فيديو السؤال: إيجاد التعريف المتعدد للدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

اكتب التعريف المتعدد للدالة ﻕ الممثلة بيانيًّا على النحو الموضح.

في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني للدالة ﻕ. وعلينا استخدام هذا التمثيل البياني لإيجاد التعريف المتعدد لهذه الدالة. لفعل ذلك، نتذكر أن الدوال المتعددة التعريف هي دوال معرفة بعدة دوال جزئية على مجالات جزئية مختلفة. ويمكننا عادة ملاحظة المجالات الجزئية المختلفة للدالة بمجرد النظر إلى تمثيلها البياني. كل ما علينا فعله هو النظر إلى التمثيل البياني وملاحظة إذا ما كان يبدو وكأنه يتكون من عدة منحنيات مختلفة متصلة معًا. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن هناك خطًّا أفقيًّا على الجانب الأيسر من هذا التمثيل البياني. أما في منتصف التمثيل البياني، فلدينا قطع مكافئ. وأخيرًا، على الجانب الأيمن من هذا التمثيل البياني، يوجد خط مستقيم. هذا يعني أن الدالة ﻕ دالة متعددة التعريف تتكون من ثلاث دوال جزئية. ويمكننا إيجاد التعريف المتعدد للدالة ﻕ بإيجاد معادلة كل دالة من هذه الدوال الجزئية وتحديد المجال الجزئي لكل منها.

دعونا نبدأ بالدالة الجزئية الأولى. وهي الدالة التي يمثلها الخط المستقيم على اليسار. نلاحظ أن هذا خط مستقيم أفقي عند الإحداثي ﺹ الذي قيمته واحد. ونحن نعلم أن الخط الأفقي عند الإحداثي ﺹ الذي قيمته واحد هو الخط المستقيم ﺹ يساوي واحدًا. علينا الآن تحديد المجال الجزئي لهذه الدالة. بعبارة أخرى، علينا إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة ﻕﺱ تساوي واحدًا. ويمكننا فعل ذلك بالتفكير في قيمة الإحداثي ﺱ للنقاط التي تقع على هذا الخط الأفقي. بما أنه توجد دائرة مظللة عند طرف هذا الخط الأفقي، فهذا يعني أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، القيمة المخرجة للدالة ﻕ تساوي واحدًا. ونلاحظ أيضًا أن نفس الشيء ينطبق على أي قيمة لـ ﺱ أقل من أو تساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا قول إن الدالة ﻕﺱ تساوي واحدًا عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا. هكذا نكون أوجدنا الدالة الجزئية الأولى والمجال الجزئي الأول. ويمكننا كتابة ذلك في التعريف المتعدد للدالة ﻕﺱ. الدالة ﻕﺱ تساوي واحدًا عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا.

دعونا الآن ننتقل إلى الدالة الجزئية الثانية. وهي الدالة التي يأخذ منحناها شكل قطع مكافئ على التمثيل البياني. سنبدأ بإيجاد المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية. ويمكننا ملاحظة أنه يبدأ عند ﺱ يساوي واحدًا. لكن، علينا الانتباه هنا جيدًا؛ فهذا الجزء من التمثيل البياني يبدأ بدائرة مفرغة. وهذا يعني أن ﺱ يساوي واحدًا ليس ضمن هذا المجال الجزئي. والآن، دعونا نوجد الحد العلوي من هذا المجال الجزئي. يمكننا ملاحظة أن هذا الحد عند ﺱ يساوي أربعة؛ حيث إن هذا هو الحد الذي ينتهي عنده هذا الجزء من القطع المكافئ للمنحنى. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا الاختيار بين تضمين ﺱ يساوي أربعة في المجال الجزئي الثاني، أو تضمينه في المجال الجزئي الثالث. لكننا سنختار تضمينه في المجال الجزئي الثالث. وبهذا، يصبح لدينا المجال الجزئي واحد أقل من ﺱ وﺱ أقل من أربعة، أو ﺱ لا بد أن يقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى أربعة.

علينا الآن إيجاد معادلة هذا القطع المكافئ. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أن لدينا قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ بواسطة القطع المكافئ. لذا، سنكتب معادلة هذا القطع المكافئ على الصورة التحليلية. وهي ﻙ مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص ثلاثة. وبالطبع نلاحظ من التمثيل البياني أن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. هذا يعني أن قيمة ﻙ لا بد أن تكون موجبة. ويمكننا إيجاد قيمة ﻙ بتناول إحداثيات نقطة أخرى على المنحنى. على سبيل المثال، نلاحظ أن النقطة التي إحداثياتها أربعة، اثنان تقع على هذا القطع المكافئ.

ومن ثم، إذا عوضنا عن ﺱ بأربعة وعن ﺹ باثنين في معادلة القطع المكافئ، فلا بد أن تتحقق المعادلة لدينا. بعبارة أخرى، سيصبح لدينا اثنان يساوي ﻙ في أربعة ناقص اثنين مضروبًا في أربعة ناقص ثلاثة. وبحل هذه المعادلة، يمكننا إيجاد قيمة ﻙ. أربعة ناقص اثنين يساوي اثنين، وأربعة ناقص ثلاثة يساوي واحدًا. وهذا يعطينا اثنين يساوي اثنين ﻙ، وبقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ﻙ يساوي واحدًا. بعد ذلك، نعوض بـ ﻙ يساوي واحدًا لنحصل على المعادلة النهائية للمنحنى الذي يأخذ شكل قطع مكافئ في هذا التمثيل البياني. وبهذا، نكون أوجدنا الدالة الجزئية الثانية للدالة ﻕﺱ. ‏ﻕﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من واحد وأقل من أربعة.

سنكرر الآن نفس العملية لإيجاد الدالة الجزئية الثالثة والأخيرة. وسنبدأ بإيجاد المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية. تذكر أننا سنعتبر ﺱ يساوي أربعة ضمن هذا المجال الجزئي. ويمكننا ملاحظة أن الخط الذي يمثل هذه الدالة الجزئية مستمر إلى ما لا نهاية. هذا يعني أن جميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي أربعة تقع ضمن هذا المجال الجزئي، وهكذا، يكون المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية الثالثة هو جميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي أربعة. ويمكننا كتابة ذلك على صورة أربعة أقل من أو يساوي ﺱ.

علينا الآن إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم. ويمكننا فعل ذلك بعدة طرق مختلفة. لكننا سنستخدم صيغة الميل والنقطة للخط المستقيم. سنبدأ بملاحظة أن الخط المستقيم يمر بالنقطة أربعة، اثنين، وسنوجد ميله من التمثيل البياني. لكل وحدة نتحركها إلى اليمين، ينتقل الخط وحدة واحدة لأعلى. وهذا يعني أن ميل الخط المستقيم يساوي واحدًا.

نتذكر بعد ذلك، وفقًا لصيغة الميل والنقطة للخط المستقيم، أن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد وله الميل ﻡ هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. وقد علمنا أن هذا الخط المستقيم له ميل يساوي واحدًا، وأنه يمر بالنقطة التي إحداثياتها أربعة، اثنان. لذا، نعوض بهذه القيم في صيغة الميل والنقطة للخط المستقيم لتصبح لدينا المعادلة ﺹ ناقص اثنين يساوي واحدًا في ﺱ ناقص أربعة. وأخيرًا، نبسط هذه المعادلة ونعيد ترتيبها لنحصل على ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين. ‏ﺱ ناقص اثنين هي الدالة الجزئية الثالثة للدالة ﻕﺱ، وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن، لقد أوضحنا أن التعريف المتعدد للدالة ﻕ الممثلة بيانيًّا هو ﻕﺱ تساوي واحدًا عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا. وﻕﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من واحد وأقل من أربعة. وﻕﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة.