نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المتباينات الخطية ذات الخطوة الواحدة باستخدام الضرب أو القسمة. المتباينة هي جملة رياضية تحتوي على إحدى العلامات التالية. أكبر من، أو أصغر من، أو أكبر من أو يساوي، أو أصغر من أو يساوي. تخبرنا هذه العلامات بأن أحد طرفي الجملة الرياضية أكبر من الطرف الآخر. في المعادلة، يكون الطرفان متساويين. وفي المتباينة، يكون أحد الطرفين أكبر من الآخر.
قد تحتوي المتباينة على متغير كهذا. ثلاثة في ﺱ أصغر من ١٥. ونريد هنا أن نعرف كيف يمكننا الحل لإيجاد المتغير المجهول. لاكتشاف ذلك، لنعد إلى الميزان الذي رأيناه في بداية هذا الفيديو.
إذا كان لدينا المتباينة: ثلاثة ﺱ أصغر من ١٥ على ميزان، فسيكون الطرف ثلاثة ﺱ أخف من الطرف ١٥. لدينا ثلاث قيم مجهولة أصغر من ١٥. وإذا كانت ثلاث قيم مجهولة أصغر من ١٥، فستكون قيمة واحدة مجهولة أصغر من ماذا؟
حسنًا، للحصول على قيمة واحدة مجهولة من ثلاث قيم مجهولة نقسم على ثلاثة. وكما هو الحال مع المعادلة، فإذا قسمنا طرفًا على ثلاثة، فعلينا قسمة الطرف الآخر على ثلاثة. ١٥ مقسوم على ثلاثة يساوي خمسة. إذن نقول إنه إذا كانت ثلاث قيم مجهولة أصغر من ١٥، فإن قيمة واحدة مجهولة يجب أن تكون أصغر من خمسة. وعلى هذا الميزان، يمكننا توضيح أن ١٥ يساوي ثلاث خمسات. وإذا حذفنا اثنين ﺱ وخمستين، فسيظل الميزان في الوضعية نفسها.
حسنًا، دعونا نعبر عما حدث رياضيًا. نقسم كلا الطرفين على ثلاثة. ثلاثة ﺱ مقسوم على ثلاثة يساوي ﺱ. و١٥ مقسوم على ثلاثة يساوي خمسة. وجدنا أن ﺱ أصغر من خمسة. وهذا يعني أننا حللنا المتباينة. حل المتباينة هو إيجاد قيم ﺱ التي تجعل المتباينة صحيحة، وهي عملية مشابهة جدًا لحل المعادلات. لنلق نظرة على مثال آخر.
حل المتباينة الآتية. سالب اثنين أكبر من أو يساوي ﺱ على ٠٫٨. في هذه المتباينة، على اليمين، لدينا سالب اثنين. ويجب أن تكون هذه القيمة أكبر من أو تساوي ﺱ على ٠٫٨. هناك طريقة أخرى لتمثيل ذلك، وهي ﺱ مقسومًا على ٠٫٨.
هدفنا هنا هو حل هذه المتباينة. علينا إيجاد القيمة أو القيم التي تجعل المتباينة صحيحة. وللقيام بذلك، علينا عزل ﺱ. ولأن لدينا على اليسار ﺱ مقسومًا على قيمة ما، فسنحتاج إلى المقلوب لجعل ﺱ في طرف بمفرده. أي سنحتاج إلى إجراء العكس. وعكس القسمة على ٠٫٨ هو الضرب في ٠٫٨. وإذا ضربنا الطرف الأيسر في ٠٫٨، فعلينا أيضًا ضرب الطرف الأيمن في ٠٫٨. ٠٫٨ في سالب اثنين يساوي سالب ١٫٦.
وﺱ مقسومًا على ٠٫٨ مضروبًا في ٠٫٨ يساوي ﺱ في واحد. القسمة على ٠٫٨ والضرب في ٠٫٨ يساوي واحدًا. وﺱ في واحد يساوي ﺱ. ثم نكتب علامة المتباينة في الأسفل. وسنرى أن سالب ١٫٦ أكبر من أو يساوي ﺱ.
وبالرغم من ذلك، هذه ليست هي الطريقة الشائعة لكتابة المتباينات. إذا أردنا قلب المتباينة، يمكننا وضع ﺱ في الطرف الأيمن. لكن للقيام بذلك، علينا أن نعكس العلامة. وهناك طريقة للتأكد من صحة ذلك، وهي التحقق مما إذا كان رأس العلامة يشير إلى الطرف نفسه. كان يشير إلى ﺱ. لذا، يجب أن يظل مشيرًا إلى ﺱ. ثم نكتب سالب ١٫٦ بالأسفل. من الصحيح تمامًا أن نقول: سالب ١٫٦ أكبر من أو يساوي ﺱ. لكن الصورة الأكثر شيوعًا هي: ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ١٫٦.
في المثالين السابقين، استخدمنا بالفعل قواعد الضرب والقسمة للمتباينات. لكن في هذه المرحلة، قد يكون من المفيد كتابتها لكي نرى ما يحدث. تظل المتباينة صحيحة عند ضرب كلا طرفيها في العدد الموجب نفسه أو قسمتهما عليه.
في المثالين السابقين اللذين رأيناهما، كنا نقسم كلا طرفي المتباينة على عدد موجب أو نضربهما فيه. فإذا قلنا إن ﺃ أصغر من ﺏ، وﺟ أكبر من صفر، أي إذا كان ﺟ عددًا موجبًا، فإن ﺃ في ﺟ يظل أصغر من ﺏ في ﺟ. ويظل ﺃ على ﺟ أصغر من ﺏ على ﺟ. وعلى ميزان كهذا، إذا كان ﺃ أصغر من ﺏ، فإن ﺃ في ﺟ سيكون أصغر من ﺏ في ﺟ. وﺃ على ﺟ سيكون أصغر من ﺏ على ﺟ.
تذكر أن شرط ذلك هو أن يكون ﺟ عددًا موجبًا. فكيف يمكننا الضرب في عدد سالب؟ لا يمكن تمثيل ضرب عدد ما في عدد سالب أو قسمته عليه باستخدام الميزان، لأنه ليس هناك أوزان سالبة. لذا، فلكي نمثل متباينة يتطلب حلها أن نضرب في عدد سالب أو نقسم عليه، فسنستخدم خط الأعداد.
لنر المتباينة: ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين. على خط الأعداد، يمكن تمثيل ذلك بدائرة مصمتة فوق العدد اثنين، وسهم يشير إلى اليمين. قد تكون قيمة ﺱ اثنين، أو أي قيمة أكبر من اثنين. والآن ما معكوس ﺱ هنا؟ إنه سالب ﺱ. إذن ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين، ومعكوس ﺱ هو سالب ﺱ. ونحن نعلم أيضًا أن معكوس العدد يقع على خط الأعداد على المسافة نفسها من الصفر، لكن على الجانب الآخر. ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين يبدأ من وحدتين على يمين الصفر. ومعكوسه سيبدأ من وحدتين على يسار الصفر. وسيشير سهم المعكوس إلى اليسار. المعكوسات هي انعكاس لبعضها بعض على خط الأعداد.
كيف يمكننا إذن كتابة هذه المتباينة الموضحة باللون البرتقالي؟ يجب أن تكون ﺱ أصغر من أو يساوي سالب اثنين. دعونا نلق نظرة على ما يحدث للمتباينات عند القيام بذلك.
لإيجاد معكوس ﺱ، ضربناه في سالب واحد. ولأننا ضربنا أحد طرفي المتباينة في سالب واحد، فعلنا الأمر نفسه مع الطرف الآخر. وقمنا بخطوة إضافية هنا. كان علينا عكس اتجاه علامة المتباينة. من هنا، وصلنا إلى هذه القاعدة. عند ضرب كلا طرفي متباينة في العدد السالب نفسه أو قسمتهما عليه، فسيكون علينا تغيير اتجاه علامة المتباينة لكي تظل صحيحة. أي في حالة أن ﺃ أصغر من ﺏ، وﺟ يساوي سالب القيمة المطلقة لـ ﺟ. وهذه مجرد طريقة لقول إن قيمة ﺟ سالبة. عندئذ، سنجد أن ﺃ مضروبًا في تلك القيمة السالبة سيكون أكبر من ﺏ مضروبًا في تلك القيمة السالبة. العلامة تغيرت. وينطبق الأمر نفسه على عملية القسمة. هيا نر مثالًا على هذا النوع.
أي من المتباينات التالية يكافئ: سالب أربعة ﺱ أصغر من أو يساوي سالب واحد؟ (أ) ﺱ يساوي ربعًا. أم (ب) ﺱ أكبر من أو يساوي ربعًا. أم (ج) ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة. أم (د) ﺱ أصغر من أو يساوي ربعًا. أم (هـ) ﺱ أصغر من ربع.
المتباينة التي لدينا هي: سالب أربعة ﺱ أصغر من أو يساوي سالب واحد. ونحن نريد إعادة ترتيب هذه المتباينة؛ بحيث يكون ﺱ في الطرف الأيمن بمفرده. الآن، ﺱ مضروب في سالب أربعة. لجعل ﺱ في طرف بمفرده علينا إجراء العملية العكسية. سنحتاج إلى القسمة على سالب أربعة. لكن إذا فعلنا ذلك في الطرف الأيمن فسيكون علينا القيام بالمثل في الطرف الأيسر.
والآن، يجب أن نتذكر هنا أننا نقسم على عدد سالب، ونتعامل مع متباينات. هذا يعني أنه لكي تظل هذه المتباينة صحيحة، فعلينا أن نعكس اتجاه العلامة. سالب أربعة ﺱ مقسومًا على سالب أربعة يساوي ﺱ. وسالب واحد مقسومًا على سالب أربعة يساوي ربعًا. وهذا يعني أن المتباينة المكافئة ستكون: ﺱ أكبر من أو يساوي ربعًا؛ وهو الخيار ب.
يمكننا أن نتحقق مما إذا كان هذا صحيحًا. لقد ذكرنا أن ﺱ يمكن أن يكون أي قيمة أكبر من أو تساوي ربعًا. ونحن نعلم أن واحدًا أكبر من أو يساوي ربعًا. إذن، إذا رجعنا إلى المتباينة الأصلية، سالب أربعة ﺱ أصغر من أو يساوي سالب واحد، وعوضنا بواحد، يفترض أن نحصل على عبارة صحيحة. هل سالب أربعة أصغر من سالب واحد؟ نعم، هذا صحيح، وذلك يعني أن الواحد حل صحيح لـ ﺱ.
عند التعامل مع المتباينات أنصحك بالتحقق من الحلول، فماذا إن نسيت عكس اتجاه العلامة؟ إذا نسيت ذلك، فستحصل على: ﺱ أصغر من أو يساوي ربعًا. وإذا فعلت ذلك، فربما اخترت قيمة مثل سالب واحد للتحقق من الحل. سالب واحد أصغر من ربع. لكن عند التعويض بذلك، ستجد أن سالب أربعة في سالب واحد يساوي موجب أربعة. وموجب أربعة ليس أصغر من سالب واحد، وهو ما سيخبرك بأنك فعلت شيئًا خطأ. وعليك العودة للتحقق من ذلك. في هذه الحالة، يجب أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ربعًا، وهو الخيار ب.
إليك مثالًا آخر مشابهًا.
أعد كتابة: ﺱ على ستة أصغر من سالب اثنين؛ ليكون ﺱ بمفرده في الطرف الأيمن من المتباينة.
لدينا هنا: ﺱ على ستة أصغر من سالب اثنين. قبل المتابعة يجدر بنا التفكير في كيفية ضرب المتباينات وقسمتها. عندما نضرب في أعداد موجبة أو نقسم عليها تظل العلامات كما هي. ونجري العملية نفسها على كلا الطرفين. عندما نضرب في أعداد سالبة أو نقسم عليها فإننا نعكس اتجاه العلامة. ونضرب كلا الطرفين في القيمة نفسها أو نقسمهما عليها.
إننا نحاول جعل ﺱ في الطرف الأيمن بمفرده. ولدينا الآن في الطرف الأيمن ﺱ مقسومًا على ستة. وللتخلص من قسمة ﺱ على ستة علينا الضرب في ستة. العدد ستة قيمة موجبة، وهو ما يعني أننا لن نغير اتجاه العلامة. لكن يظل علينا ضرب كلا الطرفين في القيمة نفسها. ﺱ مقسومًا على ستة مضروبًا في ستة يساوي ﺱ. وسالب اثنين مضروبًا في ستة يساوي سالب ١٢. وبذلك، نجد أن ﺱ أصغر من سالب ١٢.
إذا أردنا تمثيل ذلك على خط الأعداد فسنضع دائرة مفرغة. وسيشير السهم إلى اليسار. وإذا أردنا التحقق من صحة ذلك يمكننا التعويض بقيمة أصغر من سالب ١٢ في المتباينة الأصلية. سأختار سالب ١٨. أعلم أن سالب ١٨ أصغر من سالب ١٢، وهو يقبل القسمة على ستة. سالب ١٨ مقسومًا على ستة يساوي سالب ثلاثة. وبالفعل، سالب ثلاثة أصغر من سالب اثنين، وهو ما يؤكد أن ﺱ أصغر من سالب ١٢.
في هذا المثال سيكون علينا أولًا كتابة المتباينة قبل حلها.
اكتب متباينة تمثل ما يلي، ثم حلها. سالب خمسة أمثال عدد ما يساوي على الأقل سالب ٤٥.
لنبدأ بكتابة المتباينة. لدينا سالب خمسة مضروبًا في عدد ما، سنعبر عنه بالمتغير ﺱ، يساوي على الأقل سالب ٤٥. إننا نعرف أنه سيكون لدينا سالب ٤٥ في الطرف الآخر. لكن ما العلامة التي تعبر عن عبارة «على الأقل»؟
علينا أن نفكر فيما إذا كان ذلك يعني أكبر من، أو يساوي، أو أصغر من. عبارة «على الأقل» تعني أنه قد يساوي ذلك العدد، ولكن يجب ألا يكون أصغر منه. وأيضًا، عبارة «على الأقل» قد تعني أنه أكبر منه. إذن، إنها تعني يساوي أو أكبر من. ويمكننا التعبير عن ذلك رياضيًا بعلامة أكبر من أو يساوي. إذا كان سالب خمسة مضروبًا في عدد ما يساوي على الأقل سالب ٤٥، فهذا يعني أن سالب خمسة ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ٤٥.
هذا هو الجزء الأول من المسألة، وعلينا الآن محاولة إيجاد قيمة ﺱ. ولأننا نتعامل مع متباينة فعلينا أن نتذكر أنه إذا ضربنا في قيم موجبة أو قسمنا عليها، فستظل العلامة كما هي. لكن إذا ضربنا في عدد سالب أو قسمنا عليه فعلينا عكس اتجاه العلامة. ﺱ مضروب في سالب خمسة. ولعزل ﺱ بمفرده وإيجاد قيمته علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على سالب خمسة. ونظرًا لأننا نقسم على عدد سالب هنا فعلينا عكس اتجاه علامة المتباينة. سالب خمسة ﺱ مقسومًا على سالب خمسة يساوي ﺱ. عكسنا اتجاه العلامة. وسالب ٤٥ مقسومًا على سالب خمسة يساوي تسعة. سالب خمسة ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ٤٥. وهذا يعني أن ﺱ أصغر من أو يساوي تسعة.
في هذا المثال ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. دعونا نر كيف يؤثر ذلك على الحل.
إذا كان ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية فأوجد مجموعة حل المتباينة: سالب ﺱ أكبر من سالب ١٣٢.
إننا نتذكر أن هذا الرمز الذي يشبه حرف ﻁ يعني الأعداد الطبيعية، وهي الأعداد الصحيحة الموجبة. إذا كان ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية إذن لا يمكن أن يكون عددًا سالبًا ولا كسرًا. يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا. إذا كان سالب ﺱ أكبر من سالب ١٣٢ فكيف يمكننا إيجاد قيمة ﺱ؟
إذا ضربنا سالب ﺱ في سالب واحد فسنحصل على ﺱ. لكن إذا كنا سنجري عمليات ضرب أو قسمة للمتباينات، فعلينا أن نتذكر أنه عند الضرب في أعداد سالبة أو القسمة عليها، يجب عكس اتجاه العلامة. هذا يعني أن علينا ضرب كلا طرفي المتباينة في سالب واحد. سالب ١٣٢ في سالب واحد يساوي ١٣٢. ثم سنعكس اتجاه علامة المتباينة.
الآن لدينا ما يقول إن ﺱ أصغر من ١٣٢. لكننا نعرف أيضًا أن ﺱ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. لذلك فهذا يعني أولًا أن علينا استخدام رمز المجموعة؛ الأقواس المتعرجة. ثانيًا، لا يهمنا إلا الأعداد الصحيحة الأقل من ١٣٢. فقيمة ﺱ لا يمكن أن تكون سالبة، ولا يمكن أن تكون كسرًا.
أصغر قيمة محتملة لـ ﺱ هي صفر. يمكن إذن أن تكون: واحدًا، اثنين، ثلاثة، وهكذا. يمكننا استخدام نقاط حذف للتعبير عن ذلك. وأعلى قيمة محتملة لـ ﺱ هي ١٣١. علينا أن نكون حذرين هنا. لأن وجود ١٣٢ هنا لا يعني أن قيمة ﺱ يمكن أن تساوي ١٣٢. فقيمة ﺱ يجب أن تكون أقل من ذلك. إذن أكبر عدد صحيح أصغر من ١٣٢ هو ١٣١. وبناء على ذلك، فقيمة ﺱ قد تكون أي عدد صحيح موجب بين صفر و١٣١.
يمكننا تلخيص ما تعلمناه في نقطتين رئيسيتين. تكون المتباينة صحيحة عند ضرب كلا طرفيها في العدد الموجب نفسه، أو قسمتهما عليه. والعكس يحدث عند ضرب طرفي المتباينة في العدد السالب نفسه، أو قسمتهما عليه. حيث يتوجب علينا عكس اتجاه علامة المتباينة لكي تظل المتباينة صحيحة.
