تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الضرب القياسي والمتجهات المتعامدة في الفراغ

سوزان فائق

يوضح الفيديو الضرب القياسي والمتجهات المتعامدة في الفراغ، وكيفية إيجاد الزاوية بين متجهين في الفراغ.

٠٧:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الضرب القياسي، والمتجهات المتعامدة في الفراغ. هنعرف إزّاي نستخدم الضرب القياسي في الفراغ، لتحديد المتجهات المتعامدة. وإزّاي هنوجد الزاوية بين متجهين في الفراغ.

إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين في الفراغ، بيشبه إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين في المستوى. ويتعامد متجهان غير صفريين في الفراغ، إذا، وإذا فقط، حاصل ضربهما القياسي بيساوي صفر.

يعني لو عندنا متجهين أ وَ ب. وكان الصورة بتاعتهم بالشكل، اللي هو أ في اتجاه الـ س، وَ أ في اتجاه الـ ص، وَ أ في اتجاه الـ ع؛ ده للمتجه أ. والمتجه ب؛ ب في اتجاه الـ س، والـ ب في اتجاه الـ ص، وَ ب في اتجاه الـ ع؛ ده للمتجه ب. فإن الضرب القياسي للـ أ في الـ ب، هيساوي … المركبة الأولى في المتجه الأول، هنضربها في المركبة الأولى في المتجه التاني. ونجمعها على المركبة التانية في المتجه الأول، مع المركبة التانية في المتجه التاني. وهنجمعها على المركبة التالتة في المتجه الأول، في المركبة التالتة في المتجه التاني.

ويبقى هو ده الضرب القياسي لمتجهين موجودين في الفراغ. لأن الفراغ يعني معناه إن فيه محور تالت معانا، اللي هو الـ ع. بيكون المتجهين دول متعامدين إذا، وإذا فقط، أ ضرب قياسي ب بيساوي الصفر. «إذا وإذا فقط» يعني معناها لمّا هنضرب الـ أ ضرب قياسي الـ ب طلع صفر، يبقى هم متعامدين. أو العكس؛ إن لو قلنا إن متجهين متعامدين، يبقى معناها إن أ ضرب قياسي ب، هيساوي صفر.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. اوجد الضرب القياسي للمتجهين أ وَ ب. ثم حدّد ما إذا كان متعامدين. أول واحدة المتجه أ بيساوي سالب سبعة، وتلاتة، وسالب تلاتة. والمتجه ب بيساوي خمسة، وسبعتاشر، وخمسة. الجزء التاني من السؤال، المتجه أ بيساوي تلاتة، وسالب تلاتة، وتلاتة. المتجه ب بيساوي أربعة، وسبعة، وتلاتة.

هناخد أول جزئية، اللي هو الـ أ هتبقى سالب سبعة، وتلاتة، وسالب تلاتة. والمتجه الـ ب هيبقى خمسة، وسبعتاشر، والخمسة. هنوجد الضرب القياسي لهم. يبقى أ ضرب قياسي الـ ب، هيساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب. هيساوي …

هنضرب المركبة الأولى في المركبة الأولى. اللي هي سالب سبعة، مضروبة في الخمسة. وهنجمع عليها التلاتة في السبعتاشر. زائد السالب تلاتة في الخمسة. يبقى هي دي قيمة الضرب القياسي للمتجه أ في ب. ولازم تطلع لنا كمية قياسية. اللي هي هتساوي سالب خمسة وتلاتين، زائد واحد وخمسين، زائد سالب خمستاشر. هتساوي واحد. يبقى أ ضرب قياسي ب، هيساوي واحد. هنا القيمة لا تساوي صفر. يبقى معنى كده إن هم متجهين غير متعامدين.

هنشوف الجزئية التانية. أ ضرب قياسي الـ ب هتساوي … التلاتة سالب تلاتة، تلاتة؛ ضرب قياسي الأربعة، والسبعة، والتلاتة. هيساوي المركبة الأولى في المركبة الأولى. زائد المركبة التانية في المركبة التانية. زائد المركبة التالتة في المركبة التالتة. هتساوي اتناشر، ناقص واحد وعشرين، زائد تسعة. هيساوي … هيساوي صفر. يبقى أ وَ ب متعامدان.

كده عرفنا إزّاي هنضرب متجهين في الفراغ ضرب قياسي. عايزين نعرف هنوجد الزاوية ما بينهم إزّاي. هنقلب الصفحة. يمكن حساب الزاوية بين المتجهين غير الصفريين في الفراغ، كما هو في المتجهات في المستوى. إذا كانت 𝜃 هي الزاوية بين متجهين غير صفريين أ وَ ب في الفراغ. فإن جتا 𝜃 هتساوي المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب، على معيار المتجه أ مضروب في معيار المتجه ب.

ناخد مثال. اوجد قياس الزاوية 𝜃 بين المتجه أ والمتجه ب. إذا كان المتجه أ بيساوي تلاتة، واتنين، وسالب واحد. والمتجه ب بيساوي سالب أربعة، وتلاتة، وسالب اتنين. إلى أقرب جزء من عشرة.

هنستخدم قانون حساب الزاوية، اللي هو جتا 𝜃، اللي هو هيساوي أ ضرب قياسي الـ ب. يبقى هنعوّض عن قيمة الـ أ والـ ب … تلاتة، واتنين، وسالب واحد؛ ضرب قياسي السالب أربعة، وتلاتة، وسالب اتنين. على معيار المتجه أ، مضروب في معيار المتجه ب.

هيساوي المركبة الأولى في المركبة الأولى، ونجمعها المركبة التانية في المركبة التانية، على المركبة التالتة في المركبة التالتة. على الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات، اللي هو تسعة زائد أربعة زائد الواحد؛ ده معيار المتجه أ. مضروب في معيار المتجه ب، اللي هو الجذر التربيعي لستاشر زائد تسعة زائد أربعة.

هيساوي سالب أربعة على؛ الجذر التربيعي للأربعتاشر، مضروبة للجذر التربيعي للتسعة وعشرين. باستخدام الدالة العكسية، يبقى الـ 𝜃 هتساوي الدالة العكسية للـ جتا سالب أربعة على؛ جذر التربيعي للأربعتاشر، والجذر التربيعي للتسعة وعشرين.

هيساوي تقريبًا مية واحد ونص درجة. يعني قياس الزاوية بين أ وَ ب، هو مية واحد ونص درجة تقريبًا. وعَ الرسم لو بصّينا عليها، هنلاقيها إنها فعلًا مية واحد ونص درجة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن الضرب القياسي للمتجهات في الفراغ. وإيه المتجهات المتعامدة هنعرفها إزّاي. وإزّاي هنوجد زاوية بين متجهين في الفراغ.