نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥، وﺩ لسالب واحد تساوي صفرًا، فأوجد الجذرين الآخرين للدالة ﺩ ﺱ.
لدينا هنا معادلة تكعيبية. ونعلم أنه عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن قيمة الدالة تساوي صفرًا. سنبدأ بتحليل مقدار ﺩ ﺱ تحليلًا كاملًا. ولفعل ذلك، نتذكر نظرية العوامل. إذا كانت الدالة ﺩ لـ ﺃ تساوي صفرًا، فإن ﺱ ناقص ﺃ يجب أن يكون عاملًا للدالة ﺩ ﺱ. وهذا يخبرنا أن ﺱ زائد واحد يجب أن يكون عاملًا للدالة ﺩ ﺱ. لكن، كيف يمكننا إيجاد العوامل الأخرى؟ يمكننا استخدام القسمة المطولة لكثيرة الحدود.
يمكننا قسمة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥ على ﺱ زائد واحد. أو بدلًا من ذلك، يمكننا القول إن ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥ يساوي ﺱ زائد واحد في المقدار التربيعي: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. بعد ذلك نوزع الأقواس، مع التأكد من ضرب كلا الحدين ﺱ وواحد في ﺃﺱ تربيع وﺏﺱ وﺟ كل على حدة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥ يساوي ﺃﺱ تكعيب زائد ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟﺱ زائد ﺟ.
والآن، سنساوي المعاملات. سنبدأ بالنظر إلى حدي ﺱ تكعيب. في الطرف الأيمن، نلاحظ أن معامل ﺱ تكعيب يساوي واحدًا. وفي الطرف الأيسر، نلاحظ أنه يساوي ﺃ. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﺃ. إنها تساوي واحدًا. بعد ذلك، سنساوي حدود ﺱ تربيع. في الطرف الأيمن، معامل ﺱ تربيع هو ثلاثة. وفي الطرف الأيسر، المعامل يساوي ﺃ زائد ﺏ. لكننا قد أوجدنا الآن أن قيمة ﺃ تساوي واحدًا. وبذلك، يمكننا القول إن ثلاثة يساوي واحدًا زائد ﺏ، وهو ما يعني أن ﺏ يجب أن يساوي اثنين.
سنكرر هذه العملية مع معاملات ﺱ أس واحد. في الطرف الأيمن، المعامل يساوي سالب ١٣. وفي الطرف الأيسر، لدينا ﺏ زائد ﺟ. وقد أوجدنا الآن أن قيمة ﺏ تساوي اثنين. بذلك، يمكننا القول إن سالب ١٣ يساوي اثنين زائد ﺟ. بالحل بالنسبة إلى ﺟ وطرح اثنين من كلا الطرفين، نجد أن ﺟ يساوي سالب ١٥. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق مساواة معاملي ﺱ أس صفر. وهما الثابتان. ومرة أخرى، نجد أن سالب ١٥ يساوي ﺟ. يمكننا إذن القول إن ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥ لا بد أن يساوي ﺱ زائد واحد في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥.
بعد ذلك، نوجد جذري الدالة بمساواتها بصفر لنحصل على المعادلة المرتبطة بها ونحلها لإيجاد قيم ﺱ التي تحققها. ونعلم أنه لكي تكون هذه العبارة صحيحة، إما أن يكون ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا وإما أن يكون ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥ يساوي صفرًا. نعلم سابقًا أن سالب واحد جذر لهذه الدالة. إذن، سنحل المعادلة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥ يساوي صفرًا. نلاحظ أنها معادلة تربيعية معامل ﺱ تربيع فيها يساوي واحدًا. إذن، سيكون لدينا ﺱ في كلا القوسين.
نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما سالب ١٥ ومجموعهما اثنان. إنهما خمسة وسالب ثلاثة. والآن، لكي يصبح حاصل ضرب هذين العاملين صفرًا، يمكننا القول إنه إما ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ثم بطرح خمسة من كلا الطرفين في المعادلة الأولى نجد أن ﺱ يساوي سالب خمسة. وبإضافة ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة الثانية، نجد أن ﺱ يساوي ثلاثة. وهذان هما الجذران الآخران للدالة ﺩ ﺱ.
من المفيد أن نعرف أنه يمكننا التحقق من هذين الحلين. فإذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب خمسة وﺱ يساوي ثلاثة في الدالة الأصلية، يجب أن نحصل على صفر. وربما تود التحقق من ذلك بنفسك. نجد أننا نحصل بالفعل على القيمة صفر. إذن، ﺱ يساوي سالب خمسة وﺱ يساوي ثلاثة هما جذران للدالة ﺩ ﺱ.
