فيديو السؤال: تطبيق مبدأ كافالييري الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هناك شكلان ثلاثيا الأبعاد يقعان بين مستويين متوازيين. أي مستوى آخر يواز المستويين يقطع كلا الشكلين في مناطق مساحتها متساوية. ماذا يمكن أن تستنتج بالنسبة إلى الشكلين؟

حسنًا، تخبرنا المسألة أن لدينا هنا شكلين ثلاثيي الأبعاد. وتخبرنا أيضًا أن هذين الشكلين يقعان بين مستويين متوازيين. كما تخبرنا أن أي مستوى آخر مواز لهذين المستويين يتقاطع مع هذين الشكلين في مناطق مساحتها متساوية. إذن، لنفترض أن لدينا مستوى ثالثًا مثل هذا موازيًا للمستويين الأولين. المناطق الثنائية الأبعاد، للشكلين الثلاثيي الأبعاد، التي تتقاطع مع هذا المستوى هي مناطق مساحتها متساوية. تصعب معرفة ذلك من خلال هذا الرسم الثنائي الأبعاد. لكن يمكننا أن نتخيل أن هاتين المساحتين المظللتين باللون الوردي متساويتان.

تخبرنا المسألة أن أي مستوى مواز للمستويين الأولين فإنه سيؤدي إلى النتيجة نفسها. فهو سيتقاطع مع كلا الشكلين في مناطق مساحتها متساوية. بناء على ذلك، نريد معرفة ما يمكننا استنتاجه عن هذين الشكلين.

تخيل أن لدينا مستوى موازيًا للمستويين الأولين، ويتحرك قاطعًا هذين الشكلين. بينما يحدث ذلك، عند كل لحظة من الزمن، فإن المناطق الموجودة في هذين الشكلين الثلاثيي الأبعاد، التي يتقاطع معها المستوى، تكون متماثلة في المساحة. وبمجرد أن يمر هذا المستوى بالكامل عبر الشكلين، إذا جمعنا جميع مساحات المقاطع العرضية في الشكل الأول، فإن هذا يساوي جميع مساحات المقاطع العرضية في الشكل الثاني. وهذا يخبرنا أن هذين الشكلين متساويان في الحجم.

هذا الاستنتاج، بناء على ما علمناه في هذه الحالة، هو تأكيد لمبدأ رياضي عام يسمى مبدأ كافالييري. وهنا، رأينا أن هذا المبدأ ينطبق على هذين الشكلين الثلاثيي الأبعاد.