فيديو الدرس: مواضع النقاط والخطوط المستقيمة والدوائر بالنسبة إلى الدوائر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مواضع النقاط والخطوط المستقيمة والدوائر بالنسبة إلى الدوائر الأخرى. نبدأ بتذكر أننا نعرف الدائرة على أنها مجموعة من النقاط في مستوى ما تبعد مسافة ثابتة عن نقطة المركز. وتسمى القطعة المستقيمة التي تصل بين المركز وأي نقطة على المحيط بنصف القطر، وهو ما يشار إليه عادة بـ نق.

سنبدأ بتناول كيفية تحديد مواضع النقاط بالنسبة إلى الدائرة. في الشكل الموضح، نلاحظ أن هناك ثلاثة احتمالات مختلفة لمواضع وجود النقاط في مستوى ما بالنسبة إلى الدائرة: الموضع الأول داخل الدائرة، مثل النقطة ﺃ، والموضع الثاني على الدائرة، مثل النقطة ﺏ، والموضع الثالث خارج الدائرة، مثل النقطة ﺟ. وهذه المواضع المختلفة مهمة من حيث المسافة التي يمكن أن تبعدها النقاط عن مركز الدائرة بالنسبة إلى نصف القطر.

لنتخيل أن النقاط الثلاث تقع على الخط المستقيم نفسه كما هو موضح. نلاحظ أن المسافة من المركز ﻡ إلى النقطة ﺃ أصغر من طول نصف القطر نق. والمسافة من المركز إلى النقطة ﺏ تساوي طول نصف القطر. والمسافة ﻡﺟ أكبر من طول نصف القطر نق. يمكننا تعميم ذلك على النحو الآتي. بالنسبة إلى أي دائرة مركزها ﻡ ونصف قطرها نق، وأي نقطة عامة ﻥ، إذا كان ﻡﻥ أصغر من نق، فإن النقطة ﻥ تقع داخل الدائرة. وإذا كان ﻡﻥ يساوي نق، فإن النقطة ﻥ تقع على الدائرة. وإذا كان ﻡﻥ أكبر من نق، فإن النقطة ﻥ تقع خارج الدائرة. سنتناول الآن مثالًا على تطبيق هذه القاعدة.

دائرة نصف قطرها ٩٠ سنتيمترًا. تقع نقطة على الدائرة على مسافة ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة سنتيمترات من المركز. أي من الآتي صواب؟ أ: ﺱ أصغر من ٣١، أو ب: ﺱ يساوي ٣١، أو ج: ﺱ أكبر من ٣١.

لنبدأ برسم الدائرة. علمنا من السؤال أن نصف قطر الدائرة يساوي ٩٠ سنتيمترًا. وعلمنا أيضًا أن هناك نقطة، سنسميها ﻥ، تقع على الدائرة. إذا افترضنا أن مركز الدائرة هو النقطة ﻡ ونصف القطر هو نق، فإننا نتذكر أنه إذا كانت هناك نقطة ما تقع على دائرة، فإن المسافة التي تبعدها عن المركز تساوي طول نصف القطر. إذن، ﻡﻥ يساوي نق. ونحن نعلم أن المسافة ﻡﻥ تساوي ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة سنتيمترات. وعليه، ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة لا بد أن يساوي ٩٠. بإضافة ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا ثلاثة ﺱ يساوي ٩٣. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثلاثة، بحيث نحصل على ﺱ يساوي ٣١.

ومن ثم، الإجابة الصحيحة هي الخيار ب. إذن، إذا كانت توجد دائرة نصف قطرها ٩٠ سنتيمترًا، وكانت النقطة ﻥ تقع على الدائرة على مسافة ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة سنتيمترات من المركز، فإن ﺱ يساوي ٣١. وعلى الرغم من أن هذا غير مطلوب في هذا السؤال، فإننا نلاحظ أنه إذا كان ﺱ أصغر من ٣١، فستقع النقطة داخل الدائرة. وإذا كان ﺱ أكبر من ٣١، فستقع النقطة خارج الدائرة. والآن بعد أن تناولنا العلاقات الممكنة بين النقاط والدوائر، سنتناول العلاقات بين الخطوط المستقيمة والدوائر.

كما فعلنا من قبل، سنبدأ برسم دائرة مركزها ﻡ. ومرة أخرى، هناك ثلاثة احتمالات مختلفة لكيفية تقاطع خط مستقيم مع دائرة. أولًا: قاطع الدائرة يتقاطع مع الدائرة مرتين؛ فهو يتقاطع معها في هذا المثال عند النقطتين ﺃ وﺏ. ثانيًا: لدينا مماس يقطع الدائرة أو يمسها مرة واحدة. وأخيرًا، لدينا الحالة التي يقع فيها الخط المستقيم خارج الدائرة تمامًا، ومن ثم لا يتقاطع مع الدائرة.

وكما هو الحال مع النقطة الواحدة، من الممكن تحديد أي تصنيف من التصنيفات ينتمي إليه الخط المستقيم من خلال النظر إلى المسافة التي يبعدها عن مركز الدائرة. ولكي نفعل ذلك، علينا تذكر التعريف الآتي. المسافة من النقطة ﺃ إلى الخط المستقيم ﻝ هي أقصر مسافة ممكنة من النقطة ﺃ إلى أي نقطة ﺏ تقع على المستقيم ﻝ. وهذه المسافة تساوي طول القطعة المستقيمة العمودية التي تصل بين ﺃ وأقرب نقطة على الخط المستقيم. باستخدام هذا التعريف، دعونا نوجد المسافة بين الخطوط المستقيمة ﻝ واحد وﻝ اثنين وﻝ ثلاثة، ومركز الدائرة ﻡ في الشكل. مقارنة بنصف قطر الدائرة نق، نلاحظ أن ﻡﺱ أصغر من نق، وﻡﺹ يساوي نق، وﻡﻉ أكبر من نق.

وكما فعلنا من قبل في النقاط المفردة، يمكننا تعميم ذلك لوضع قاعدة لأي خط مستقيم وتصنيفه باعتباره قاطعًا للدائرة أو مماسًّا لها أو مستقيمًا يقع خارجها. بالنسبة إلى أي دائرة مركزها ﻡ ونصف قطرها نق، وأي خط مستقيم ﻝ؛ حيث ﺃ أقرب نقطة إلى ﻡ تنتمي إلى المستقيم ﻝ، إذا كان ﻡﺃ أصغر من نق، فإن ﻝ قاطع للدائرة. وإذا كان ﻡﺃ يساوي نق، فإن ﻝ مماس للدائرة. وإذا كان ﻡﺃ أكبر من نق، فإن ﻝ يقع خارج الدائرة.

دعونا نتناول مثالًا على تطبيق القاعدة السابقة.

الدائرة ﻡ نصف قطرها ٦٥. افترض أن النقطة ﺃ تقع على الخط المستقيم ﻝ، والقطعة المستقيمة ﻡﺃ عمودية على الخط المستقيم ﻝ. إذا كان اثنان ﻡﺃ ناقص ٥٦ يساوي ١٨، فكيف نصف علاقة الخط المستقيم ﻝ بالدائرة؟ أ: ﻝ قاطع للدائرة ﻡ. ب: ﻝ مماس للدائرة ﻡ. ج: ﻝ مستقيم يقع خارج الدائرة ﻡ.

لعلنا نتذكر أننا إذا قارنا المسافة من مركز الدائرة ﻡ إلى الخط المستقيم ﻝ بطول نصف قطر الدائرة، يمكننا تحديد إذا ما كان ﻝ قاطعًا للدائرة أم مماسًّا لها أم مستقيمًا يقع خارجها. وعلى وجه التحديد، تعرف المسافة من ﻡ إلى ﻝ بواسطة طول القطعة المستقيمة العمودية الواصلة بين ﻡ وﻝ. وبما أن القطعة المستقيمة ﻡﺃ عمودية على ﻝ، فهي إذن تقيس المسافة من ﻡ إلى ﻝ. حسنًا، تحقق القطعة المستقيمة ﻡﺃ المعادلة: اثنان ﻡﺃ ناقص ٥٦ يساوي ١٨. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻡﺃ بإعادة ترتيبها. بإضافة ٥٦ إلى كلا الطرفين، يصبح لدينا اثنان ﻡﺃ يساوي ٧٤. ويمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على اثنين لنحصل على ﻡﺃ يساوي ٣٧.

والآن يصبح بإمكاننا مقارنة طول ﻡﺃ بطول نصف القطر. بما أن طول نصف القطر يساوي ٦٥ وطول ﻡﺃ يساوي ٣٧، فإن ﻡﺃ أصغر من نق. يمكننا توضيح ذلك من خلال الشكل الذي أمامنا. وبما أن ﻡﺃ أصغر من نق، فإننا نستنتج أن الإجابة الصحيحة، وفقًا للتعريف، هي الخيار أ. هذا يعني أن ﻝ قاطع للدائرة. نلاحظ أنه إذا كان طول ﻡﺃ يساوي طول نصف القطر، فإن الخط المستقيم ﻝ سيكون مماسًّا للدائرة. وإذا كان ﻡﺃ أكبر من نق، فسيقع الخط المستقيم خارج الدائرة.

ثمة أمر أخير جدير بالملاحظة عند التعامل مع الخطوط المستقيمة والدوائر. بما أن المماس يقطع الدائرة دائمًا عند نقطة واحدة على محيطها، وهذه النقطة هي أقرب نقطة إلى المركز على المماس، فإن القطعة المستقيمة العمودية الواصلة بين المماس والمركز تكون دائمًا نصف قطر للدائرة. يمكننا التعبير عن ذلك بصورة أكثر منهجية على النحو الآتي. بالنسبة إلى أي دائرة مركزها ﻡ؛ حيث ﻝ مماس للدائرة عند النقطة ﺃ، فإن القطعة المستقيمة ﻡﺃ تكون عمودية على المماس وتكون نصف قطر للدائرة. ونلاحظ أن هذه الخاصية تنطبق في كلا الاتجاهين. إذا كان لدينا خط مستقيم عمودي على نصف قطر الدائرة ويقطع نصف القطر هذا عند نقطة على المحيط، فلا بد أن يكون مماسًّا للدائرة.

حتى الآن، رأينا كيف تكون العلاقة بين النقاط والدوائر وكيف تكون العلاقة بين الخطوط المستقيمة والدوائر. لكن ماذا عن علاقة الدوائر بالدوائر الأخرى؟ في الأساس، يمكن لأي دائرتين مختلفتين أن تتقاطعا عند نقطتين، أو عند نقطة واحدة، أو ألا تتقاطعا على الإطلاق. ولكن، توجد حالات أخرى تقع فيها دائرة داخل دائرة أخرى. دعونا ندرس كل حالة من هذه الحالات على حدة.

في جميع هذه الحالات الخمس، نفترض أن لدينا دائرتين مختلفتين، إحداهما مركزها ﻡ واحد ونصف قطرها نق واحد، والأخرى مركزها ﻡ اثنان ونصف قطرها نق اثنان. وسنفترض أن ﻡ واحدًا ﻡ اثنين هي المسافة بين المركزين. إذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من نق واحد زائد نق اثنين، فإن الدائرتين متباعدتان. بعبارة أخرى، إنهما لا تتقاطعان ولا تقع إحداهما داخل الأخرى. وإذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان يساوي نق واحدًا زائد نق اثنين، فإن الدائرتين تتقاطعان عند نقطة واحدة، ﺃ، على محيط كل من الدائرتين. ونلاحظ وجود مماس لكلتا الدائرتين عند ﺃ.

لنفترض أن نق واحدًا أكبر من أو يساوي نق اثنين. إذن، إذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من نق واحد ناقص نق اثنين وأصغر من نق واحد زائد نق اثنين، فإن الدائرتين تتقاطعان عند نقطتين؛ ﺃ وﺏ. وإذا كان نق واحد أكبر من نق اثنين وﻡ واحد ﻡ اثنان يساوي نق واحدًا ناقص نق اثنين، فإن الدائرتين تتقاطعان عند نقطة واحدة، ﺃ، داخل الدائرة التي مركزها ﻡ واحد. ونلاحظ أن نق واحدًا لا يمكن أن يساوي نق اثنين في هذه الحالة؛ لأن الدائرتين متداخلتان وتقع إحداهما داخل الأخرى. في الحالة الأخيرة، إذا كان نق واحد أكبر من نق اثنين وﻡ واحد ﻡ اثنان أصغر من نق واحد ناقص نق اثنين، فإن إحدى الدائرتين تقع داخل الأخرى ولا تتقاطعان.

في جميع الحالات الخمس، يكون الأمر المهم هو مقارنة المسافة ﻡ واحد ﻡ اثنين التي يبعدها مركزا الدائرتين أحدهما عن الآخر بنصفي قطري الدائرتين. ويمكننا تلخيص هذه الحالات كما هو موضح.

سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى استخدام هذه الخواص.

افترض أن لدينا دائرتين إحداهما مركزها ﻡ واحد ونصف قطرها نق واحد يساوي سبعة، والأخرى مركزها ﻡ اثنان ونصف قطرها نق اثنان يساوي أربعة. إذا كانت الدائرتان تتقاطعان عند نقطتين مختلفتين، فأي من الآتي يمثل المدى الصحيح لقيم طول ﻡ واحد ﻡ اثنين؟ أ: ﻡ واحد ﻡ اثنان أصغر من ثلاثة. ب: ﻡ واحد ﻡ اثنان أصغر من ١١. ج: ثلاثة أصغر من ﻡ واحد ﻡ اثنين. د: ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من ثلاثة وأصغر من ١١. هـ: ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من أربعة وأصغر من سبعة.

يخبرنا هذا السؤال أن هناك دائرتين تتقاطعان عند نقطتين مختلفتين. الدائرة الأكبر مركزها ﻡ واحد ونصف قطرها يساوي سبعة، والدائرة الأصغر مركزها ﻡ اثنان ونصف قطرها يساوي أربعة. والمطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد مدى لقيم طول ﻡ واحد ﻡ اثنين، وهو المسافة بين المركزين. لعلنا نتذكر أنه عندما تتقاطع دائرتان عند نقطتين مختلفتين، فإن طول ﻡ واحد ﻡ اثنين يكون أكبر من نق واحد ناقص نق اثنين وأصغر من نق واحد زائد نق اثنين. بالتعويض بالقيم المذكورة في هذا السؤال، يصبح لدينا ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من سبعة ناقص أربعة وأصغر من سبعة زائد أربعة. ويمكننا تبسيط ذلك إلى ﻡ واحد ﻡ اثنين أكبر من ثلاثة وأصغر من ١١. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار د.

والآن، سنختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية.

لقد بدأنا بتناول العلاقة بين النقطة والدائرة. وكانت هناك ثلاثة سيناريوهات محتملة تصف هذه العلاقة. إذا كانت المسافة بين المركز ﻡ وأي نقطة عامة ﻥ أصغر من طول نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة. وإذا كان الطول ﻡﻥ يساوي نق، فإن النقطة تقع على الدائرة. أما إذا كان ﻡﻥ أكبر من نق، فإن النقطة تقع خارج الدائرة. بعد ذلك، تناولنا العلاقة بين الخط المستقيم والدائرة. وكانت هناك ثلاثة احتمالات أيضًا. إذا كان ﻡﺃ أصغر من نق، فإن ﻝ قاطع للدائرة. وإذا كان ﻡﺃ يساوي نق، فإن ﻝ مماس للدائرة. أما إذا كان ﻡﺃ أكبر من نق، فإن ﻝ يقع خارج الدائرة؛ حيث ﺃ نقطة تقع على المستقيم ﻝ وهي أقرب نقطة إلى مركز الدائرة ﻡ.

وأخيرًا، بالنسبة إلى أي دائرتين مركزاهما ﻡ واحد وﻡ اثنان، ونصفا قطريهما نق واحد ونق اثنان، فإننا لاحظنا ما يأتي. إذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من نق واحد زائد نق اثنين، فإن الدائرتين متباعدتان. وإذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان يساوي نق واحدًا زائد نق اثنين، فإن الدائرتين متماستان من الخارج. وإذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان أكبر من نق واحد ناقص نق اثنين وأصغر من نق واحد زائد نق اثنين، فإن الدائرتين تتقاطعان عند نقطتين. وإذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان يساوي نق واحدًا ناقص نق اثنين، فإن الدائرتين متماستان من الداخل. وأخيرًا، إذا كان ﻡ واحد ﻡ اثنان أصغر من نق واحد ناقص نق اثنين، فإن إحدى الدائرتين تقع داخل الأخرى؛ حيث نق واحد أكبر من أو يساوي نق اثنين.