فيديو السؤال: حساب مساحة شكل مركب يتضمن مضلعات منتظمة الرياضيات

أوجد المساحة الكلية للمناطق المظللة في المضلعات المنتظمة الآتية، وقرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

١٠:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المساحة الكلية للمناطق المظللة في المضلعات المنتظمة الآتية، وقرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المساحة الكلية للمناطق المظللة الموضحة في الشكل التالي. ونحن نعلم أن جميع الأشكال الموجودة في هذا الشكل هي مضلعات منتظمة. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نلق نظرة على المناطق المظللة في الشكل. حسنًا، نظرًا لأن جميع الأشكال في الشكل لدينا هي مضلعات منتظمة، فإن أول ما يمكننا ملاحظته هو أن المناطق المظللة تقع كليًّا داخل شكل سداسي منتظم طول الضلع فيه هو ٣٩.

لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أن بعض المناطق ليست مظللة. على سبيل المثال، نلاحظ أن مساحة هذا المثلث ليست ضمن المناطق المظللة. ولأننا علمنا من المعطيات أن هذه المضلعات منتظمة ونلاحظ أيضًا أن طول أحد أضلاع هذا المثلث يساوي ٣٩، فإننا نعرف أن هذا مثلث متساوي الأضلاع طول الضلع فيه هو ٣٩. إذن، إذا أوجدنا مساحة الشكل السداسي المنتظم ثم طرحنا منه مساحة هذا المثلث المتساوي الأضلاع، فسنقترب من إيجاد مساحة المنطقة المظللة.

يمكننا أيضًا أن نلاحظ من الرسم أنه ما تزال لدينا مشكلة. هناك مساحة أخرى علينا طرحها. سنحتاج إلى طرح المساحة الواقعة بين المربع والشكل الخماسي. ومرة أخرى، هذان المضلعان منتظمان، ونحن نعلم أن طول الضلع في كل منهما يساوي ٣٩. باستخدام كل هذه المعطيات، نجد أن لدينا طريقتين مختلفتين لإيجاد المساحة الكلية للأجزاء المظللة.

الطريقة الأولى هي إيجاد مساحة الشكل السداسي المنتظم، ثم طرح مساحة الشكل الخماسي المنتظم منها، وإضافة مساحة المربع بعد ذلك، ثم طرح مساحة المثلث المتساوي الأضلاع. لكن قد يكون ذلك أسهل عند إجرائه في صورة خطوات. دعونا نبدأ بإيجاد مساحة المنطقة الخارجية. يمكننا حساب مساحة المنطقة المظللة الخارجية بإيجاد مساحة الشكل السداسي. وبعد ذلك، نطرح منها مساحة الشكل الخماسي.

باستخدام نفس المنطق، يمكننا إيجاد مساحة المنطقة الداخلية، وسنشير إليها بـ ﻡ واحد. لإيجاد مساحة المنطقة الداخلية ﻡ واحد، فإننا نحسب مساحة المربع ثم نطرح منها مساحة المثلث المتساوي الأضلاع. ولا يهم أي طريقة من هاتين الطريقتين تفضل استخدامها. كلتا الطريقتين ستعطي النتيجة نفسها. حسنًا، سنستخدم هنا الطريقة الثانية.

وسواء استخدمنا الطريقة الأولى أم الثانية، فأول ما علينا فعله هو إيجاد مساحات جميع المضلعات المنتظمة الأربعة التي لدينا. وعلى الرغم من أنه يمكننا القيام بذلك مباشرة باستخدام الهندسة، فإنه من الأسهل كثيرًا أن نسترجع صيغة لمساعدتنا في ذلك. إننا نعلم أن مساحة أي مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ وطول ضلعه ﺱ تعطى بواسطة ﻥﺱ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ على ﻥ درجة. إذن، سنبدأ باستخدام هذه الصيغة لإيجاد مساحة الشكل السداسي.

حسنًا، إننا نعلم أن الأشكال السداسية لها ستة أضلاع. إذن، قيمة ﻥ تساوي ستة. وفي الشكل لدينا، نلاحظ أن طول الضلع يساوي ٣٩. ومن ثم، فإن قيمة ﺱ تساوي ٣٩. إذن، بالتعويض بـ ﻥ يساوي ستة وﺱ يساوي ٣٩ في الصيغة لدينا، نجد أن مساحة الشكل السداسي تساوي ستة في ٣٩ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ على ستة درجة. ويمكن حساب قيمة هذا المقدار من دون استخدام الآلة الحاسبة؛ لأن ١٨٠ على ستة يساوي ٣٠. ونحن نعلم أن الضرب في ظل تمام زاوية ما يكافئ القسمة على ظل هذه الزاوية. ونعلم أن ظا ٣٠ درجة يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لثلاثة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه لا يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة للمساحة لجميع الأشكال لدينا دون استخدام الآلة الحاسبة. وسنستخدمها في هذا المثال. الأمر الوحيد الذي سنفعله هنا هو إعادة كتابة الصيغة. لذا بدلًا من الضرب في ظتا ٣٠ درجة، سنقسم على ظا ٣٠ درجة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ٣٩٥١٫٦٧٣ وهكذا مع توالي الأرقام.

وفي هذه المرحلة، قد نرغب في تقريب الإجابة. لكن من المهم للغاية ألا نقوم بالتقريب حتى نصل إلى نهاية حل المسألة، وإلا فقد نحصل على إجابة خطأ. لذا، من المهم أن نحفظ هذا العدد في ذاكرة الآلة الحاسبة، أو أن نتذكر المقدار الفعلي الذي استخدمناه لإيجاد هذه القيمة. ونظرًا لأن هذا العدد يمثل مساحة، فستكون وحدته وحدة مربعة. ولتوفير المساحة، لن نكتب هذا، لكن من المفيد دائمًا وضع هذا في الاعتبار.

والآن بعد أن أوجدنا مساحة الشكل السداسي، سنفعل الشيء نفسه لإيجاد مساحة الشكل الخماسي. من هذا الشكل، نعلم أن الشكل الخماسي لدينا هو شكل خماسي منتظم. ونعلم أن طول الضلع فيه يساوي ٣٩. إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي خمسة وﺱ يساوي ٣٩ في الصيغة لدينا. ونجد أن مساحة الشكل الخماسي تساوي خمسة في ٣٩ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ درجة على خمسة.

وسنحسب ذلك بالطريقة نفسها التي حسبنا بها سابقًا. ‏١٨٠ على خمسة يساوي ٣٦. وبدلًا من الضرب في ظتا ٣٦ درجة، سنقسم على ظا ٣٦ درجة. وهذا يعطينا خمسة في ٣٩ تربيع على أربعة في ظا ٣٦ درجة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ٢٦١٦٫٨٤٦ وحدة مربعة مع توالي الأرقام. ومرة أخرى، من المهم ألا نقوم بتقريب هذه القيمة لأننا يجب أن نقرب القيم في النهاية.

والآن بعد أن أوجدنا مساحة الشكل السداسي ومساحة الشكل الخماسي، يمكننا إيجاد مساحة المنطقة المظللة الخارجية التي أشرنا إليها بـ ﻡ اثنين. سنطرح مساحة الشكل الخماسي من مساحة الشكل السداسي. وباستخدام القيمتين الدقيقتين لمساحتي الشكل السداسي والشكل الخماسي، نجد أن ﻡ اثنين يساوي ١٣٣٤٫٨٢٧ وحدة مربعة مع توالي الأرقام.

سنتبع نفس العملية لإيجاد مساحة المنطقة الداخلية ﻡ واحد. قد نرغب في استخدام الصيغة لدينا لإيجاد مساحة المربع. لكننا نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول أحد أضلاعه. إذن، في الحالة لدينا، مساحة المربع تساوي ٣٩ تربيع. وعند حساب ذلك، نحصل على ١٥٢١ وحدة مربعة. ويمكننا استخدام الصيغة التي لدينا، وسنحصل على الإجابة الصحيحة. لكن هذه الطريقة أسهل.

حسنًا، إننا نريد الآن إيجاد مساحة المثلث الذي لدينا. هناك بعض الخيارات المختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، بما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، فهذا يعني أن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي ٦٠ درجة. إذن، يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث عن طريق إيجاد ارتفاعه باستخدام حساب المثلثات ثم ضرب نصف طول القاعدة في الارتفاع. لكن يمكننا أيضًا استخدام الصيغة التي لدينا. في هذه المسألة، سنستخدم الصيغة. قيمة ﻥ تساوي ثلاثة، وقيمة ﺱ تساوي ٣٩.

إذن، مساحة المثلث تساوي ثلاثة في ٣٩ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ على ثلاثة درجة. وسنحسب ذلك بالطريقة نفسها التي استخدمناها سابقًا. ‏١٨٠ على ثلاثة يساوي ٦٠ درجة. وبدلًا من الضرب في ظتا ٦٠ درجة، سنقسم على ظا ٦٠ درجة. ولأننا نعلم أن ظا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة، نجد أن هذه مساحة أخرى يمكننا إيجاد قيمتها الدقيقة. مساحة المثلث تساوي ثلاثة في ٣٩ تربيع على أربعة في ظا ٦٠ درجة. ويمكننا الحصول على القيمة الدقيقة لمساحة هذا المثلث. لكن هذا ليس ضروريًّا، بل سنكتبها في صورة عدد عشري. هذا العدد هو ٦٥٨٫٦١٢ وحدة مربعة مع توالي الأرقام.

يمكننا الآن إيجاد مساحة المنطقة المظللة الداخلية في الشكل. وهي تساوي مساحة المربع ناقص مساحة المثلث. وإذا حسبنا ذلك باستخدام القيم الدقيقة، فسنحصل على ٨٦٢٫٣٨٧ وحدة مربعة مع توالي الأرقام.

والآن، أصبحنا جاهزين أخيرًا لإيجاد المساحة الكلية للمناطق المظللة. وهي تساوي مجموع مساحة المنطقة الخارجية ومساحة المنطقة الداخلية؛ أي ﻡ اثنين زائد ﻡ واحد. ومرة أخرى، إذا حسبنا قيمة ذلك باستخدام القيم الدقيقة، فسنحصل على ٢١٩٧٫٢١٥ وحدة مربعة مع توالي الأرقام.

لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. وهذا يعني تقريب الإجابة لمنزلة عشرية واحدة. لذا، علينا تحديد إذا ما كان علينا التقريب لأعلى أم لأسفل. للقيام بذلك، علينا النظر إلى الخانة العشرية الثانية. ويوجد بها العدد واحد؛ أي عدد أقل من خمسة. إذن، سنقرب لأسفل. وهذا يعطينا الإجابة النهائية، وهي ٢١٩٧٫٢ وحدة مربعة.

في هذا السؤال، استطعنا استخدام الصيغة الخاصة بإيجاد مساحة المضلعات المنتظمة لإيجاد مساحة المناطق المظللة المعقدة الموضحة في الشكل. وبالتقريب لأقرب جزء من عشرة، تمكنا من التوصل إلى أن هذه المساحة تساوي ٢١٩٧٫٢ وحدة مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.