فيديو الدرس: مدور المصفوفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مدور المصفوفة ونحدد المصفوفات المتماثلة وشبه المتماثلة.

لقد طور العديد من المفاهيم التي درسناها في علم الجبر الخطي في القرن السابع عشر، على الرغم من أنه يمكن تتبع بدايات المصفوفات والمحددات إلى القرن الثاني قبل الميلاد. وينسب إلى ليبنيز على وجه التحديد تقديم محدد المصفوفة في أوروبا، في حين وضع جاوس الشكل المنهجي للحد في أوائل القرن التاسع عشر. ومع ذلك، لم يضع كيلي مفهوم مدور المصفوفة إلا في عام ١٨٥٨.

هيا نلق نظرة على تعريف مدور المصفوفة. سنفترض أن لدينا المصفوفة ﺃ، ويعطى فيها عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ بالصيغة ﺃﺹﻉ. يمكننا بعد ذلك تعريف مدور ﺃ، الذي يعبر عنه بالحرف ﺃ وفوقه مد، باستخدام عناصر ﺃ. هذه المرة، مدور ﺃ يحتوي على عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ الذي يعطى بالصيغة ﺃﻉﺹ. قد يبدو هذا التعريف معقدًا للغاية، ولكن يمكننا تبسيطه قليلًا. سنفترض أن لدينا مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين تحتوي على العناصر ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول هو ﺃ واحد واحد، وهو ما يساوي ﺃ. والعنصر في الصف الأول والعمود الثاني ﺃ واحد اثنان هو ﺏ. ‏ﺃ اثنان واحد هو ﺟ، وﺃ اثنان اثنان يساوي ﺩ.

لإيجاد العناصر المناظرة في مدور المصفوفة ﺃ، فإننا نبدل قيمتي ﺹ وﻉ. هذا يعني أن ﺃ واحدًا واحدًا، العنصر في الصف الأول والعمود الأول، لا يزال ﺃ واحدًا واحدًا. لذا يظل ﺃ في مكانه. لكن عندما نبدل قيمتي ﺹ وﻉ، نجد أن العنصر ﺃ واحدًا اثنين يصبح العنصر ﺃ اثنين واحدًا في مدور المصفوفة. وهذا يعني أننا نضع ﺏ في الصف الثاني والعمود الأول. بالاستمرار بهذه الطريقة، يصبح العنصر ﺃ اثنان واحد هو العنصر ﺃ واحدًا اثنين. إذن، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني هو ﺟ. وأخيرًا، العنصر ﺃ اثنان اثنان يظل على هذه الصورة، إذن ﺩ يظل في الموضع نفسه.

نلاحظ هنا أن عناصر القطر الرئيسي تظل كما هي. لكن إذا نظرنا إلى العناصر الأخرى، فسنجد أنها انعكست أو انقلبت حول هذا القطر. وفي الواقع، نجد أننا نحصل على مدور المصفوفة من خلال تبديل الصفوف والأعمدة. وهذا يعني أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ، فإن مدورها لا بد أن يكون مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻡ. لاحظ أيضًا أنه على الرغم من أننا رأينا كيفية سير عملية تدوير المصفوفة المربعة، فإن جميع المصفوفات لها مدورها بغض النظر عن عدد الصفوف أو الأعمدة التي تحتوي عليها.

سنبدأ بتناول مثال سنوجد فيه مدور مصفوفة مستطيلة.

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب اثنين، ستة، سالب ستة، واحدًا، ثمانية، أربعة، فأوجد مدور ﺃ.

حسنًا، تذكر أنه لإيجاد مدور المصفوفة، فإننا نبدل الصفوف والأعمدة. وهذا يعني أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ، أي بعبارة أخرى تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة، فإن مدور ﺃ هو مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻡ؛ أي أنها تحتوي على عدد ﻥ من الصفوف وعدد ﻡ من الأعمدة. نلاحظ أن المصفوفة ﺃ في الحالة لدينا تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة؛ أي أنها مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة. هذا يعني أن مدور ﺃ سيكون مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين. بعبارة أخرى، ستحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين.

لتحديد عناصر مدور ﺃ، دعونا نبدأ بالنظر إلى الصف الأول من ﺃ. إنه يحتوي على العناصر سالب اثنين، ستة، سالب ستة. ونحن نعلم أن الصف الأول من ﺃ سيكون العمود الأول في مدور ﺃ. ومن ثم، سيبدو العمود الأول من مدور ﺃ هكذا. سنتناول الآن الصف الثاني من ﺃ. إنه يحتوي على العناصر واحد، ثمانية، أربعة. ونحن نعلم أن الصف الثاني من ﺃ سيصبح العمود الثاني في مدور ﺃ. لذا سنضع العناصر واحدًا، ثمانية، أربعة هنا. يمكننا الآن ملاحظة أن مدور المصفوفة الذي حصلنا عليه هو بالفعل مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين.

إذن، مدور ﺃ هو المصفوفة التي عناصرها سالب اثنين، واحد، ستة، ثمانية، سالب ستة، أربعة.

في المثال الثاني، سنتناول كيفية تكوين مدور مصفوفة بمعلومية صيغة المصفوفة الأصلية.

إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين؛ حيث ﺃﺹﻉ يساوي ثلاثة ﺹ زائد خمسة ﻉ زائد تسعة، فأوجد المصفوفة ﺃ مد.

حسنًا، علمنا من المعطيات أن المصفوفة ﺃ هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين، ومطلوب منا إيجاد مدورها. وهو ممثل بحرف ﺃ وفوقه مد. كما أن لدينا في المعطيات صيغة ستمكننا من إيجاد كل عنصر في المصفوفة الأصلية. وعليه، فإن هناك طريقتان للإجابة عن السؤال. يمكننا استخدام هذه الصيغة لتكوين المصفوفة ﺃ ثم إيجاد مدورها بتبديل الصفوف والأعمدة. أو بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام تعريف مدور المصفوفة، وسنستخدم الطريقة الثانية هنا.

سنفترض أن ﺃ هي مصفوفة يكون عنصرها في الصف ﺹ والعمود ﻉ معرفًا بواسطة ﺃﺹﻉ. هذا يعني أن مدور هذه المصفوفة سيكون معرفًا باستخدام عناصر الصف ﺹ والعمود ﻉ بواسطة الصيغة ﺃﻉﺹ. لقد علمنا من المعطيات أن المصفوفة ﺃ هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين، ومن ثم فهي تحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين. وبما أن عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ معرف بواسطة ﺃﺹﻉ، فإن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول هو ﺃ واحد واحد. والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني هو ﺃ واحد اثنان، وهكذا.

والآن بعد أن عرفنا المصفوفة ﺃ، دعونا نعرف مدور المصفوفة ﺃ. بما أن عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ معرف بواسطة ﺃﻉﺹ، فإن العنصر في الصف الأول والعمود الأول لا يزال ﺃ واحدًا واحدًا. أما العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني، فسيحدد بواسطة ﺃ اثنين واحد. والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث هو ﺃ ثلاثة واحد. ونجد بعد ذلك أن الصف الثاني يحتوي على العناصر ﺃ واحد اثنين، وﺃ اثنين اثنين، وﺃ ثلاثة اثنين.

وللتوضيح، يمكننا التحقق مرة أخرى بالتأكد من أن الصفوف والأعمدة قد بدلت. يحتوي الصف الأول في المصفوفة ﺃ على العنصرين ﺃ واحد واحد وﺃ واحد اثنين. ينقل هذان العنصران إلى العمود الأول في مدور ﺃ. وبالمثل، يحتوي الصف الثاني على العنصرين ﺃ اثنين واحد وﺃ اثنين اثنين، اللذين ينقلان إلى العمود الثاني في مدور المصفوفة. وأخيرًا، ينقل الصف الثالث إلى العمود الثالث في مدور المصفوفة.

دعونا الآن نحسب العنصر ﺃ واحد واحد باستخدام الصيغة. سنعوض بـ ﺹ يساوي واحدًا وﻉ يساوي واحدًا في الصيغة المعطاة. ونحصل بذلك على ثلاثة في واحد زائد خمسة في واحد زائد تسعة، وهو ما يساوي ١٧. إذن، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في مدور المصفوفة هو ١٧.

سنعوض بعد ذلك بـ ﺹ يساوي اثنين وﻉ يساوي واحدًا. هذا يعطينا ﺃ اثنين واحد يساوي ثلاثة في اثنين زائد خمسة في واحد زائد تسعة. وهذا يساوي ٢٠. إذن العنصر الثاني في الصف الأول هو ٢٠. دعونا نكرر ذلك مرة أخرى للعنصر ﺃ ثلاثة واحد؛ حيث سنعوض بـ ﺹ يساوي ثلاثة وﻉ يساوي واحدًا. هذا يعطينا ثلاثة في ثلاثة زائد خمسة في واحد زائد تسعة، وهو ما يساوي ٢٣. بتكرار هذه العملية مع بقية العناصر، نجد أن العنصر ﺃ واحدًا اثنين، أي العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول، يساوي ٢٢. العنصر الثاني في هذا الصف هو ٢٥، والثالث هو ٢٨.

وبذلك نكون قد أوجدنا مدور المصفوفة ﺃ. إنه المصفوفة التي رتبتها اثنان في ثلاثة وعناصرها هي ١٧، ٢٠، ٢٣، ٢٢، ٢٥، ٢٨.

لقد أوضحنا الآن كيف نوجد مدور مصفوفة بمعلومية مصفوفة، وبمعلومية صيغة تعبر عن عناصر المصفوفة. في المثال التالي، سنتناول خاصية مهمة لمدور المصفوفة.

بمعلومية المصفوفة ﺃ التي عناصرها هي سالب ثمانية، أربعة، ثلاثة، أربعة، واحد، سالب واحد، أوجد مدور مدور المصفوفة ﺃ.

حسنًا، تذكر أنه إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ، فإن مدور ﺃ، الذي يعرف باستخدام مد بالأعلى، يمكن إيجاده عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة في المصفوفة ﺃ. وهذا يعني أنه إذا كانت المصفوفة ﺃ مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ، فإن مدور المصفوفة هو مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻡ. والمصفوفة ﺃ لدينا بها صفان وثلاثة أعمدة. إذن، فهي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة. هذا يعني أن مدورها هو مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين. بعبارة أخرى، تحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين. سنأخذ العناصر الموجودة في الصف الأول في المصفوفة ﺃ ونضعها في العمود الأول في مدور ﺃ.

وعليه، فإن العمود الأول يحتوي على العناصر سالب ثمانية، أربعة، ثلاثة. سنأخذ بعد ذلك العناصر الموجودة في الصف الثاني في ﺃ. وننقلها إلى العمود الثاني في مدور المصفوفة. ومن ثم، نجد أن هذا العمود يحتوي على العناصر أربعة، واحد، سالب واحد. والآن بعد أن أصبح لدينا مدور ﺃ، سنوجد مدور هذه المصفوفة الجديدة. بما أن مدور ﺃ هو مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين، فإن مدور هذه المصفوفة سيكون من الرتبة اثنين في ثلاثة مرة أخرى؛ أي سيحتوي على صفين وثلاثة أعمدة. سنأخذ العناصر الموجودة في الصف الأول ونضعها في العمود الأول. وبذلك، سيحتوي على العنصرين سالب ثمانية وأربعة.

سنأخذ بعد ذلك العناصر الموجودة في الصف الثاني ونضعها في العمود الثاني. ومن ثم، فإن العمود الثاني يحتوي على العنصرين أربعة وواحد. وأخيرًا، نأخذ العناصر الموجودة في الصف الثالث، ونضعها في العمود الثالث. وبذلك نكون قد أوجدنا مدور مدور ﺃ. إنه المصفوفة التي رتبتها اثنان في ثلاثة، وعناصرها هي سالب ثمانية، أربعة، ثلاثة، أربعة، واحد، سالب واحد.

حسنًا، إذا دققنا النظر، فسنجد أن مدور مدور المصفوفة هو في الواقع المصفوفة الأصلية. وهذا ينطبق على جميع المصفوفات. هذه الخاصية هي في الواقع الخاصية الأولى من بين العديد من الخواص التي تنطبق على مدور المصفوفة.

هيا نتناول المصفوفتين ﺃ وﺏ حيث يمكننا إجراء العمليات التالية. مدور مدور المصفوفة ﺃ هو ببساطة المصفوفة ﺃ. مدور المجموع أو الفرق بين ﺃ وﺏ يساوي المجموع أو الفرق بين مدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ. لأي ثابت ﻙ، مدور المصفوفة ﻙ في ﺃ يساوي ﻙ في مدور المصفوفة ﺃ. وأخيرًا، مدور المصفوفة ﺃ في ﺏ يساوي مدور المصفوفة ﺏ في مدور المصفوفة ﺃ.

ونستخدم أيضًا تعريف مدور المصفوفة في تعريفي المصفوفات المتماثلة وشبه المتماثلة، وكلاهما مفهومان مهمان في الجبر الخطي. يمكننا قول إن المصفوفة المربعة ﺃ متماثلة إذا كانت تساوي مدورها. على سبيل المثال، المصفوفة ﺃ التي تحتوي على العناصر واحد، اثنين، اثنين، ثلاثة هي مصفوفة متماثلة. وذلك لأن مدورها هو أيضًا المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها هي واحد، اثنان، اثنان، ثلاثة. إنهما متساويتان، إذن ﺃ مصفوفة متماثلة.

والتعريف التالي هو تعريف المصفوفة شبه المتماثلة. إننا نقول إن المصفوفة المربعة ﺃ مصفوفة شبه متماثلة إذا كان مدورها يساوي سالب ﺃ. في الواقع، في هذه الحالة، تكون عناصر القطر الرئيسي أصفارًا. على سبيل المثال، هذه المرة، سنفترض أن ﺃ هي المصفوفة المربعة التي عناصرها هي صفر، سالب أربعة، تسعة، أربعة، صفر، واحد، سالب تسعة، سالب واحد، صفر. والمدور هو المصفوفة التي عناصرها هي صفر، أربعة، سالب تسعة، سالب أربعة، صفر، سالب واحد، تسعة، واحد، صفر. وهذا بوضوح تام يساوي سالب ﺃ. إذا ضربنا كل عنصر من عناصر المصفوفة الأصلية في سالب واحد، فسنحصل على مدور المصفوفة ﺃ. إذن، المصفوفة ﺃ هنا هي مصفوفة شبه متماثلة.

في المثال الأخير، سنستخدم تعريف المصفوفة المتماثلة لإيجاد قيمة مجهولة.

أوجد قيمة ﺱ التي تجعل المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد، خمسة ﺱ ناقص ثلاثة، سالب ٤٣، سالب ثمانية؛ متماثلة.

حسنًا، تذكر أن المصفوفة المربعة ﺃ تكون متماثلة إذا كان مدورها يساوي المصفوفة الأصلية. يمكننا ملاحظة أن ﺃ مصفوفة مربعة؛ فهي من الرتبة اثنين في اثنين. وبذلك سنتمكن من تحديد قيمة ﺱ التي تجعل المصفوفة متماثلة من خلال إيجاد مدورها أولًا. ويمكننا إيجاد مدور المصفوفة بتبديل الصفوف والأعمدة. وبما أن ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، فإن مدورها سيكون أيضًا من الرتبة اثنين في اثنين.

يحتوي الصف الأول من المصفوفة ﺃ على العنصرين سالب واحد وخمسة ﺱ ناقص ثلاثة. إذن، هذا هو العمود الأول في مدور المصفوفة. والصف الثاني يحتوي على العنصرين سالب ٤٣ وسالب ثمانية. إذن، هذا هو العمود الثاني. والآن، علينا إيجاد قيمة ﺱ التي تجعل هاتين المصفوفتين متساويتين. وبالطبع لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن تتساوى أيضًا عناصر كل منهما. سنتناول بشكل خاص العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. في المصفوفة الأولى، هذا هو خمسة ﺱ ناقص ثلاثة. وفي مدور المصفوفة، هذا هو سالب ٤٣. وبما أن هذين متساويان، فسنكون معادلة ونحلها لإيجاد قيمة ﺱ.

جدير بالذكر أيضًا أنه إذا ساوينا بدلًا من ذلك بين العنصرين في الصف الثاني والعمود الأول، فسنحصل على نفس المعادلة. لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، دعونا نضف ثلاثة إلى كلا الطرفين. وبذلك يصبح لدينا خمسة ﺱ يساوي سالب ٤٠. سنقسم بعد ذلك كلا الطرفين على خمسة، ومن ثم فإن ﺱ يساوي سالب ثمانية. إذن، قيمة ﺱ التي تجعل المصفوفة ﺃ متماثلة هي سالب ثمانية.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي وردت في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه لإيجاد مدور المصفوفة، فإننا نبدل الصفوف والأعمدة. وعليه، إذا كان عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ في المصفوفة ﺃ هو ﺃﺹﻉ، فإن عنصر الصف ﺹ والعمود ﻉ في مدور المصفوفة ﺃ يعطى بواسطة ﺃﻉﺹ. تعلمنا أيضًا أن المصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ سيكون لها مدور من الرتبة ﻥ في ﻡ.

ورأينا أنه إذا كانت لدينا المصفوفتان ﺃ وﺏ، فإن العمليات التالية تكون ممكنة؛ مدور مدور المصفوفة ﺃ هو المصفوفة ﺃ. مدور المجموع أو الفرق بين ﺃ وﺏ يساوي المجموع أو الفرق بين مدور ﺃ ومدور ﺏ. لأي ثابت ﻙ، مدور المصفوفة ﻙ في ﺃ يساوي ﻙ في مدور المصفوفة ﺃ. ومدور حاصل ضرب ﺃ في ﺏ يساوي مدور ﺏ في مدور ﺃ.

وأخيرًا، تعلمنا أن المصفوفة المربعة تكون متماثلة إذا كان مدورها يساوي المصفوفة الأصلية. وتكون مصفوفة شبه متماثلة إذا كان مدورها يساوي سالب المصفوفة الأصلية.