فيديو السؤال: تحديد التمثيلات البيانية لكثيرات الحدود ذات الدرجات العليا

نسخة الفيديو النصية

انظر إلى التمثيلات البيانية الموضحة. أي من هذه التمثيلات البيانية التمثيل البياني للدالة ﺩ في المتغير ﺱ يساوي ﺱ زائد واحد تربيع على ﺱ ناقص واحد في ﺱ زائد ثلاثة؟

إذن لدينا هنا دالة كسرية. فهي عبارة عن كسر، ويكون للدوال الكسرية خطوط تقارب. ويجب ألا يكون المقام فيها صفرًا. لأنك إذا قسمت أي عدد على صفر، فسيكون الناتج قيمة غير معرفة، ونحن لا نريد هذا! إذن، فإن العدد الذي يجعل المقام صفرًا هو واحد وسالب ثلاثة. فكيف عرفنا هذا؟ علينا أخذ العاملين الموجودين في المقام ونساويهما بصفر.

والآن علينا إضافة واحد إلى المعادلة جهة اليمين وطرح ثلاثة من المعادلة جهة اليسار. إذن، إن أردنا التعويض عن قيمة ﺱ بواحد، فعند النظر إلى المقام فسنجد أننا سنحصل بذلك على صفر في سالب اثنين، وعند ضرب صفر في أي عدد يكون الناتج صفرًا. وهكذا، إذا عوضنا بواحد، فإن المقدار جهة اليمين سيساوي صفرًا، وإذا عوضنا بسالب ثلاثة، فإن المقدار جهة اليسار سيساوي صفرًا. ولكن بما أننا نضربهما معًا، فيمكن لأي من هذين الرقمين أن يعطينا الناتج النهائي الذي يكون فيه المقام صفرًا، ومرة أخرى نحن لا نريد ذلك.

إذن يمكننا هنا أن نرى أن كل تمثيل بياني توجد فيه بالفعل خطوط تقارب عند سالب ثلاثة وواحد. وهذا لا يجعلنا نستبعد أيًا من الخيارات المتاحة. وستكون الخطوة التالية أن نلاحظ ما ستبدو عليه التمثيلات البيانية عندما تقترب إلى حد كبير من خطوط التقارب هذه، وحينها سنعلم، إذن فلنفكر في الأمر. إذا كان لدينا خطا تقارب عند سالب ثلاثة وواحد، فهذا يعني أننا لا يمكننا الاعتماد على هذه القيم. فهذا غير مناسب للدالة لدينا. إذن يمكننا التعويض بأعداد قريبة منها للغاية ونرى ما سيحدث.

فلنعوض بالقيم على يسار سالب ثلاثة، فنختار أعدادًا سالبة أكبر قليلًا من سالب ثلاثة، مثل سالب ٣٫٠١ وسالب ٣٫٠٠٠٩ وهكذا. ثم بعد ذلك علينا التعويض بأعداد على يمين خط التقارب هذا، أي أعداد تقترب أكثر من الاتجاه الموجب، مثل سالب ٢٫٩٩٩ وسالب ٢٫٩٩٩٩٩٩٩ وهكذا. ثم نفعل الشيء نفسه للعدد واحد، الأعداد القريبة للغاية من واحد التي تكون أقل منه بعض الشيء وأكبر منه بعض الشيء.

فلنبدأ أولًا بالأعداد على يسار أبعد خط تقارب على اليسار، ﺱ يساوي سالب ثلاثة. لدينا، على سبيل المثال سالب ٣٫٠١، فلنعوض بهذا العدد. وعليه نستبدل ﺱ في الدالة بسالب ٣٫٠١. فنحصل بذلك على ١٠٠٫٧٥، وهي نقطة مرتفعة. وعليه فلنعوض بعدد أقرب من ذلك إلى ﺱ يساوي سالب ثلاثة. بدلًا من سالب ٣٫٠١، ماذا عن ﺱ يساوي سالب ٣٫٠٠١؟ وعندما نعوض بذلك، نحصل على ١٠٠٠٫٧٥، وهي نقطة أعلى بكثير من السابقة!!!!!!!

ومن ثم، يجب أن تحدث زيادة في اتجاه ﺹ، فتزيد القيمة زيادة بالغة. والآن، يمكننا استبعاد الخيار «أ»؛ لأن التمثيل البياني على يسار خط التقارب ﺱ يساوي سالب ثلاثة يجب أن يكون صاعدًا، أي متزايدًا. والآن لننظر يمين خط التقارب هذا، يمكننا استبعاد الخيار «أ» لأن العدد في هذه الجهة يجب أن يكون في تزايد، أي يجب أن يزيد العدد زيادة بالغة في الإحداثي ﺹ كلما اقتربنا أكثر من خط التقارب ﺱ يساوي سالب ثلاثة.

والآن فلنعوض بالأعداد على يمين خط التقارب مثل ﺱ يساوي سالب ٢٫٩ وﺱ يساوي سالب ٢٫٩٩. عند ﺱ يساوي سالب ٢٫٩، نحصل على عدد سالب، وهو سالب ٩٫٢٦. والآن لنعوض بعدد أقرب إلى ذلك الخط المتقطع، وهو سالب ٢٫٩٩، ونحصل بذلك على عدد سالب أكبر، وهو سالب ٩٩٫٢٥. إذن فإن العدد يتناقص كلما اقتربنا من ﺱ يساوي سالب ثلاثة من جهة اليسار.

وجميع الخيارات الثلاثة المتبقية يحدث فيها هذا، ولكن بعضها يكون أعلى قليلًا من الآخر، إذن لماذا لا نعوض بسالب واحد عن ﺱ ونرى أي التمثيلات البيانية يمثل الدالة؟ بالتعويض بسالب واحد، نحصل على صفر تربيع على سالب اثنين في اثنين. وصفر على سالب أربعة يساوي صفرًا. إذن عند ﺱ يساوي سالب واحد، يجب أن نكون عند صفر على الإحداثي ﺹ، ما يعني أن الإجابة ستكون التمثيل البياني «ج».

ولكن للتحقق من صحة الإجابة دعونا نستكمل التحقق من القيم القريبة من ﺱ يساوي واحدًا لخط التقارب حتى نتأكد. إذن فلننظر إلى الأعداد على يسار خط التقارب ﺱ يساوي واحدًا أو أقل بقليل من واحد، وعليه فلنعوض عن ﺱ بالعددين ٠٫٩ و٠٫٩٩. وعندما نعوض بالعدد ٠٫٩، نحصل على سالب ٩٫٢٦. والآن نعوض بعدد أقرب قليلًا من خط التقارب ﺱ يساوي واحدًا، ونحصل بذلك على سالب ٩٩٫٢٥. ومن ثم، فإن العدد يتناقص مجددًا، وهذا ما يحدث بالفعل في التمثيل البياني الذي اخترناه.

حسنًا، هذا جيد! وأخيرًا سنعوض بأعداد على يمين خط التقارب هذا ﺱ يساوي واحدًا، أي أكبر قليلًا من واحد. فلنعوض بالعددين ١٫٠١ و١٫٠٠١. عندما نعوض بالعدد ١٫٠١، نحصل على ١٠٠٫٧٥، وهو عدد كبير نوعًا ما. والآن، نعوض بعدد أقرب لهذا الخط، ١٫٠٠١، فنحصل على عدد أكبر، إذن فإن الأعداد تتزايد، وهو ما يحدث تمامًا في خيار التمثيل البياني «ج». إذن فإن هذا التمثيل البياني هو ما يمثل دالتنا.