فيديو السؤال: إيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية تتضمن المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الحل العام للمعادلة ظتا ‏𝜋‏‎ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة.

سنبدأ بإعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة باستخدام معرفتنا بالمتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين. نتذكر أن ظا ‏𝜋‏‎ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. وعليه، فإن ظتا ‏𝜋‏‎ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي ظا 𝜃. هذا يعني أن ظا 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة. بعد ذلك، علينا أن نتذكر الزوايا الخاصة صفرًا، و‏𝜋‏‎ على ستة، و‏𝜋‏‎ على أربعة، و‏𝜋‏‎ على ثلاثة، و‏𝜋‏‎ على اثنين راديان، بالإضافة إلى قيم ظل كل زاوية من هذه الزوايا.

نلاحظ أن ظا ‏𝜋‏‎ على ستة راديان يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. لكن في هذه المعادلة، لدينا ظا 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة. ومن ثم، يمكننا رسم التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ظا 𝜃 لنتذكر تماثلها. برسم خطين أفقيين عند ﺹ يساوي واحدًا على جذر ثلاثة وﺹ يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة، يمكننا إيجاد حلول تحقق المعادلة. باستخدام تماثل المنحنى، نجد أن أحد حلول المعادلة ظا 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة يتحقق عند 𝜃 تساوي ‏𝜋‏‎ ناقص ‏𝜋‏‎ على ستة. ويبسط ذلك إلى خمسة ‏𝜋‏‎ على ستة.

أخيرًا، بما أن دالة الظل دورية وطول دورتها ‏𝜋‏‎ راديان، يمكننا إيجاد الحل العام للمعادلة. إذن، يمكننا القول إن الحل العام للمعادلة ظتا ‏𝜋‏‎ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة هو خمسة ‏𝜋‏‎ على ستة زائد ﻥ‏𝜋‏‎؛ حيث ﻥ عدد صحيح.