاتجاه لأعلى من اتجاه الشرق. نعرف أيضًا المسافة بين النقطتين ﺃ وﺟ، وتبلغ ١٤٧ مترًا سارها الرجل في اتجاه الشرق بالتوازي مع النهر.
يطلب منا السؤال إيجاد عرض النهر، والذي نراه محددًا على الشكل هنا. الآن، يمكننا ملاحظة وجود مثلث يتكون من النقاط ﺃ وﺏ وﺟ. ولكن عرض النهر ليس من أضلاع هذا المثلث. لكن إذا رسمنا خطًّا رأسيًّا من النقطة ﺏ إلى امتداد القطعة المستقيمة ﺃﺟ، التي تلتقي بهذا الخط الرأسي عند زاوية قائمة، فإن العرض سيساوي طول القطعة المستقيمة ﺏﺩ. يمكننا أن نشير إلى هذا بـ ﺽ متر، وهو أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية ﺏﺟﺩ.
المعلومتان الوحيدتان اللتان نعرفهما عن هذا المثلث حاليًّا هما أنه مثلث قائم الزاوية وبه زاوية قياسها ٥٩ درجة. يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث، ولكن بدون معرفة طول أي من الأضلاع لن نتمكن من المتابعة في الحل بعد ذلك.
لاحظ أن الضلع ﺏﺟ مشترك مع المثلث ﺃﺏﺟ. ونحن نعرف طول أحد الأضلاع في المثلث ﺃﺏﺟ. طول ﺃﺟ يساوي ١٤٧ مترًا. إذن، ربما يمكننا إجراء بعض الخطوات في المثلث ﺃﺏﺟ أولًا لكي نتمكن من إيجاد طول الضلع ﺏﺟ. في المثلث ﺃﺏﺟ، نعلم أن طول الضلع ﺃﺟ يساوي ١٤٧ مترًا، وقياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٣٩ درجة. يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺏ؛ لأن هذه الزاوية تقع على خط مستقيم مع الزاوية التي قياسها ٥٩ درجة. ومجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٥٩ درجة، وهو ما يساوي ١٢١ درجة.
يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في المثلث ﺃﺏﺟ. فمجموع قياسات زوايا المثلث هو ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٣٩ درجة ناقص ١٢١ درجة، وهو ما يساوي ٢٠ درجة. في المثلث ﺃﺏﺟ، نعرف الآن قياسات الزوايا الثلاث كلها وطول أحد الأضلاع. ونحن نريد حساب طول ضلع آخر، وهو الضلع ﺏﺟ، ويمكننا فعل ذلك باستخدام قانون الجيوب.
ينص هذا القانون على أنه في المثلث ﺃﺏﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ تمثل قياسات الزوايا الثلاث، وﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة تمثل أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا المناظرة، يكون ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. الضلع الذي يبلغ طوله ١٤٧ مترًا هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٢٠ درجة، والضلع الذي نريد حساب طوله، ﺏﺟ، يقابل الزاوية التي قياسها ٣٩ درجة.
إذن باستخدام قانون الجيوب، يمكننا تكوين معادلة. ﺏﺟ على جا ٣٩ درجة يساوي ١٤٧ على جا ٢٠ درجة. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد طول ﺏﺟ بضرب كلا الطرفين في جا ٣٩ درجة. يعطينا هذا ﺏﺟ يساوي ١٤٧ جا ٣٩ درجة على جا ٢٠ درجة. ويمكننا حساب ذلك على الآلة الحاسبة، التي يجب أن تكون مضبوطة على وضع الدرجات، وتعطينا ٢٧٠٫٤٨١ وهكذا مع توالي الأرقام. سنحتفظ بهذه القيمة على شاشة الآلة الحاسبة.
أوجدنا الآن طول الضلع ﺏﺟ، الذي ذكرنا أنه ضلع مشترك مع المثلث ﺏﺟﺩ. نعود إلى المثلث ﺏﺟﺩ القائم الزاوية، والذي نعرف الآن طول أحد أضلاعه وقياسات جميع زواياه. إذن، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب طول الضلع ﺏﺩ، وهو ما سيعطينا عرض النهر.
بتسمية الأضلاع الثلاثة في هذا المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٥٩ درجة، نجد أن ﺏﺩ هو المقابل، وﺟﺩ هو المجاور، وﺏﺟ هو الوتر. الضلع الذي نعرف طوله هو الوتر، والضلع الذي نريد حساب طوله هو المقابل. بتذكر تعريفات النسب المثلثية، نجد أن نسبة الجيب هي التي علينا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال.
لأي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية، جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. بالتعويض بـ ٥٩ درجة عن 𝜃، وﺽ عن الضلع المقابل، و٢٧٠٫٤٨١ وهكذا مع توالي الأرقام عن طول الوتر، يصبح لدينا جا ٥٩ درجة يساوي ﺽ على ٢٧٠٫٤٨١ وهكذا مع توالي الأرقام. للحل لإيجاد قيمة ﺽ، نضرب كلا الطرفين في المقام ٢٧٠٫٤٨١ مع توالي الأرقام. إذا كنت قد احتفظت بهذه القيمة على الآلة الحاسبة، فيمكنك ضربها مباشرة في جا ٥٩ درجة للحصول على القيمة الدقيقة لـ ﺽ. ويكون الناتج ٢٣١٫٨٤ وهكذا مع توالي الأرقام.
يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب متر. لذا سنقرب الإجابة لأقرب عدد صحيح، وبما أن القيمة في المنزلة العشرية الأولى تساوي ثمانية، فسنقرب لأعلى.
إذن، باستخدام قانون الجيوب في المثلث غير القائم أولًا، ثم استخدام نسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية، وجدنا أن عرض النهر لأقرب متر يساوي ٢٣٢ مترًا.
