نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتدرب على تحديد المتغيرات العشوائية المتقطعة، واستخدام دوال وجداول التوزيع الاحتمالي لها.
دعونا نبدأ بتناول ما يعنيه مصطلح المتغير العشوائي المتقطع. «متغير» يعني أنه كمية يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة. «عشوائي» يعني أن القيمة المأخوذة تتحدد حسب ناتج حدث أو تجربة عشوائية. أو يمكننا القول إن الأمر يعتمد على عنصر الصدفة. الجزء الأساسي هنا هو كلمة متقطع، التي تعني أنه يمكن فقط أخذ مجموعة محدودة من قيم معينة. نسمي مجموعة القيم هذه مدى متغير عشوائي متقطع. على سبيل المثال، عدد الوجوه التي لاحظناها عند إلقاء عملتين معدنيتين سيكون مثالًا على متغير عشوائي متقطع. وقد يكون مداها هو مجموعة القيم: صفر وواحد واثنين، حيث يمكن أن يكون لدينا صفر من الوجوه أو وجه واحد أو وجهان. هذه مجموعة من القيم المحدودة أو المعدودة، لذا ﺱ، عدد الوجوه عند إلقاء عملتين معدنيتين، هو متغير عشوائي متقطع.
لنتناول الآن ما نعنيه بدالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع، ولنفترض أن لدينا متغيرًا عشوائيًّا متقطعًا ﺱ، مداه مجموعة قيم ﺱ واحد وﺱ اثنين، حتى ﺱﻥ. والآن، من المهم أن نشير هنا إلى الاصطلاح المتعارف عليه الذي نتبعه. نستخدم الأحرف الرقعة لتمثيل المتغير نفسه. ونستخدم الأحرف النسخ لتمثيل القيم في مداه. والآن، افترض أيضًا أن لدينا دالة ﺩ؛ حيث ﺩﺱﺭ تساوي احتمال أن المتغير العشوائي ﺱ يساوي القيمة ﺱﺭ لقيم ﺭ التي تساوي واحدًا واثنين، وصولًا إلى ﻥ. وتلك القيم هي جميع قيم ﺱﺭ في مدى المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. إذن، هذه الدالة ﺩ هي ما نطلق عليها دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ.
من الشائع جدًّا تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي في جدول تكون فيه القيم في المدى المعطى موضحة في الصف الأول وقيم دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ معطاة في الصف الثاني. بعبارة أبسط، يمكننا ببساطة التفكير في دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع على أنها كل مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالاتها المناظرة. إحدى خواص التوزيع الاحتمالي المهمة هي أنه بما أن المتغير العشوائي المتقطع يمكن أن يأخذ فقط القيم التي تقع في مداه ولا يأخذ أي قيم أخرى، فلا بد لمجموع كل احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي أن يساوي واحدًا.
ومثال على دالة التوزيع الاحتمالي، لنفترض أننا نتناول هذا القرص الدوار. يمكننا أن نفترض أن ﺱ هو المتغير العشوائي المتقطع الذي يمثله العدد الذي حصلنا عليه عند تدوير القرص. هذا القرص الدوار له ثمانية أجزاء متساوية، ثلاثة منها تحمل العدد واحدًا، وجزء منها يحمل العدد اثنين، وجزءان يحملان العدد ثلاثة، وآخر جزأين يحملان العدد أربعة. هذا يعني أن مدى المتغير العشوائي المتقطع ﺱ هو مجموعة القيم واحد واثنين وثلاثة وأربعة؛ حيث إن هذه القيم هي القيم الوحيدة التي يمكن أن يتخذها ﺱ.
يمكننا كتابة دالة التوزيع الاحتمالي لهذا المتغير العشوائي المتقطع، الذي يأخذ، كما نتذكر، القيم التي تقع في مدى الصف الأول والاحتمالات المناظرة في الصف الثاني. والقيم في المدى، كما سبق أن قلنا، هي واحد واثنان وثلاثة وأربعة. يحتوي القرص الدوار على ثمانية أجزاء متساوية، إذن جميع الاحتمالات ستكون كسورًا مقاماتها ثمانية. ثلاثة أجزاء تحمل العدد واحدًا، وجزء يحمل العدد اثنين، وجزءان يحمل كل منهما العددين ثلاثة وأربعة. يمكن تبسيط احتمالي ثلاثة وأربعة، أي الثمنين، إلى ربع إذا أردنا.
وهكذا كتبنا دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ. لدينا مجموعة القيم كلها في مداها في الصف العلوي والاحتمالات المناظرة في الصف الثاني. لاحظ أن مجموع كل الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي يساوي واحدًا بالفعل. هذه الخاصية الأساسية لدوال التوزيع الاحتمالي مفيدة عند تحديد إذا ما كانت دالة ما تمثل دالة توزيع احتمالي كما سنرى في المثال التالي.
هل يمكن اعتبار الدالة في الجدول المعطى دالة توزيع احتمالي؟
الآن، يبدو أن ما لدينا هنا بالتأكيد قد يكون دالة توزيع احتمالي. في الصف العلوي من الجدول، لدينا مجموعة من القيم المعدودة، والتي يمكن أن تكون مدى متغير عشوائي متقطع. وفي الصف السفلي، لدينا بعض القيم العشرية، التي يمكن أن تكون الاحتمالات المرتبطة بها. ولكي نتحقق مما إذا كان هذا يمكن أن يمثل بالفعل دالة توزيع احتمالي، علينا النظر إلى الاحتمالات عن قرب. وعلينا أن نتذكر أن مجموع كل الاحتمالات في دالة توزيع احتمالي لا بد أن يساوي واحدًا.
بالنظر إلى الصف الثاني من الجدول، وفي الواقع، بالنظر أولًا إلى القيم في منتصف الجدول، يمكننا أن نلاحظ أن مجموع هاتين القيمتين، ٠٫٤٣ و٠٫٦٩، يمثل قيمة أكبر من واحد. وبالطبع، إذا جمعنا القيم الأربع كلها، فسنحصل على قيمة أكبر هي ١٫٦٥. هذا يعني أن هذه الدالة لا يمكن أن تكون دالة توزيع احتمالي، حيث إنه إذا أخذ أي متغير عشوائي متقطع القيم صفرًا وواحدًا وأربعة وخمسة مع هذه الاحتمالات المرتبطة بها، فسيكون له إجمالي احتمال أكبر من واحد، وهو أمر مستحيل. إذن، الإجابة هي لا.
لنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى حساب احتمال ناقص في توزيع احتمالي.
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع يمكن أن تكون قيمه اثنين وستة وسبعة وثمانية. إذا كان الاحتمال ﺱ يساوي اثنين يساوي الاحتمال ﺱ يساوي ستة يساوي ثلاثة على ٢٢، والاحتمال ﺱ يساوي سبعة يساوي أربعة على ١١، فأوجد الاحتمال ﺱ يساوي ثمانية. اكتب إجابتك في صورة كسر.
دعونا نبدأ بتمثيل المعلومات المعطاة بصيغة مختلفة قليلًا. يمكننا استخدام جدول لعرض دالة التوزيع الاحتمالي. في الصف العلوي، سيكون لدينا القيم الأربع في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع، وهي اثنان وستة وسبعة وثمانية. في الصف الثاني، سنضع الاحتمالات المعطاة: ثلاثة على ٢٢ لكل من اثنين وستة، وأربعة على ١١ لسبعة. ينقصنا أحد الاحتمالات: احتمال ﺱ يساوي ثمانية. وهذه هي القيمة المطلوب منا إيجادها.
لفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن مجموع كل الاحتمالات في دالة توزيع احتمالي لا بد أن يساوي واحدًا لأن المتغير العشوائي المتقطع يمكن أن يأخذ قيمًا في مداه فقط. يمكننا إذن تكوين معادلة ثم التعويض بالاحتمالات الثلاثة المعطاة في السؤال. بالتفكير في أربعة على ١١ على صورة الكسر المكافئ ثمانية على ٢٢، نحصل على المعادلة ١٤ على ٢٢ زائد احتمال ﺱ يساوي ثمانية يساوي واحدًا. بطرح ١٤ على ٢٢ من كلا الطرفين ثم تبسيط ١٤ على ٢٢ إلى سبعة على ١١، نحصل على الاحتمال ﺱ يساوي ثمانية يساوي واحدًا ناقص سبعة على ١١، وهو ما يساوي أربعة على ١١.
إذن، باستخدام حقيقة أن مجموع الاحتمالات كلها في دالة توزيع احتمالي لا بد أن يساوي واحدًا، نكون قد أوجدنا الاحتمال الناقص. احتمال أن يكون ﺱ يساوي ثمانية هو أربعة على ١١.
لنتناول الآن مثالًا مشابهًا ولكنه أكثر تعقيدًا، حيث يعبر جبريًّا عن جميع احتمالات التوزيع الاحتمالي.
الدالة الموضحة في الجدول التالي دالة احتمال المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. أوجد قيمة ﺃ.
لاحظ أن كل احتمال في دالة التوزيع الاحتمالي هذه معبر عنه بدلالة المتغير ﺃ المطلوب منا إيجاد قيمته. ولكي نفعل ذلك، علينا أن نتذكر الحقيقة الأساسية وهي أن مجموع كل الاحتمالات في دالة توزيع احتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. يمكننا إذن تكوين معادلة باستخدام القيم الأربع في الصف الثاني من الجدول. ثلاثة ﺃ زائد ثمانية ﺃ تربيع زائد أربعة ﺃ تربيع زائد ثمانية ﺃ يساوي واحدًا. نبسط ذلك إلى ١٢ﺃ تربيع زائد ١١ﺃ يساوي واحدًا. ثم بطرح واحد من كلا الطرفين، نحصل على المعادلة التربيعية ١٢ﺃ تربيع زائد ١١ﺃ ناقص واحد يساوي صفرًا.
يمكن حل هذه المعادلة بطرق مختلفة. لكن أسهل طريقة لحل هذه المعادلة التربيعية تحديدًا هي الحل بالتحليل. باستخدام قليل من التجربة والخطأ، أو ربما باستخدام التحليل بتجميع الحدود، نرى أن هذه المعادلة التربيعية تحلل على الصورة ١٢ﺃ ناقص واحد مضروبًا في ﺃ زائد واحد. ثم نتبع الطريقة المعتادة لحل معادلة تربيعية باستخدام التحليل. نجعل كل عامل بدوره يساوي صفرًا، ونحل المعادلة الخطية الناتجة، وبذلك نحصل على قيمتين لـ ﺃ: ﺃ يساوي واحدًا على ١٢وﺃ يساوي سالب واحد.
إذن، لدينا قيمتان ممكنتان لـ ﺃ، كلتاهما جذر فعلي لهذه المعادلة التربيعية. لكن لا توجد سوى قيمة منطقية واحدة فقط في سياق هذه المسألة. إذا نظرنا مرة أخرى إلى الجدول، فسنرى، على سبيل المثال، أن احتمال ﺱ يساوي صفرًا هو ثلاثة ﺃ. إذا استخدمنا القيمة واحد على ١٢، فسنحصل إذن على ثلاثة على ١٢ أو ربع. لكن إذا استخدمنا القيمة سالب واحد، فسنحصل على سالب ثلاثة. تذكر أن الاحتمالات يجب أن تكون دائمًا بين صفر وواحد؛ لذا لا يمكن أن يكون لدينا احتمال سالب ثلاثة. هذا يعني أن القيمة ﺃ يساوي سالب واحد، ورغم أنها حل صحيح للمعادلة التربيعية، لكنها ليست حلًّا صحيحًا في سياق هذه المسألة باعتبارها قيمة لـ ﺃ.
يمكننا التحقق من صحة هذه القيمة التي تساوي واحدًا على ١٢ بحساب جميع الاحتمالات. ثلاثة ﺃ يعطينا ثلاثة على ١٢، وهو ما يكافئ ٣٦ على ١٤٤. وبالطريقة نفسها، يمكننا إيجاد الاحتمالات في صورة كسور مقامها ١٠٠ لثمانية ﺃ تربيع وأربعة ﺃ تربيع وثمانية ﺃ. عندما نجمع هذه القيم الأربع معًا، نحصل بالفعل على ١٤٤ على ١٤٤ أو واحد، ومن ثم هذا يؤكد أن قيمة ﺃ صحيحة. إذن، قيمة ﺃ هي واحد على ١٢.
في هذا المثال، سلطنا الضوء على خاصية أساسية أخرى لدوال التوزيع الاحتمالي، وهي أن جميع الاحتمالات الفردية يجب أن تقع بين صفر وواحد. إذن سندرج ذلك في تعريف دالة التوزيع الاحتمالي عندما نعود إليه لاحقًا. لكن لنتناول بعد ذلك كيفية كتابة دالة توزيع احتمالي بأنفسنا من خلال وصف كلامي لمتغير عشوائي متقطع.
رتب فتيان وفتاتان حسب درجاتهم في أحد الامتحانات. افترض أنه لا توجد درجات متشابهة، وأن كل الترتيبات الممكنة متساوية على الأرجح. أوجد التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ﺱ الذي يعبر عن أعلى ترتيب حققته فتاة (مثل ﺱ يساوي اثنين إذا كان الطالب صاحب أعلى ترتيب فتى، والطالب صاحب ثاني ترتيب فتاة).
حسنًا، لدينا أربعة طلاب، وسيرتبون حسب درجاتهم في اختبار ما. علينا أن نبدأ بإدراج كل الطرق المختلفة التي يمكننا بها وضع هذين الفتيين وهاتين الفتاتين في المراكز الأربعة. والآن لاحظ أننا لا نهتم من تكون الفتاة أو الفتى في كل مركز، بل نهتم فقط بما إذا كان الشخص الذي في كل ترتيب فتى أو فتاة.
هيا نبدأ بوضع فتاة في المركز الأول. يمكننا بعد ذلك وضع الفتاة الأخرى في المركز الثاني، أو المركز الثالث، أو المركز الرابع. في كل مرة، لا بد أن يملأ الفتيان الفراغين المتبقيين. وإذا كان علينا، بدلًا من ذلك، وضع فتى في المركز الأول، إذن فبالطريقة نفسها، من الممكن أن يكون الفتى الثاني إما في المركز الثاني وإما في المركز الثالث وإما في المركز الرابع. وفي كل حالة، ستشغل الفتاتان المركزين المتبقيين. نلاحظ إذن أن لدينا ستة ترتيبات ممكنة لفتاتين وفتيين. تذكر أنه في كل مرة لا نهتم من يكون الفتى أو الفتاة. يخبرنا السؤال بأن جميع الترتيبات الممكنة متساوية الأرجحية، وهو ما يعني أن الاحتمال المرتبط بكل ترتيب من هذه الترتيبات يساوي سدسًا.
المتغير العشوائي المتقطع ﺱ الذي يعنينا هو أعلى ترتيب حققته فتاة. في كل حالة من الحالات الثلاث الأولى، توجد فتاة في المركز الأول، إذن قيمة ﺱ تساوي واحدًا. في الحالة الرابعة، تكون الفتاتان في المركزين الثالث والرابع؛ إذن، أعلى ترتيب حققته فتاة، أي قيمة ﺱ، هو ثلاثة. في الحالة الخامسة، تكون الفتاتان في المركزين الثاني والرابع، إذن أعلى ترتيب هو الثاني. وفي الحالة السادسة، حققت الفتاتان المركزين الثاني والثالث. أعلى ترتيب هو الثاني مرة أخرى. هذه القيم في العمود الأخير تعطينا مدى المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. وهو يأخذ القيم واحدًا أو اثنين أو ثلاثة.
علينا بعد ذلك إكمال الاحتمالات المرتبطة بها. تذكر أن القيمة واحدًا تظهر ثلاث مرات، إذن احتمالها الإجمالي يساوي ثلاثة في سدس. وهو ما يساوي ثلاثة أسداس، وهو ما يمكن تبسيطه إلى نصف. القيمة اثنان تظهر مرتين. إذن، احتمالها الإجمالي يساوي سدسين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلث. وأخيرًا، تظهر القيمة ثلاثة مرة واحدة فقط، ومن ثم فإن احتمالها يساوي سدسًا. وبذلك، نكون قد أوجدنا التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ﺱ. القيم في المدى هي واحد واثنان وثلاثة مع احتمالات مناظرة نصف وثلث وسدس.
في المثال الأخير، سنتناول باختصار كيفية الإجابة عن الأسئلة المطلوب منا فيها إيجاد احتمال أن يكون المتغير العشوائي المتقطع أكبر من أو أقل من قيمة محددة.
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم سالب اثنين واثنين وأربعة وخمسة. إذا كان احتمال ﺱ يساوي سالب اثنين يساوي ٠٫١٥، واحتمال ﺱ يساوي اثنين يساوي ٠٫٤٣، واحتمال ﺱ يساوي أربعة هو ٠٫٢٥، فأوجد قيمة احتمال ﺱ أكبر من اثنين.
في هذا السؤال، ليس مطلوبًا منا تحديد احتمال أن يساوي المتغير العشوائي قيمة معينة، وإنما احتمال أن يكون أكبر من قيمة معطاة. قد يبدو هذا محيرًا قليلًا في البداية، لكن العامل الأساسي الذي علينا تذكره هو أن المتغير العشوائي المتقطع يمكن أن يأخذ القيم التي في مداه فقط وليس أي قيم أخرى. دعونا نبدأ بتمثيل المعلومات في السؤال باستخدام الجدول. لدينا القيم الموجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الصف العلوي والاحتمالات المناظرة لها في الصف الثاني.
الآن، لدينا احتمال ناقص، وهو احتمال أن يكون ﺱ يساوي خمسة، لكننا سنهتم بذلك لاحقًا إذا لزم الأمر. نريد إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من اثنين. والآن، تذكر أن المتغير العشوائي المتقطع يمكن أن يأخذ القيم التي في مداه فقط. ولكي يكون ﺱ أكبر من اثنين فقط، فهذا يعني أنه يجب أن يأخذ إما القيمة أربعة وإما القيمة خمسة. لا توجد أي قيم أخرى يمكن أن يأخذها. إذن، احتمال ﺱ أكبر من اثنين يساوي مجموع احتمال ﺱ يساوي أربعة، واحتمال ﺱ يساوي خمسة.
تذكر الآن أننا لا نعرف احتمال ﺱ يساوي خمسة، لكن يمكننا حسابه بسهولة بتذكر أن مجموع كل احتمالات التوزيع لا بد أن يساوي واحدًا. ولكن بدلًا من ذلك، قد يكون من الأسهل نوعًا ما أن نتذكر أن احتمال ﺱ أكبر من اثنين يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺱ أصغر من أو يساوي اثنين. لذا، بدلًا من ذلك، يمكننا ببساطة طرح احتمالات ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي اثنين من واحد، واحد ناقص ٠٫١٥ و٠٫٤٣، وهو ما يساوي ٠٫٤٢. النقطة الأساسية التي علينا أن نتذكرها هنا هي أن المتغير العشوائي المتقطع يمكن أن يأخذ القيم التي تقع في مداه فقط. إذا طلب منا إيجاد احتمال تراكمي مثلما فعلنا هنا، فعلينا فقط التفكير في أي القيم الموجودة في المدى تحقق ذلك.
هيا نراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولها هذا الفيديو. المتغير العشوائي المتقطع هو كمية تحدد قيمتها بالصدفة، ويمكن أن يأخذ فقط عددًا معدودًا أو محدودًا من القيم، وهو ما نسميه مداه. دالة التوزيع الاحتمالي ﺩ لمتغير عشوائي متقطع هي قائمة أو جدول يحتوي على جميع القيم في المدى، بالإضافة إلى احتمالاتها المناظرة. لدالة التوزيع الاحتمالي خاصيتان أساسيتان. أولًا، كما هو الحال مع جميع الاحتمالات، لا بد أن يقع كل احتمال بين صفر وواحد. وثانيًا، مجموع أو إجمالي كل الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. رأينا من خلال الأمثلة كيف يمكننا كتابة دالة توزيع احتمالي، وكيف يمكننا استخدام هذه الخواص لحساب القيم أو الاحتمالات الناقصة.
