نسخة الفيديو النصية
أعتقد أنك ستستمتع بما سنتناوله هنا. سأريك نتيجة رائعة تكشف عن علاقة غير متوقعة بين متسلسلة بسيطة من الكسور وهندسة الدوائر. لكن على عكس بعض النتائج المشابهة التي ربما رأيتها من قبل، تتضمن هذه النتيجة ضرب قيم في بعضها بدلًا من جمعها. وللفيديو الذي تشاهده الآن أهمية خاصة في سلسلتنا «ثري بلو وان براون»، فهو مختلف بعض الشيء عن أغلب الفيديوهات السابقة.
إذا تمهلت وفكرت في الأمر، فإن أي عرض توضيحي في الرياضيات يكتسب قيمته من المزج بين المبادئ الرياضية المتضمنة والخيارات المتاحة لتوصيلها. يطرح محتوى هذه القناة بأكمله تقريبًا مبادئ رياضية معروفة جدًا في المجال. ويعتمد إما على نظريات عامة أو ورقة بحثية معينة. وما آمل إليه هو أن يظهر تميزنا في الجزء الخاص بكيفية توصيل المعلومة. وفي هذا الفيديو، تعد النتيجة التي سنعرضها، وهي عملية ضرب لا نهائية شهيرة لحساب قيمة 𝜋 وتعرف باسم «جداء واليس»، من الأشياء المعروفة جدًا في الرياضيات. لكن، على حد علمنا، ما سنعرضه هنا هو برهان جديد من نوعه لهذه النتيجة.
بعد مشاهدة الفيديو المتعلق بمعضلة بازل، فكر سريدار — وهو عضو جديد معنا في السلسلة ربما يتذكره بعضكم من الفيديو المتعلق بالألوان وأعداد اللف — في النهج الذي استعرضه الفيديو والصلة بين معضلة بازل وجداء واليس. ثم توصل إلى برهان جديد للعلاقة بين جداء واليس و𝜋. في الحقيقة، ربما تكون هذه العلاقة قد عرضت بالفعل في مكان ما في الدراسات المنشورة ربما لم نصل إليه أثناء البحث. لكن، يمكنني القول: إنها قد وجدت بشكل مستقل. وإنها لو كانت موجودة بالفعل، فقد كانت خفية علينا. والآن، كفانا مقدمات ولندخل في الرياضيات.
فكر في عملية ضرب اثنين على واحد، في أربعة على ثلاثة، في ستة على خمسة، وهكذا. ما نفعله هنا هو أننا نستخدم جميع الأعداد الزوجية في البسوط والأعداد الفردية في المقامات. بالطبع، كل العوامل هنا أكبر من واحد. ومع التقدم في المتسلسلة وضرب كل عامل جديد، واحدًا تلو الآخر، يتضخم الناتج. ويتضح أنه يصبح في النهاية أكبر من أي نهاية محددة. وبذلك، فهو ليس ذا أهمية كبيرة. فهو يستمر إلى ما لا نهاية وحسب.
لكن، على الجانب الآخر، إذا غيرت الوضع قليلًا ونظرت إلى اثنين على ثلاثة، في أربعة على خمسة، في ستة على سبعة، وهكذا، تجد أن جميع هذه العوامل أقل من واحد. ومن ثم، فإن الناتج يتضاءل أكثر وأكثر. وهذه المرة، تقترب المتسلسلة من الصفر. لكن، ماذا لو مزجنا الاثنين معًا؟ انظر اثنين على واحد، في اثنين على ثلاثة، في أربعة على ثلاثة، في أربعة على خمسة، وهكذا، حيث حواصل الضرب الجزئية تزداد ثم تنخفض، ثم تزداد ثم تنخفض، ثم تزداد قليلًا ثم تنخفض قليلًا، حتى تصبح التغيرات المصاحبة لهذه التذبذبات منعدمة.
ولا بد أنها الآن تقترب من قيمة نهائية موجبة. فما هي تلك القيمة؟ صدق أو لا تصدق، سنكتشف أنها 𝜋 على اثنين. ولفهم الصلة بين حاصل الضرب هذا، الذي من الواضح أن لا علاقة له بالدوائر، وبين 𝜋، علينا الاستطراد والتطرق إلى الحديث عن بعض الأدوات الهندسية. لكنه استطراد مفيد وبناء، حيث سيكون من المفيد أن تضم هذه الأفكار إلى صندوق الأدوات خاصتك لحل جميع الأنواع الأخرى من مسائل الرياضيات. لدينا هنا دائرة، وتنتشر على إطارها نقاط عديدة على مسافات متساوية، بالإضافة إلى نقطة أخرى خاصة.
وهذا يشبه ما استعرضناه في فيديو معضلة بازل، حيث استخدمنا الفنارات لتمثيل تلك النقاط الموجودة على مسافات متساوية، واعتبرنا النقطة الخاصة هي الراصد. في المرة السابقة، شملت الكمية التي كانت تعنينا حساب المسافة بين الراصد وكل فنار، ثم حساب مقلوب مربع كل من هذه المسافات وجمعها معًا. وكان هذا هو المغزى من قصة الفنارات أصلًا، إذ إن قانون التربيع العكسي قد منحنا تمثيلًا فعليًا رائعًا لتلك الكمية. وهي إجمالي كمية الضوء الذي يستقبله الراصد. لكن على الرغم من هذا التمثيل الرائع، فإن جمع مقلوب مربع المسافات عملية عادية. وكان ذلك تحديدًا هو الشيء الوحيد المفيد في تلك المسألة.
وللتعامل مع المسألة الجديدة التي لدينا هنا، اثنان على واحد، في اثنين على ثلاثة، في أربعة على ثلاثة، في أربعة على خمسة، وهكذا، سنتبع نهجًا مماثلًا، مع اختلاف التفاصيل. بدلًا من استخدام مقلوب مربع المسافات، انظر إلى المسافات مباشرة. وبدلًا من جمعها، سنضربها في بعضها، ونحصل بذلك على كمية سأشير إليها باسم حاصل ضرب المسافات الخاص بالراصد. سيكون ذلك مهمًا. وعلى الرغم من أن حاصل ضرب المسافات هذا ليس له نموذج فعلي يمثله جيدًا، تساورني الرغبة في تمثيله بنموذج الفنارات والراصد، وليس ثمة سبب محدد لذلك سوى أنها طريقة ظريفة وحسب. بل إنها أظرف من النقاط الهندسية المجردة.
أما الآن، وفيما يخص برهان جداء واليس، سنستعين بحقيقتين مهمتين تتعلقان بحاصل ضرب المسافات، ومن شأنهما تسهيل الأمر. أولًا، إذا كان موقع الراصد عند نصف المسافة بين فنارين على الدائرة، فسيكون حاصل ضرب المسافات الذي تحصل عليه من ضرب أطوال كل هذه الخطوط في بعضها اثنين بالضبط، أيًا كان عدد الفنارات. وثانيًا، إذا أزلت أحد هذه الفنارات ووضعت الراصد بدلًا منه، فإن حاصل ضرب المسافات من جميع الفنارات المتبقية سيساوي عدد الفنارات الذي بدأت به. وذلك، مرة أخرى، أيًا كان عدد الفنارات.
لو بدت لك الحقيقتان غير معقولتين، فهذا رأيي أيضًا. فمن غير الواضح حتى أن حاصل ضرب المسافات سيكون عددًا صحيحًا في كلتا الحالتين. كما أنه من الصعب جدًا فيما يبدو أن نحسب جميع المسافات ثم نضربها في بعضها على هذا النحو. ومع ذلك، اتضح أن ثمة طريقة يمكن استخدامها للتغلب على صعوبة العملية الحسابية هذه وتبسيطها. الفكرة الأساسية هي أن الخاصية الهندسية لتلك النقاط المنتشرة على مسافات متساوية حول الدائرة تناظر خاصية جبرية رائعة، لو تخيلنا أن هذه هي دائرة الوحدة في المستوى المركب، وكل من هذه الفنارات موضوع على عدد مركب معين.
قد يميز بعضكم هذه النقاط باعتبارها جذور العدد واحد. لكن، دعونا نستعرض هذه الفكرة سريعًا في حال كانت غريبة لأي منكم. فكر في تربيع أحد هذه الأعداد. مقداره واحد، وسيظل هكذا. لكن الزاوية التي يصنعها مع المستوى الأفقي ستتضاعف. وهذه هي طريقة تربيع الأعداد المركبة. وبالمثل، سيؤدي تكعيب هذا العدد إلى زيادة قياس الزاوية مع المستوى الأفقي ثلاث مرات. وبشكل عام، فإن رفعه للقوة 𝑁 يعني ضرب الزاوية في 𝑁. فعلى سبيل المثال، وكما يظهر على الشاشة، هناك سبع نقاط على مسافات متساوية حول دائرة الوحدة، وسأسميها 𝐿 صفر، و𝐿 واحد، و𝐿 اثنين، وهكذا. وهي تدور على نحو يجعل النقطة 𝐿 صفر تصبح على العدد واحد على الجانب الأيمن.
ولأن الزاوية التي تصنعها كل منها مع المستوى الأفقي قياسها عدد صحيح من مضاعفات سبع الدورة الواحدة، فإن رفع أي من هذه الأعداد للقوة سبعة يجعلك تلف حولها حتى تقف عند العدد واحد. بعبارة أخرى، كل هذه حلول للمعادلة كثيرة الحدود 𝑥 أس سبعة ناقص واحد يساوي صفرًا.
لكن، على الجانب الآخر، يمكننا إنشاء معادلة كثيرة الحدود تكون فيها هذه الأعداد في صورة جذور بطريقة مختلفة تمامًا، وذلك عن طريق حساب 𝑥 ناقص 𝐿 صفر في 𝑥 ناقص 𝐿 واحد، وهكذا حتى نصل إلى 𝑥 ناقص 𝐿 ستة. ما أعنيه هو أن تعوض بأي من هذه الأعداد، ولا بد لحاصل الضرب أن يساوي صفرًا. ولأن المعادلتين كثيرتي الحدود اللتين رتبة كل منهما سبعة لهما نفس الجذور السبعة ونفس الحد الأول، وهو 𝑥 أس سبعة في كلتا الحالتين، فإنهما في الواقع نفس الشيء.
توقف لحظة وتأمل روعة هذه الحقيقة. قد تبدو عملية فك أقواس الطرف الأيمن هنا صعبة جدًا. ليس فقط لكثرة الحدود، وإنما أيضًا لأن كتابة الناتج الفعلي لكل من هذه الأعداد المركبة سينتج عنها مجموعة ضخمة ومعقدة من الجيوب وجيوب التمام. لكن نظرًا لتماثل الشكل، نعرف أنه عند الانتهاء من ضجيج العمليات الجبرية، سيبسط الأمر إلى 𝑥 أس سبعة ناقص واحد. وستحذف الحدود الأخرى كلها معًا. وبالطبع، ليس هناك ما يميز السبعة هنا. لو أن لديك عدد 𝑁 من النقاط على مسافات متساوية حول دائرة كهذه، فهي جذور 𝑥 أس 𝑁 ناقص واحد يساوي صفرًا.
لعلك تلاحظ الآن كيف يقودنا ذلك إلى طريقة ظريفة للتبسيط من أجل حساب حاصل ضرب المسافات الذي أشرنا إليه منذ قليل. إذا اعتبرت أن الراصد هو أي عدد مركب آخر، ليس بالضرورة على الدائرة، ثم عوضت بهذا العدد عن 𝑥، فستحصل في الطرف الأيمن على عدد مركب جديد مقداره حاصل ضرب المسافات بين الراصد وكل فنار. لكن، انظر إلى الطرف الأيسر، فهذه طريقة أبسط كثيرًا لفهم النتيجة التي ستحصل عليها من تبسيط عملية الضرب. ومما يسترعي الدهشة أن ذلك يعني أنه لو كان الراصد يجلس على نفس الدائرة التي عليها الفنار، فإن عدد الفنارات الفعلي لن يكون ذا أهمية. فما سيعنينا هنا هو فقط ذلك الجزء من المسافة الواقعة بين الفنارات المتجاورة الذي يصف الموقع الذي يقف عنده الراصد.
إذا كان هذا الجزء أو الكسر هو 𝑓، فإن الراصد مرفوعًا للقوة 𝑁 يقع عند الجزء 𝑓 من المسار حول الدائرة الكاملة. ومن ثم، فمقدار العدد المركب، وهو الراصد، مرفوعًا للقوة 𝑁 ناقص واحد هو المسافة بين العدد واحد والنقطة عند 𝑓 من المسار حول دائرة الوحدة الكاملة. على سبيل المثال، كما يظهر أمامنا على الشاشة، لدينا سبعة فنارات، ويجلس الراصد عند ثلث المسافة بين الفنارين الأول والثاني. لذلك، عند رفع العدد المركب الخاص بهذا الراصد إلى القوة سبعة، ينتهي به الأمر عند ثلث المسار حول الدائرة الكاملة. ومن ثم، فمقدار الراصد مرفوعًا للقوة سبعة ناقص واحد سيساوي طول هذا الوتر هنا، والذي عند ثلث المسار حول الدائرة يكون تقريبًا 1.73.
وتذكر أن هذه القيمة هي نفس حاصل ضرب المسافات كلها الذي يعنينا. يمكننا زيادة عدد الفنارات أو تقليله. ومهما حدث، طالما أن الراصد عند ثلث المسافة بين أي فنارين، فسنحصل دائمًا على طول هذا الوتر نفسه باعتباره حاصل ضرب المسافات. عمومًا، دعونا ننشئ دالة خاصة: الوتر لـ 𝑓، ما يعني أنه لأي كسر 𝑓، هذا هو طول الوتر المناظر لهذا الجزء من دائرة الوحدة. على سبيل المثال، ما رأيناه توًا هو الوتر لثلث. في الواقع، ليس من الصعب ملاحظة أن الوتر لـ 𝑓 يعادل اثنين في sin 𝑓 على اثنين في اثنين 𝜋، ما يساوي اثنين في sin 𝑓𝜋. لكن، من الأسهل أحيانًا أن نفكر فيه باعتباره الوتر لـ 𝑓 وحسب. ومن ثم، فإن النتيجة التي أوضحناها توًا هي أنه بالنسبة إلى الراصد الواقف على بعد 𝑓 من المسافة بين فنارين، يكون حاصل ضرب المسافات الكلي يساوي بالضبط الوتر لـ 𝑓 على الرغم مما يشوب الأمر من تعقيد، وذلك بصرف النظر عن عدد الفنارات الموجودة.
وعلى وجه التحديد، انظر الوتر لنصف. هذه هي المسافة بين نقطتين متقابلتين على الدائرة، وطولها اثنان. ومن ثم، نلاحظ أنه أيًا كان عدد الفنارات المنتشرة على مسافات متساوية على طول الإطار الخارجي للدائرة، فإن وضع الراصد عند نصف المسافة بين فنارين على طول الإطار الخارجي للدائرة يؤدي إلى حاصل ضرب المسافات قيمته اثنان بالضبط. وهذه هي الحقيقة الأساسية الأولى التي ذكرناها.
أما بالنسبة إلى الحقيقة الثانية، فتخيل لو وضعت الراصد على أحد الفنارات مباشرة. حينها يصبح حاصل ضرب المسافات صفرًا. إذن، الفنار عند المسافة صفر يلغي كل العوامل الأخرى. لكن، افترض أننا تخلصنا من الفنار الذي يسبب لنا مشكلة، واستخدمنا مساهمات كل الفنارات الأخرى فقط. ماذا سيكون حاصل ضرب المسافات هنا؟ بدلًا من التعامل مع تعبير الراصد كثير الحدود المرفوع للقوة 𝑁 ناقص واحد، الذي له جذر عند كل هذه الجذور النونية للعدد واحد، سننتقل الآن إلى تعبير الراصد كثير الحدود المرفوع للقوة 𝑁 ناقص واحد مقسومًا على الراصد ناقص واحد، الذي له جذر عند جميع جذور العدد واحد باستثناء العدد واحد نفسه.
وبإجراء بعض عمليات الجبر، يتضح أن هذا الكسر يعادل واحدًا زائد الراصد زائد الراصد تربيع، وهكذا، حتى نصل إلى الراصد مرفوعًا للقوة 𝑁 ناقص واحد. لذلك، إذا عوضت عن الراصد بواحد، حيث إن هذا هو العدد الذي يقف عنده، فعلام ستحصل؟ جميع الحدود هنا تصبح واحدًا. ومن ثم تساوي 𝑁، ما يعني أن حاصل ضرب المسافات الكلي في هذه الحالة يساوي عدد الفنارات الأصلية. ويعتمد ذلك على إجمالي عدد الفنارات، لكن بقدر بسيط جدًا. فكر في الأمر. إنه مذهل! حاصل ضرب المسافات الكلي الذي يستقبله الراصد الواقف عند أحد الفنارات من جميع الفنارات الأخرى هو 𝑁 بالضبط، حيث إن 𝑁 هو إجمالي عدد الفنارات، بما في ذلك الفنار المهمل. وهذه هي الحقيقة الأساسية الثانية.
بالمناسبة، إن برهنة الحقائق الهندسية من هذا النوع ذات كثيرات الحدود المركبة هو أمر مألوف في الرياضيات. وإذا توجهت إلى أي مختص بالرياضيات في محيطك وعرضت عليه هاتين الحقيقتين وحقائق أخرى مشابهة، فسرعان ما سيخبرك أنهما صحيحتان وسيخبرك بكيفية برهنتهما باستخدام الأساليب التي استعرضناها هنا. والآن، تستطيع أنت أيضًا أن تفعل ذلك. وبالوصول إلى هاتين الحقيقتين، دعنا نر كيف يمكن استخدامهما لفهم حاصل الضرب الذي يعنينا هنا، وعلاقته بـ 𝜋.
انظر هذا السيناريو حيث يوجد عدد 𝑁 من الفنارات على مسافات متساوية على طول الإطار الخارجي للدائرة، وتخيل أن هناك راصدين، سأسميهما الحارس والبحار. ضع الحارس على أحد الفنارات. وضع البحار عند منتصف المسافة بين هذه النقطة والفنار الذي يليها. الفكرة هنا هي أن ننظر إلى حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى الحارس مقسومًا على حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى البحار. ثم نحسب هذه النسبة بطريقتين مختلفتين. نعرف من الحقيقة الأولى أن حاصل ضرب المسافات الكلي بالنسبة للبحار هو اثنان. وحاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى الحارس هو صفر؛ إذ إنه يقف فوق أحد الفنارات مباشرة. لكن لو تخلصنا من هذا الفنار، فإننا نجد — باستخدام الحقيقة الثانية — أن حاصل ضرب المسافات المتبقي لهذا الحارس هو 𝑁.
وبالطبع بالتخلص من هذا الفنار، نكون قد تخلصنا أيضًا من مساهمته في حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى البحار. ولا بد من قسمة المقام الآن على المسافة بين الراصدين. وبقليل من التبسيط، سيعني ذلك أن النسبة بين حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى الحارس وبالنسبة إلى البحار هي 𝑁 في المسافة بين الراصدين، الكل مقسوم على اثنين. لكن، يمكننا أيضًا حساب هذه النسبة بطريقة مختلفة، عن طريق التعامل مع كل فنار على حدة.
فكر في مساهمة كل فنار في حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى الحارس، أي فقط المسافة التي يبعدها عن الحارس، مقسومًا على مساهمته في حاصل ضرب المسافات بالنسبة إلى البحار، وهي المسافة التي يبعدها عن البحار. وعند ضرب كل هذه العوامل معًا لكل فنار، لا بد أن نحصل على نفس النسبة في النهاية، وهي 𝑁 في المسافة بين الراصدين، الكل مقسومًا على اثنين. قد تبدو هذه العملية الحسابية معقدة للغاية. لكن كلما زاد العدد 𝑁، يزداد الأمر بساطة لأي فنار بعينه.
على سبيل المثال، انظر أول فنار بعد الحارس، في عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا أقرب قليلًا إلى البحار منه إلى الحارس. الزاوية بين هذا الفنار والحارس ضعف الزاوية بين الفنار والبحار بالضبط. وهاتان الزاويتان لا تتناسبان تمامًا مع مسافتي هذين الخطين المستقيمين. لكن كلما زاد العدد 𝑁 أكثر وأكثر، أصبح التناظر أفضل. وفي حالة لو كان عدد 𝑁 كبيرًا جدًا، فإن المسافة من الفنار إلى الحارس تكون تقريبًا ضعف المسافة من الفنار إلى البحار.
وبالمثل، لو نظرنا إلى الفنار الثاني بعد الحارس، فسنجد أن نسبة الزاوية الخاصة بالحارس إلى الزاوية الخاصة بالبحار هي أربعة على ثلاثة بالضبط، وهي تقريبًا نفس المسافة الخاصة بالحارس مقسومة على المسافة الخاصة بالبحار كلما زاد 𝑁. وسيساهم الفنار الثالث 𝐿 ثلاثة بكسر يقترب أكثر وأكثر من ستة على خمسة مع اقتراب 𝑁 من ما لا نهاية. وفيما يخص هذا البرهان، علينا النظر إلى جميع الفنارات في الجزء السفلي من الدائرة بشكل مختلف قليلًا، ولذلك رقمتها سالب واحد، وسالب اثنين، وسالب ثلاثة، وهكذا.
لو نظرت إلى الفنار الأول الموجود قبل موقع الحارس، فستجد أن نسبة المسافة للحارس إلى المسافة للبحار تقترب من اثنين على ثلاثة مع اقتراب 𝑁 من ما لا نهاية. ثم الفنار الثاني الذي قبله، وهو 𝐿 سالب اثنين هنا، يساهم بنسبة تقترب أكثر وأكثر من أربعة أخماس. والفنار الثالث، وهو 𝐿 سالب ثلاثة، يساهم بكسر يقترب أكثر وأكثر من ستة على سبعة، وهكذا. وبتجميع ذلك كله لكل الفنارات، يصبح لدينا اثنان على واحد، في اثنين على ثلاثة، في أربعة على ثلاثة، في أربعة على خمسة، في ستة على خمسة، في ستة على سبعة، وهكذا. وهذه هي عملية الضرب التي تعنينا. وفي هذه الحالة، كل حد من هذه الحدود يعكس مساهمة كل فنار مع اقتراب 𝑁 من ما لا نهاية.
عندما أقول «مساهمة»، فإنني أعني المساهمة في نسبة حاصل ضرب المسافات بالنسبة للحارس إلى حاصل ضرب المسافات بالنسبة للبحار، والذي لا بد كما نعرف في كل خطوة أن يساوي 𝑁 في المسافة بين الراصدين مقسومًا على اثنين. إذن ما القيمة التي يقترب منها مع اقتراب 𝑁 من ما لا نهاية؟ المسافة بين الراصدين هي نصف في واحد على 𝑁 من الدورة الكاملة على طول الإطار الخارجي للدائرة. وبما أن هذه دائرة وحدة، فإن محيطها اثنان 𝜋. ومن ثم، فالمسافة بين الراصدين تقترب من 𝜋 مقسومًا على 𝑁. ولذلك، فإن 𝑁 في هذه المسافة مقسومًا على اثنين يقترب من 𝜋 مقسومًا على اثنين. ها قد انتهينا! حاصل ضرب اثنين على واحد، في اثنين على ثلاثة، في أربعة على ثلاثة، في أربعة على خمسة، وهكذا، لا بد أن يقترب من 𝜋 على اثنين.
وهذه نتيجة مذهلة حقًا. وهي تعرف باسم جداء واليس، وقد سميت على اسم عالم الرياضيات من القرن الـ 17 جون واليس، الذي كان أول من اكتشف هذه الحقيقة لكن بطريقة أكثر تعقيدًا. وكمعلومة على هامش الموضوع، فهو أيضًا من اكتشف، بل اخترع، رمز ما لا نهاية.
في الحقيقة، لو عدت ونظرت فيما ذكرناه، فستجد أننا استعرضنا الأمر بشكل مبسط بعيدًا عن المسميات الرياضية، وربما كان ذلك ملحوظًا بالأحرى لمختصي الرياضيات. ما لدينا هنا هو مجموعة كبيرة من العوامل التي نعرف أنه بضربها معًا نحصل على 𝑁 في المسافة بين الراصدين مقسومًا على اثنين. ثم نظرنا إلى نهاية كل عامل على حدة مع اقتراب 𝑁 من ما لا نهاية، وخلصنا إلى أن حاصل ضرب كل هذه الحدود المنتهية لا بد أن يساوي النهاية لـ 𝑁 في المسافة بين الراصدين مقسومًا على اثنين، أيا كانت تلك النهاية. لكن الافتراض هنا هو أن حاصل ضرب النهايات يساوي نهاية حواصل الضرب، حتى مع وجود عدد لا نهائي من العوامل.
وهذا الشكل من إبدال النهايات في العمليات الحسابية اللانهائية لا يكون صحيحًا دائمًا. فأحيانًا يتحقق، وأحيانًا أخرى لا. دعوني أريكم مثالًا بسيطًا لحالة لا يتحقق فيها مثل هذا الإبدال للنهايات. لدينا هنا شبكة يتكون كل صف منها من سبعة واحدة ومجموعة من الآحاد. فلو حسبت حاصل الضرب اللانهائي لكل صف من الصفوف، فستحصل على سبعة فقط لكل صف منها. ولأن كلًا من حواصل الضرب هذه هو سبعة، فإن نهاية حواصل الضرب سبعة أيضًا. لكن، انظر ماذا يحدث لو أخذت النهايات أولًا. لو نظرت لكل عمود، فإن نهاية أي عمود ستكون واحدًا، حيث إنه عند مرحلة ما لم يكن يحتوي على شيء غير الآحاد.
لو أخذت حاصل ضرب هذه النهايات، فأنت تأخذ فقط حاصل ضرب مجموعة من الآحاد. ومن ثم، قد تحصل على ناتج مختلف وهو واحد. ولحسن الحظ، قضى علماء الرياضيات الكثير من الوقت في التفكير في هذه الظاهرة. واخترعوا الأدوات اللازمة للتوصل سريعًا إلى الحالات المعينة التي يتحقق فيها إبدال النهايات هذا. وفي هذه الحالة، تؤكد لنا نتيجة قياسية معينة تعرف باسم التقارب المهيمن أن ما شرحناه توًا سيتحقق دائمًا. وللمهتمين منكم بالأمر، فقد كتب سريدار شرحًا ملحقًا بهذا الفيديو يعرض فيه هذه التفاصيل إلى جانب أمور أخرى كثيرة.
كما وجب التنويه إلى ضرورة توخي الحذر حيال طريقة تفسيرنا لعملية ضرب كهذه. تذكر أن لدينا مساهمات من فنارات في عكس اتجاه عقارب الساعة من موقع الحارس، وفنارات باتجاه عقارب الساعة من موقع الحارس. وما فعلناه هو مزجها للوصول إلى حاصل الضرب. تساهم الفنارات الموجودة عكس اتجاه عقارب الساعة من موقع الحارس باثنين على واحد، وأربعة على ثلاثة، وستة على خمسة، وهكذا. وتساهم الفنارات باتجاه عقارب الساعة من موقع الحارس باثنين على ثلاثة، وأربعة على خمسة، وستة على سبعة. وكما ذكرت من قبل، لو حاولت التعديل في هاتين المتسلسلتين كل على حدة، فستجد أن المتسلسلة الأولى تكبر أكثر وأكثر باتجاه ما لا نهاية. والمتسلسلة الثانية تصغر أكثر وأكثر، مقتربة من الصفر.
إذن، من المهم جدًا فهم المنطق وراء حاصل الضرب الكلي هذا عن طريق حساب النصفين بشكل منفصل ثم ضمهما معًا. وبالطبع، سنجد أنك لو مزجت هذين النصفين بشكل مختلف، كأن تأخذ — على سبيل المثال — من أحدهما عددًا من العوامل أكبر بمقدار الضعف مقابل كل عامل من الثاني، فقد تحصل على نتيجة مختلفة لحاصل الضرب الكلي. وبطريقة المزج واحد لواحد هذه فقط، يمكنك الحصول على حاصل ضرب يقترب من 𝜋 على اثنين. وهذا أمر بعيد، لكن التقارب المهيمن يفسر إبدال النهايات على النحو الذي فعلناه. مرة أخرى، لمعرفة تفاصيل أكثر، انظر الشرح الإضافي. وفي النهاية، هذه أمور تقنية. وجوهر الأمر هنا يتمثل بالضبط فيما شرحناه توًا.
في الحقيقة، وبعد الانتهاء من ذلك كله، علينا الحديث لبضع دقائق أخرى عن نتيجة إضافية رائعة، ليست متضمنة فيما ذكرناه. وهذا هو الجزء الأكثر إثارة في البرهان كله. كما ترى، يمكننا تعميم المناقشة ككل. استرجع لحظة تحديدنا الحقيقة الأساسية الأولى، حيث رأينا أنك لا تتمكن فقط من وضع البحار في منتصف المسافة تمامًا بين فنارين، بل أيضًا في أي جزء 𝑓 من المسافة بين فنارين متجاورين. في هذا الوضع الأكثر تعميمًا، لم يكن حاصل ضرب المسافات بالنسبة للبحار اثنين بالضرورة. بل كان الوتر لـ 𝑓، حيث 𝑓 هو الجزء من المسافة بين الفنارين.
وإذا فكرنا بنفس الطريقة كما فعلنا توًا مع البحار عند هذا الموقع بدلًا من ذاك ولم نغير أي شيء آخر، فسنجد أن نسبة حاصل ضرب المسافات بالنسبة للحارس إلى حاصل ضرب المسافات بالنسبة للبحار هو 𝑁 في المسافة بينهما مقسومًا على الوتر لـ 𝑓، وهو يقترب من 𝑓 في اثنين 𝜋 مقسومًا على الوتر لـ 𝑓، مع زيادة 𝑁. وبنفس الطريقة التي اتبعناها من قبل، يمكنك حساب ذلك عن طريق التفكير في مساهمة كل فنار على حدة. لو حاولت حساب ذلك، فسيساهم الفنار رقم 𝑘 بعد الحارس بعامل 𝑘 مقسومًا على 𝑘 ناقص 𝑓 لهذه النسبة. وجميع الفنارات قبل الحارس تساهم بنفس الشيء. لكنك تعوض عن 𝑘 بقيم سالبة فقط.
وإذا جمعت كل هذه المساهمات على جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية 𝑘، حيث عليك توخي الحذر كما ذكرنا سابقًا فيما يخص طريقة جمع حدود 𝑘 الموجبة والسالبة معًا، فستجد أن حاصل ضرب 𝑘 مقسوم على 𝑘 ناقص 𝑓 على جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية 𝑘 يساوي 𝑓 في اثنين 𝜋 مقسومًا على الوتر لـ 𝑓. وبعبارة أخرى، بما أن الوتر لـ 𝑓 هو اثنان في sin 𝑓𝜋، فإن حاصل الضرب هذا يماثل 𝑓 في اثنين 𝜋 مقسومًا على اثنين في sine 𝑓𝜋، ما يساوي 𝑓𝜋 على sin 𝑓𝜋.
وبإعادة صياغة ذلك، فإنك تتوصل إلى حقيقة مثيرة حقًا. sin 𝑓 في 𝜋 يساوي 𝑓𝜋 في حاصل الضرب الضخم هذا، وهو حاصل ضرب واحد ناقص 𝑓 على 𝑘 على جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية 𝑘. إذن، فقد توصلنا إلى طريقة للتعبير عن sin 𝑥 باعتباره حاصل ضرب لا نهائي، وهو أمر مثير جدًا. هذا البرهان إذن لا يعطينا فقط جداء واليس، الذي هو أمر رائع في حد ذاته، بل يمكن أيضًا تعميمه لنحصل منه على صيغة الضرب للجيب. والطريف في هذا الأمر أنه يرتبط بالطريقة التي حل بها أويلر في البداية معضلة بازل، عن طريق عملية الجمع التي رأيناها في الفيديو السابق. فقد كان ينظر إلى حاصل الضرب اللانهائي هذا المتعلق بالجيب. وما أعنيه هو أن الربط بين هذه الصيغ لحساب قيمة 𝜋 وبين الدوائر أمر جيد، لكن ربطها ببعضها أمر أكثر روعة بكثير.
