فيديو: حساب التكامل المحدد لدالة كثيرة الحدود

أوجد قيمة ‪∫_(0)^(1) ((4/5)𝑡³ + (3/4)𝑡² − (2/3)𝑡)d𝑡‬‏.

٠٤:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة التكامل المحدد لأربعة على خمسة 𝑡 تكعيب زائد ثلاثة على أربعة 𝑡 تربيع ناقص اثنين على ثلاثة 𝑡 بين الحدين واحد وصفر.

عند التعامل مع تكامل محدد، ثمة صيغة عامة يمكنها مساعدتنا في إيجاد قيمته. نعلم أنه عند إيجاد التكامل المحدد لدالة بين الحدين 𝑏 و𝑎، فإن هذا سيساوي قيمة التكامل عند التعويض بالحدين 𝑏 و𝑎. وذلك في الواقع يعني التكامل عند التعويض بالحد العلوي — ومن ثم، التعويض بـ 𝑏 — ناقص التكامل عند التعويض بالحد السفلي، أي، التعويض بـ 𝑎. وكلاهما يعوض بهما عن قيم 𝑥.

الآن، عرفنا ما علينا فعله. إذن، فلنحسب قيمة مقدارنا ونوجد قيمة التكامل المحدد. الخطوة الأولى إذن هي إجراء عملية التكامل لأربعة على خمسة 𝑡 تكعيب زائد ثلاثة على أربعة 𝑡 تربيع ناقص اثنين على ثلاثة 𝑡. حسنًا، الحد الأول سيكون أربعة 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة على خمسة في أربعة. وقد حصلنا على ذلك لأن ما فعلناه هو أننا رفعنا القيمة الأسية للحد 𝑡 بمقدار واحد — أي، من ثلاثة إلى أربعة. فحصلنا على أربعة 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة.

بعد ذلك، قسمنا على الأس الجديد. لكن حيث إنه كان لدينا بالفعل أربعة أخماس 𝑡 تكعيب، فهذا معناه أننا سنضرب الخمسة في الأس الجديد، وهو أربعة، في المقام. إذن، حصلنا على أربعة 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة على خمسة في أربعة. وقد تركت المقام على هذه الصورة حيث سيصبح الأمر أسهل خلال لحظات حين أريكم كيف سنبسط هذا المثال تحديدًا.

ثم سيصبح الحد الثاني ثلاثة 𝑡 تكعيب على أربعة في ثلاثة. مرة أخرى باستخدام الطريقة نفسها، رفعنا القيمة الأسية بمقدار واحد؛ أي، من اثنين إلى ثلاثة. ثم قسمنا على الأس الجديد. فحصلنا على أربعة في ثلاثة في المقام، لأنه كان لدينا في الأصل أربعة في المقام، إذ كان الحد ثلاثة أرباع 𝑡 تربيع. والحد الأخير سيكون اثنين 𝑡 تربيع على ثلاثة في اثنين. مرة أخرى، فعلنا ذلك بنفس الطريقة بالضبط. رفعنا القيمة الأسية من واحد إلى اثنين، ثم قسمنا على الأس الجديد.

حسنًا، رائع، والآن، سنبسط هذا. الحد الأول سيصبح 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة على خمسة. كما ترون، السبب في هذا هو أننا قسمنا على أربعة. قسمنا البسط والمقام على أربعة. فيحذف كل منهما الآخر. وهكذا، صار لدينا 𝑡 مرفوع للقوة الأسية أربعة على خمسة. ثم هذا سيكون زائد 𝑡 تكعيب على أربعة. مرة أخرى، لنفس الأسباب، إذا قسمنا الجزء العلوي والجزء السفلي، أو البسط والمقام، على ثلاثة، فيتبقى لدينا 𝑡 تكعيب على أربعة. ثم سيكون الحد الأخير 𝑡 تربيع على ثلاثة. مرة أخرى، باستخدام الطريقة نفسها، حذفنا العددين اثنين معًا بقسمة البسط والمقام على اثنين. وهكذا، تبقى لدينا 𝑡 تربيع على ثلاثة.

حسنًا، رائع، لقد وصلنا الآن للمرحلة التي نستطيع فيها التعويض بقيمتي حدينا. إذا نظرنا للصيغة العامة، فسنرى أن ما علينا فعله هو التعويض في المقدار بقيمة الحد الأعلى أولًا. وبعد ذلك نطرح منه القيمة بعد التعويض بقيمة الحد الأدنى. هكذا، يصبح لدينا واحد مرفوعًا للقوة الأسية أربعة على خمسة زائد واحد مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة على أربعة ناقص واحد مرفوعًا للقوة الأسية اثنين على ثلاثة ناقص، ثم — إنني لا أكتب هذا عادة، لكنني وضعته هنا حتى أريكم العملية كاملة. لدينا صفر مرفوعًا للقوة الأسية أربعة على خمسة زائد صفر مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة على أربعة ناقص صفر مرفوعًا للقوة الأسية اثنين على ثلاثة، وهو ما سيساوي صفرًا. ومن ثم، سيساوي هذا واحدًا على خمسة زائد واحد على أربعة ناقص واحد على ثلاثة.

ثم في حال كانت المسألة لا تستخدم فيها الآلة الحاسبة، فسيكون علينا توحيد المقام بالنسبة لكل الحدود. هكذا، يصير الواحد على خمسة 12 على 60. وقد اخترنا العدد 60 لأنه المضاعف المشترك الأصغر للخمسة والأربعة والثلاثة. وحصلنا على 12 على 60 لأن 12 في خمسة يعطينا 60. بعد ذلك، لدينا 15 على 60، لأن واحدًا على أربعة يعطينا 15 على 60. ثم أخيرًا، الكسر الأخير هو 20 على 60.

حسنًا، رائع، الآن لدينا المقام نفسه. ويمكننا أن نوجد الحل النهائي. وبالتالي، يمكننا القول إن قيمة التكامل المحدد لأربعة على خمسة 𝑡 تكعيب زائد ثلاثة على أربعة 𝑡 تربيع ناقص اثنين على ثلاثة 𝑡 بين الحدين واحد وصفر تساوي سبعة على 60.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.