فيديو السؤال: إيجاد مدى القوة المؤثرة على جسم موضوع على مستوى مائل خشن لكي يكون الجسم في حالة اتزان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم وزنه ٢٥ نيوتن موضوع على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية جيب تمامها أربعة أخماس. معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي خمسًا. تؤثر قوة مقدارها ﻕ على الجسم وتبقيه في حالة اتزان. إذا كانت القوى تؤثر لأعلى باتجاه خط أكبر ميل للمستوى، فما الذي يمكننا معرفته بصورة مؤكدة عن قيمة ﻕ؟

لدينا الكثير من المعطيات في هذا السؤال. لذا، سنبدأ برسم شكل توضيحي. لدينا مستوى خشن يميل على الأفقي، كما هو موضح. ولدينا جسم يرتكز على هذا المستوى وزنه ٢٥ نيوتن. وهذا يعني أن الجسم يؤثر بقوة لأسفل على المستوى تساوي ٢٥ نيوتن. وتوجد أيضًا قوة رد الفعل، وهي القوة التي يؤثر بها المستوى على الجسم. وتؤثر عموديًّا على المستوى كما هو موضح.

نعلم من المعطيات أن المستوى يميل بزاوية جيب تمامها يساوي أربعة أخماس. لذا سنسمي هذه الزاوية 𝛼. ويمكننا أن نقول إن جتا 𝛼 يساوي أربعة أخماس. في الواقع، سيساعدنا ذلك في إيجاد قيمة جا 𝛼 أيضًا. إذا صنعنا مثلثًا صغيرًا قائم الزاوية يتضمن الزاوية المحصورة 𝛼، ونعلم أن جتا 𝛼 يساوي الضلع المجاور على طول الوتر، فيمكننا تحديد طول الوتر بأنه يساوي خمس وحدات، وطول الضلع المجاور بأنه يساوي أربع وحدات.

نستنتج من ثلاثية فيثاغورس، وهي ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع، أن طول الضلع الثالث في هذا المثلث لا بد أن يساوي ثلاث وحدات. وهو الضلع المقابل للزاوية المحصورة. بما أن جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فإن جا 𝛼 في هذه الحالة يجب أن يساوي ثلاثة على خمسة أو ثلاثة أخماس. لا يعنينا كثيرًا إيجاد قيمة ظا 𝛼. لذلك، سنستبعد المثلث القائم الزاوية.

علمنا من المعطيات أن معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي خمسًا، وتذكر أننا نشير إليه بالرمز ﻡﻙ. لدينا بعد ذلك قوة مقدارها ﻕ تؤثر على الجسم. وقد علمنا أن تلك القوة تؤثر لأعلى باتجاه خط أكبر ميل للمستوى، أي في هذا الاتجاه. لكننا نعلم أيضًا أنها تؤثر على الجسم وهو في حالة اتزان. فماذا يعني ذلك؟

حسنًا، لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون المجموع الاتجاهي للقوى المؤثرة عليه يساوي صفرًا، وذلك بدلالة هذا الجسم الذي يؤثر على مستوى خشن يميل على الأفقي. يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة عموديًّا على المستوى يجب أن يساوي صفرًا. ومجموع القوى المؤثرة في الاتجاه الموازي للمستوى يجب أن يساوي صفرًا أيضًا.

ومن ثم، علينا التفكير في قوة أخرى تؤثر على الجسم. وهي قوة الاحتكاك. ثمة خياران هنا. إذا أطلقنا على قوة الاحتكاك ﺡﻙ، وافترضنا أن الجسم في حالة اتزان نهائي، أي إنه على وشك الحركة، فمن الممكن أن يتحرك في اتجاه أعلى المستوى. في هذه الحالة، ستؤثر قوة الاحتكاك في الاتجاه المعاكس. بمعنى أنها ستؤثر في اتجاه أسفل المستوى. في المقابل، يمكن أن يكون الجسم على وشك التحرك لأسفل المستوى. وفي هذه الحالة، فإن قوة الاحتكاك تؤثر في اتجاه أعلى المستوى، أي ستؤثر في نفس اتجاه ﻕ. سنتناول إذن هاتين الحالتين.

لكن قبل أن نفعل ذلك، سنباشر في تحليل القوى المؤثرة عموديًّا على المستوى. وسيمكننا ذلك من إيجاد قيمة ﺭ. بالطبع لا تؤثر قوة وزن الجسم في الاتجاه الموازي أو العمودي. لذا قسمناها إلى مركبتين من خلال إضافة مثلث قائم الزاوية. لاحظ أن الزاوية المحصورة هي 𝛼 أيضًا. وعليه، فإن مركبة القوة المؤثرة عموديًّا على المستوى تساوي قياس الضلع المجاور في المثلث.

سنستخدم نسبة جيب التمام؛ لأننا نعرف بالطبع قيمة طول الوتر. فهو يساوي ٢٥ نيوتن. إذن يمكننا القول إن جتا 𝛼 يساوي الضلع المجاور على الوتر. دعونا نعوض عن جتا 𝛼 بأربعة أخماس؛ لأننا علمنا أن جيب تمام الزاوية يساوي أربعة أخماس، وطول الوتر يساوي ٢٥.

يمكننا إيجاد قيمة الضلع المجاور في هذا المثلث بضرب الطرفين في ٢٥. عندما نفعل ذلك، نجد أن مركبة الوزن التي تؤثر عموديًّا على المستوى تساوي أربعة أخماس في ٢٥، وهذا يساوي ٢٠ نيوتن. أصبح الآن بإمكاننا تحليل القوى العمودية على المستوى. نعلم أن المجموع الاتجاهي للقوى يساوي صفرًا لأن الجسم في حالة اتزان. في هذه الحالة، إذا افترضنا أن القوة ﺭ تؤثر في الاتجاه الموجب، يمكننا القول إن ﺭ ناقص ٢٠ لا بد أن يساوي صفرًا. سنوجد قيمة ﺭ بإضافة ٢٠ إلى كلا الطرفين. وعليه، نجد أن ﺭ يساوي ٢٠ نيوتن.

بذلك نكون قد انتهينا من تحليل القوى العمودية على المستوى. لذا، سننتقل إلى تحليل القوى الموازية للمستوى. سنتابع الحل بناء على افتراض أن الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى. لذا يؤثر الاحتكاك في الاتجاه المعاكس لـ ﻕ.

سنتبع خطوات مماثلة نوعًا ما كما فعلنا عند تحليل القوى العمودية على المستوى. وسنوجد مركبة الوزن التي تؤثر في هذا الاتجاه، أي في الاتجاه الموازي للمستوى. هذا هو الضلع المقابل في هذا المثلث. ونحن نعرف قيمة طول الوتر. إذن يمكننا استخدام نسبة الجيب. جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. ولهذا السبب حسبنا قيمة جا 𝛼. يمكننا الآن التعويض عن جا 𝛼 بثلاثة أخماس، وعن طول الوتر بـ ٢٥.

دعونا نضرب كلا الطرفين في ٢٥ لإيجاد قيمة الضلع المقابل. وعندئذ، نجد أن مركبة الوزن التي تؤثر في الاتجاه المتوازي للمستوى تساوي ثلاثة أخماس في ٢٥، أي ١٥ نيوتن. سنضيف ذلك إلى الشكل التوضيحي. أصبحنا الآن مستعدين لتحليل القوى الموازية للمستوى. نعلم أن الجسم في حالة اتزان. وهذا يعني أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا.

سنفترض أن ﻕ تؤثر في الاتجاه الموجب. ثم لدينا الاحتكاك، ومركبة الوزن التي تؤثر في الاتجاه الموازي للمستوى تؤثر في الاتجاه المعاكس. لذا، القوة المحصلة تساوي ﻕ ناقص ١٥ ناقص ﺡﻙ، أي الاحتكاك. وهذا، بالطبع، يساوي صفرًا. لكن تذكر أن الاحتكاك يساوي ﻡﻙﺭ. ما يعني أنه يساوي معامل الاحتكاك مضروبًا في قوة رد الفعل. يمكننا إذن التعويض عن ﺡﻙ بـ ﻡﻙ في ﺭ. إذن، يصبح لدينا خمس في ٢٠.

تذكر أنه قد ورد في السؤال أن ﻡﻙ، أي معامل الاحتكاك، يساوي خمسًا. وحسبنا قيمة ﺭ في البداية. إذن ﻕ ناقص ١٥ ناقص خمس في ٢٠ يساوي صفرًا. وخمس في ٢٠ يساوي أربعة. ومن ثم، تبسط المعادلة إلى ﻕ ناقص ١٩ يساوي صفرًا. نضيف ١٩ إلى كلا الطرفين. وهكذا، نجد أنه في الحالة الأولى، ﻕ يساوي ١٩ نيوتن.

هيا ننتقل الآن إلى تحليل القوى الموازية للمستوى في الحالة الثانية. عندما يكون الجسم على وشك التحرك لأسفل المستوى. ومن ثم، يؤثر الاحتكاك في نفس اتجاه ﻕ. تظل قيم معظم القوى دون تغيير. لكن بما أن الاحتكاك يؤثر في نفس اتجاه ﻕ، فإننا نجعله موجبًا. وبذلك فإن القوة الكلية تساوي ﻕ ناقص ١٥ زائد الاحتكاك. وهذا يعني أن ﻕ ناقص ١٥ زائد خمس في ٢٠ يساوي صفرًا. ومن ثم، نحصل على المعادلة ﻕ ناقص ١٥ زائد أربعة يساوي صفرًا، أو ﻕ ناقص ١١ يساوي صفرًا. نضيف ١١ إلى كلا الطرفين. وهذه المرة، نجد أن ﻕ يساوي ١١.

إذن، لدينا حالتان. عندما يكون الجسم في حالة اتزان نهائي، أي إنه على وشك الحركة إلى أعلى المستوى أو إلى أسفل المستوى، فمن الممكن أن قيمة ﻕ تساوي ١١ نيوتن كحد أدنى أو ١٩ نيوتن كحد أقصى. وبالطبع، قد لا يكون الجسم على وشك الحركة. فقد يكون في حالة اتزان فقط. وفي هذه الحالة، يمكن أن تتراوح قيمة ﻕ بين ١١ و١٩ نيوتن. نعرف بالتأكيد أن قيمة ﻕ أكبر من أو تساوي ١١ نيوتن، وأقل من أو تساوي ١٩ نيوتن.