فيديو: مجموع مكعبين والفرق بينهما

أحمد مدحت

يوضح الفيديو تحليل كثيرات الحدود في صورة مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين، وحل معادلات كثيرات الحدود في صورة مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين.

١١:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن مجموع مكعبين والفرق بينهم.

في الفيديو ده، هنعرف إزَّاي نحلّل كثيرات الحدود اللي على الشكل بتاع مجموع مكعبين والفرق بينهم. وكمان هنعرف نحلّ معادلاتهم. لمَّا بنحلّل كثيرات الحدود التربيعية لعواملها، كانت العوامل دي بتبقى كثيرات حدود تانية. بنفس الحال، وبنفس الطريقة، نقدر نحلّل بعض كثيرات الحدود التكعيبية بقوانين خاصة.

وإحنا هنتكلّم عن مجموع مكعّبين والفرق بينهم. فبالنسبة لمجموع مكعبين، بيبقى عبارة عن مكعب كامل زائد مكعب كامل، زيّ مثلًا أ تكعيب زائد ب تكعيب. أمَّا الفرق بين مكعبين، فبيبقى عبارة عن مكعب كامل ناقص مكعب كامل، زيّ مثلًا أ تكعيب ناقص ب تكعيب. بالنسبة لمجموع مكعبين والفرق بينهم، بيكون فيه قوانين خاصة لتحليلهم.

بالنسبة لطريقة التحليل بتاعة مجموع مكعبين، فهو بيتحلّل إلى قوسين مضروبين في بعض. القوس الأول بيبقى عبارة عن الجذر التكعيبي للحدّ الأول زائد الجذر التكعيبي للحدّ التاني. أمَّا القوس التاني، فبنجيبه من القوس الأول. وده لأنه بيبقى عبارة عن مربع الحدّ الأول من القوس الأول، ناقص الحدّ الأول في الحدّ التاني بتوع القوس الأول، زائد مربع الحدّ التاني بتاع القوس الأول. وبالتالي لو الصورة العامَّة لمجموع مكعبين هي أ تكعيب زائد ب تكعيب، هيبقى تحليله عبارة عن أ زائد ب في؛ أ تربيع، ناقص أ ب، زائد ب تربيع.

أمَّا تحليل الفرق بين مكعبين، فهو بيتحلّل لقوسين مضروبين في بعض. القوس الأول بيبقى عبارة عن الجذر التكعيبي للحدّ الأول ناقص الجذر التكعيبي للحدّ التاني. والقوس التاني برضو بنجيبه من القوس الأول. وده لأنه هيبقى عبارة عن مربع الحدّ الأول من القوس الأول، زائد الحدّ الأول في الحدّ التاني بتوع القوس الأول، زائد مربع الحدّ التاني بتاع القوس الأول. وبالتالي لو الصورة العامّة للفرق بين مكعبين على الشكل: أ تكعيب ناقص ب تكعيب، فهيتحلّل إلى أ ناقص ب في؛ أ تربيع، زائد أ ب، زائد ب تربيع. وهي دي طرق تحليل مجموع مكعبين والفرق بين مكعبين.

ساعات بيكون فيه كثيرات حدود ما ينفعش نحلّلها. بالنسبة لكثيرات الحدود دي، فإحنا بنسمّيها كثيرات حدود أولية. هنبدأ نشوف مثال على التحليل بتاع مجموع مكعبين والفرق بينهم، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال كثيرتَيْ حدود، وعايزين نحلّلهم تحليلًا تامًّا. ولو ما ينفعش نحلّل أيّ واحدة فيهم، فهنكتب إنها كثيرة حدود أولية.

هنبدأ أول حاجة بكثيرة الحدود أ، وهي: ستاشر س أُس أربعة، زائد أربعة وخمسين س ص تكعيب. بالنسبة لكثيرة الحدود دي، فهنلاحظ إن فيه عامل مشترك أكبر بين الحدّين: ستاشر س أُس أربعة، وأربعة وخمسين س ص تكعيب، وهو اتنين س. فأول حاجة، هنحلّل بإخراج العامل المشترك الأكبر. معنى كده هيبقى ستاشر س أُس أربعة زائد أربعة وخمسين س ص تكعيب بيساوي اتنين س في؛ تمنية س تكعيب، زائد سبعة وعشرين ص تكعيب. بالنسبة لتمنية س تكعيب وسبعة وعشرين ص تكعيب، فهمّ عبارة عن مكعب كامل. وبالتالي نقدر نستخدم طريقة التحليل بتاعة مجموع مكعبين. فبالنسبة لتمنية س تكعيب، فهي بتساوي اتنين س الكل تكعيب. أمَّا سبعة وعشرين ص تكعيب، فهي عبارة عن تلاتة ص الكل تكعيب. معنى كده تمنية س تكعيب زائد سبعة وعشرين ص تكعيب يساوي اتنين س الكل تكعيب زائد تلاتة ص الكل تكعيب.

بعد كده هنحلّل بطريقة مجموع مكعبين، فهيبقى عندنا قوسين مضروبين في بعض. القوس الأول هيبقى عبارة عن اتنين س زائد تلاتة ص. أمَّا القوس التاني، فهيبقى عبارة عن اتنين س الكل تربيع، ناقص اتنين س في تلاتة ص، زائد تلاتة ص الكل تربيع. بعد كده هنبسّط القوس ده. وبالتالي هيبقى تمنية س تكعيب زائد سبعة وعشرين ص تكعيب بيساوي اتنين س زائد تلاتة ص في؛ أربعة س تربيع، ناقص ستة س ص، زائد تسعة ص تربيع.

بكده يبقى إحنا حلّلنا المقدار ده. وبالتالي هيبقى ستاشر س أُس أربعة زائد أربعة وخمسين س ص تكعيب بيساوي اتنين س في، اتنين س زائد تلاتة ص في، أربعة س تربيع ناقص ستة س ص زائد تسعة ص تربيع. بكده يبقى إحنا حلّلنا كثيرة الحدود أ.

بالنسبة لكثيرة الحدود ب، فهي تمنية ص تكعيب زائد خمسة س تربيع. بالنسبة للحدّ الأول فيها، واللي هو تمنية ص تكعيب، هنلاقيه عبارة عن مكعب كامل. وده لأنه بيساوي اتنين ص الكل تكعيب. أمَّا بالنسبة للحدّ التاني، فهو مش مكعّب كامل. وبالتالي مش هنقدر نحلّل كثيرة الحدود دي من خلال استخدام طريقة التحليل بتاعة مجموع مكعبين. كمان ما نقدرش نحلّلها باستخدام طرق التحليل بتاعة كثيرات الحدود التربيعية، أو كمان من خلال إخراج العامل المشترك الأكبر. وبالتالي هتبقى كثيرة الحدود ب دي عبارة عن كثيرة حدود أولية.

بكده بعد ما شُفنا التحليل، هنبدأ نشوف إزَّاي نحلّ معادلات يكون فيها مجموع مكعبين أو الفرق بينهم من خلال مثال، بس هيكون في الصفحة اللي جايّة. فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، هنلاقي إن فيه مكعب صغيّر اتقطع من مكعب كبير، زيّ اللي في الشكل اللي قدامنا. فلو كان طول حرف المكعب الصغيّر بيساوي نصّ طول ضلع المكعب الكبير، وكان حجم الجزء المتبقّي هو سبعة آلاف سنتيمتر مكعب. فعايزين نعرف البُعدين بتوع المكعبين.

أول حاجة، عندنا إن طول حرف المكعب الصغيّر بيساوي نصّ طول ضلع المكعب الكبير. يعني لو كان طول حرف المكعب الصغيّر هو س، فهيبقى طول ضلع المكعب الكبير هو اتنين س. تاني حاجة، هنلاحظ إن الحجم بتاع الجزء المتبقّي، واللي هو سبعة آلاف سنتيمتر مكعب، هيساوي حجم المكعب الكبير ناقص حجم المكعب الصغيّر. بالنسبة للمكعب الكبير اللي طول ضلعه هو اتنين س، هيبقى حجمه هو اتنين س الكل تكعيب. أمَّا بالنسبة للمكعب الصغيّر، واللي طول حرفه هو س، فهيبقى حجمه هو س تكعيب.

بكده هيبقى عندنا معادلة هي: حجم المكعب الكبير، واللي هو اتنين س الكل تكعيب، ناقص حجم المكعب الصغيّر، واللي هو س تكعيب، هيساوي الحجم بتاع الجزء المتبقّي، وهو سبعة آلاف. يعني اتنين س الكل تكعيب ناقص س تكعيب يساوي سبعة آلاف. بالنسبة لاتنين س الكل تكعيب، فهي بتساوي تمنية س تكعيب. يعني تمنية س تكعيب ناقص س تكعيب يساوي سبعة آلاف. وبالتالي هيبقى سبعة س تكعيب بيساوي سبعة آلاف. عندنا السبعة مضروبة في س تكعيب. وعلشان نتخلّص منها، فهنقسم طرفَي المعادلة على سبعة. وبالتالي هيبقى عندنا س تكعيب يساوي ألف.

بعد كده، هنطرح ألف من طرفَي المعادلة. فهنلاقي إن س تكعيب ناقص ألف يساوي صفر. بالنسبة للألف، فهي بتساوي عشرة تكعيب. ده معناه إن س تكعيب ناقص ألف هيبقى عبارة عن مكعب كامل ناقص مكعب كامل. يعني عبارة عن فرق بين مكعبين. فهنبدأ نحلّل بطريقة التحليل بتاعة الفرق بين مكعبين. فهنلاقي س ناقص عشرة في؛ س تربيع، زائد عشرة س، زائد مية يساوي صفر.

ومن خاصية الضرب الصفري، هنلاقي س ناقص عشرة يساوي صفر، أو س تربيع زائد عشرة س زائد مية يساوي صفر. فهنلاقي س تساوي عشرة، وكمان هتساوي سالب خمسة زائد أو ناقص خمسة في الجذر التربيعي لتلاتة ت. معنى كده إن الحلّ الحقيقي الوحيد هو عشرة. وبالتالي هيبقى طول الضلعين بتوع المكعبين همّ عشرة سنتيمتر، وعشرين سنتيمتر.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا مجموع مكعبين. وعرفنا إن هو بيبقى عبارة عن مكعب كامل زائد مكعب كامل. وكان بيتحلّل إلى قوسين مضروبين في بعض. القوس الأول بيبقى عبارة عن الجذر التكعيبي للحدّ الأول زائد الجذر التكعيبي للحدّ التاني. أمَّا القوس التاني، كُنّا بنجيبه من القوس الأول. وكان بيبقى عبارة عن مربع الحدّ الأول من القوس الأول، ناقص الحدّ الأول في الحدّ التاني بتاع القوس الأول، زائد مربع الحدّ التاني بتاع القوس الأول.

كمان عرفنا الفرق بين مكعبين. وبيكون عبارة عن مكعب كامل ناقص مكعب كامل. كان بيتحلّل لقوسين مضروبين في بعض. القوس الأول بيبقى عبارة عن الجذر التكعيبي للحدّ الأول ناقص الجذر التكعيبي للحدّ التاني. والقوس التاني برضو كُنّا بنجيبه من القوس الأول. وكان بيبقى عبارة عن مربع الحدّ الأول من القوس الأول، زائد الحدّ الأول في الحدّ التاني بتوع القوس الأول، زائد مربع الحدّ التاني بتاع القوس الأول. وبعد ما عرفنا طرق التحليل بتاعتهم، عرفنا إزَّاي نحلّ المعادلات اللي بيكون فيها مجموع مكعبين أو الفرق بين مكعبين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.