فيديو السؤال: تحديد تقعر الدالة واطرادها من تمثيلها البياني الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل الآتي منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. عند أي نقطة يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ، وﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ اثنين موجبين؟

بالنظر إلى التمثيل البياني، نرى أن لدينا خمس نقاط للاختيار من بينها هي ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ. ونريد معرفة عند أي نقطة من هذه النقاط يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ، وﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبين. لنبدأ بالتفكير في ﺩﺹ على ﺩﺱ. نحن نحتاج أن يكون هذا موجبًا. هل هو موجب عند النقطة ﺃ؟ إذا رسمنا مماسًّا للمنحنى عند النقطة ﺃ أو حتى تخيلنا ذلك، فسنجد أن ميله سالب. وقيمة هذا الميل تساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺃ. وبذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يكون سالبًا عند ﺃ. ولا بد أن يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ موجبًا عند النقطة التي نبحث عنها. لذا، يمكننا استبعاد ﺃ. هذه ليست الإجابة الصحيحة.

ماذا عن الميل عند النقطة ﺏ؟ حسنًا، قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ؛ أي ميل مماس المنحنى، عند ﺏ، موجبة. يمكننا معرفة ذلك بطريقة أو بأخرى حتى بدون رسم المماس عند ﺏ. تكون الدالة تزايدية في فترة صغيرة مناسبة حول النقطة ﺏ. إذن، معدل التغير اللحظي عند ﺏ؛ أي ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺏ، يكون موجبًا. من خلال المماس المبين، يتضح أن هذا الميل موجب. لكن بالتأكيد لرسم المماس، علينا معرفة ذلك. وبما أن ﺩﺹ على ﺩﺱ موجب عند ﺏ، فقد تكون الإجابة الصحيحة.

لنلق الآن نظرة على ﺟ. كما هو الحال عند ﺏ، يمكننا ملاحظة أن ﺩﺹ على ﺩﺱ موجب عند ﺟ. وبما أن ميل المماس عند ﺟ موجب، فإن النقطة ﺟ أيضًا قد تكون هي الإجابة الصحيحة. تقع النقطة ﺩ عند القيمة العظمى المحلية التي يكون عندها المماس أفقيًّا؛ وعليه فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا عند النقطة ﺩ. الصفر ليس عددًا موجبًا؛ ومن ثم فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ ليس موجبًا عند النقطة ﺩ، ويمكننا استبعاد ﺩ. هذه ليست الإجابة الصحيحة. وأخيرًا عند النقطة ﻫ، كما هو الحال عند ﺃ، تكون المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ سالبة. وبما أن ميل المماس عند النقطة ﻫ سالب، إذن ﻫ ليست الإجابة الصحيحة أيضًا.

وبذلك نكون قد استبعدنا ثلاثة خيارات، وتكون الإجابة إما ﺏ وإما ﺟ. حيث سنفاضل بين الخيارين ﺏ وﺟ من خلال التفكير في المشتقة الثانية؛ أي ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع. تذكر أننا نحتاج إلى أن تكون هذه المشتقة موجبة أيضًا. لنمسح البيانات التي وضعناها على الشكل حتى يصبح لدينا بعض المساحة لمتابعة الحل. تمكنا من معرفة المواضع التي يكون عندها ﺩﺹ على ﺩﺱ موجبًا أو سالبًا، أو حتى صفرًا، بمجرد النظر إلى التمثيل البياني. هذا لأننا نعلم أن ﺩﺹ على ﺩﺱ هي دالة الميل، وقد تمكنا من تحديد المواضع التي يكون عندها الميل موجبًا أو سالبًا أو يساوي صفرًا. هل يمكننا إجراء أمر مماثل في حالة ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع؟ هل يمكن ربط ذلك بمفهوم معين يمكننا تمييزه على التمثيل البياني بالطريقة نفسها التي استخدمناها لربط ﺩﺹ على ﺩﺱ بمفهوم الميل؟

الإجابة هي نعم. يمكن ربط ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع بمفهوم التقعر بالطريقة نفسها التي استخدمناها لربط ﺩﺹ على ﺩﺱ بمفهوم الميل. سيساعدنا فهم شكل التقعر على تحديد المواضع التي يكون عندها ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا، والمواضع التي يكون عندها سالبًا بالطريقة نفسها التي ساعدنا بها فهم شكل الميل على تحديد المواضع التي يكون عندها ﺩﺹ على ﺩﺱ موجبًا، والمواضع التي يكون عندها سالبًا. وفقًا للتعريف، تكون الدالة ﺩ مقعرة لأعلى على الفترة ﻑ، إذا كانت مشتقتها ﺩ شرطة دالة تزايدية على الفترة ﻑ. وتكون ﺩ مقعرة لأسفل على الفترة ﻑ إذا كانت مشتقتها ﺩ شرطة دالة تناقصية على هذه الفترة ﻑ. كيف يساعدنا هذا على تحديد المواضع التي يكون عندها ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا أو سالبًا؟

حسنًا، نبحث بدلًا من ذلك عن مواضع تقعر الدالة لأعلى أو تقعرها لأسفل. تخيل أنه توجد نقطة تقع على منحنى ﺩ على يسار النقطة ﺏ. ماذا يحدث للمشتقة ﺩ شرطة عند هذه النقطة عند انتقال هذه النقطة عبر ﺏ إلى يمين ﺏ؟ حسنًا، ﺩ شرطة أو ﺩﺹ على ﺩﺱ يمثل الميل عند هذه النقطة، أو بشكل أدق، هو ميل المماس لهذه النقطة. هل تلاحظ تزايد الميل عند الانتقال من النقطة ذات اللون البرتقالي على يسار ﺏ إلى النقطة ذات اللون الأرجواني على اليمين؟

الميل عند النقطة ذات اللون البرتقالي أكثر تدرجًا من الميل عند النقطة ذات اللون الأرجواني الذي يكون أكثر انحدارًا. إذن، تزايدت دالة الميل ﺩ شرطة على هذه الفترة. ولذلك، من الطبيعي الاعتقاد بأن الميل ﺩ شرطة يمثل دالة تزايدية على هذه الفترة الصغيرة. وبما أن ﺩ شرطة دالة تزايدية، فإن ﺩ مقعرة لأعلى. تذكر أننا قلنا إن ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع يرتبط بمفهوم التقعر بالطريقة نفسها التي يرتبط فيها ﺩﺹ على ﺩﺱ بمفهوم الميل. دعونا نعبر عن ذلك على نحو أكثر دقة. إذا كان ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا على الفترة ﻑ، فإن ﺹ يساوي ﺩﺱ تكون مقعرة لأعلى على ﻑ. وإذا كان ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع سالبًا على الفترة ﻑ، فإن ﺹ يساوي ﺩﺱ تكون مقعرة لأسفل على ﻑ.

لقد رأينا بالفعل أن الدالة مقعرة لأعلى عند ﺏ. وهذا يشير بقوة إلى أن ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجب عند ﺏ. لكن علينا الانتباه قليلًا هنا. على الرغم من صحة أنه إذا كان ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا تكون الدالة مقعرة لأعلى، فإن العكس ليس بالضرورة صحيحًا. إذ لا يترتب على كون الدالة مقعرة لأعلى، أن يكون ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ بالضرورة موجبًا. من ثم، علينا معرفة ما يحدث عند النقطة ﺟ. تخيل أنه توجد نقطة تقع على منحنى الدالة على يسار النقطة ﺟ مباشرة، وأن هذه النقطة تحركت على طول المنحنى عبر ﺟ إلى يمين ﺟ.

هل ﺩ شرطة تزايدية أم تناقصية على الفترة التي تحركت فيها النقطة؟ ليس من الصعب ملاحظة أن المشتقة ﺩ شرطة تتناقص على هذه الفترة من القيمة العظمى عند النقطة ذات اللون البرتقالي إلى القيمة الصغرى عند النقطة ذات اللون الأرجواني. وبما أن ﺩ شرطة دالة تناقصية على هذه الفترة، فإن ﺩ مقعرة لأسفل على هذه الفترة. والآن، إذا كان ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا عند النقطة التي نبحث عنها، فإن الدالة يجب أن تكون مقعرة لأعلى. وبما أن الدالة مقعرة لأسفل عند ﺟ، يمكننا استبعاد ﺟ. ‏ﺟ ليست هي الإجابة الصحيحة. إذن، إجابتنا هي النقطة الوحيدة المتبقية؛ أي النقطة ﺏ؛ حيث تكون الدالة عندها مقعرة لأعلى. هذه هي النقطة التي يكون عندها كل من ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبين.

لاحظ أن المماسين بالقرب من النقطة ﺏ عندما تكون الدالة مقعرة لأعلى يقعان أسفل منحنى الدالة في حين أن المماسين بالقرب من ﺟ عندما تكون الدالة مقعرة لأسفل يقعان أعلى منحنى الدالة. هذه ليست مصادفة. يمكن اثبات أنه إذا كانت مماسات المنحنى عند نقطة ما تقع أسفل المنحنى بالقرب من تلك النقطة، فإن الدالة تكون مقعرة لأعلى عند تلك النقطة، وإذا كان مماس المنحنى عند نقطة ما يقع أعلى التمثيل البياني بالقرب منها، فإن الدالة تكون مقعرة لأسفل عند هذه النقطة.

وهذه الحقيقة تتيح لنا بمجرد النظر إلى المنحنى معرفة الموضع الذي تكون عنده الدالة مقعرة لأعلى، والموضع الذي تكون عنده مقعرة لأسفل، ومن ثم تحديد ما إذا كان ﺩ تربيع ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا أم سالبًا عند نقطة معينة على المنحنى.