فيديو السؤال: حل مثلث باستخدام قاعدة الجيب الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث فيه طول الضلع ﺃ شرطة يساوي ١٣٫٨ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏ شرطة يساوي ١٥٫٩ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٢٨ درجة. أوجد جميع القيم الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى مقربًا الأطوال لأقرب منزلتين عشريتين والزوايا لأقرب ثانية.

نعلم أن إحدى طرق حساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الناقصة في المثلثات هي استخدام قاعدة الجيب أو قانون الجيب. ينص هذا القانون على أن ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ، الذي يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ، حيث الحروف تناظر الزوايا، والحروف المضاف لها شرطة تمثل أطوال الأضلاع المقابلة لهذه الزوايا. في هذا السؤال، نعرف من المعطيات أن طولي الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة يساويان ١٣٫٨ و ١٥٫٩ سنتيمترًا، على الترتيب. وهذا يعني أن علينا حساب طول الضلع ﺟ شرطة. وعلمنا أيضًا أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٢٨ درجة. وهذا يعني أن علينا حساب قياس الزاويتين ﺏ وﺟ.

سنبدأ بمحاولة حساب قياس الزاوية ﺏ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ١٣٫٨ على جا ٢٨ درجة يساوي ١٥٫٩ على جا الزاوية ﺏ. يمكننا إجراء الضرب التبادلي هنا بحيث يكون ١٣٫٨ في جا الزاوية ﺏ يساوي ١٥٫٩ في جا ٢٨ درجة. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ١٣٫٨. يمكننا بعد ذلك إيجاد دالة الجيب العكسية أو الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي هذه المعادلة. قياس الزاوية ﺏ يساوي ٣٢٫٧٤٥٨ وهكذا مع توالي الأرقام بالدرجات. علينا تقريب الزوايا إلى أقرب ثانية. باستخدام زر الدرجات والدقائق والثواني في الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٢ درجة، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية. وهذه قيمة ممكنة لقياس الزاوية ﺏ.

نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أن ٢٨ درجة زائد ٣٢ درجة، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية، زائد قياس الزاوية ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. بجمع قياسي الزاويتين ﺃ وﺏ، يمكننا بعد ذلك طرح ٦٠ درجة، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية من كلا طرفي المعادلة. إذن، قياس الزاوية ﺟ يساوي ١١٩ درجة، و١٥ دقيقة، و١٥ ثانية. إذن، عندما يساوي قياس الزاوية ﺏ ٣٢ درجة و ٤٤ دقيقة و ٤٥ ثانية، فإن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١١٩ درجة، و١٥ دقيقة، و١٥ ثانية.

يمكننا الآن استخدام قاعدة الجيب مرة أخرى لحساب طول الضلع ﺟ شرطة. ‏١٣٫٨ على جا ٢٨ درجة يساوي ﺟ شرطة مقسومًا على جا ١١٩ درجة، و١٥ دقيقة، و ١٥ ثانية. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي المعادلة في جا ١١٩ درجة، و ١٥ دقيقة، و١٥ ثانية. وهذا يعطينا قيمة ﺟ شرطة تساوي ٢٥٫٦٤٥٧ وهكذا مع توالي الأرقام. طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ٢٥٫٦٥ سنتيمترًا لأقرب منزلتين عشريتين. وهذا يعطينا مجموعة ممكنة من القيم لقياس الزاوية ﺏ، وقياس الزاوية ﺟ، وطول الضلع ﺟ شرطة.

قد نعتقد أن هذه هي نهاية هذا السؤال. لكن عند التعامل مع مسألة من هذا النوع، علينا تذكر مخطط قاعدة إشارات الدوال المثلثية. وهذا يخبرنا بأنه ستكون هناك زاويتان قياسهما بين صفر و١٨٠ درجة يعطي جيبهما نفس القيمة. يمكننا حساب هذه القيمة الثانية بطرح قياس الزاوية ﺏ الذي أوجدناه سابقًا من ١٨٠ درجة. وهذا يعطينا ١٤٧ درجة، و١٥ دقيقة، و١٥ ثانية. وهذه هي القيمة الممكنة الثانية لقياس الزاوية ﺏ.

يمكننا مرة أخرى النظر إلى أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. ‏٢٨ درجة زائد ١٤٧ درجة، و١٥ دقيقة، و ١٥ ثانية زائد الزاوية ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم يمكننا حساب قياس الزاوية ﺟ بطرح ١٧٥ درجة، و ١٥ دقيقة، و١٥ ثانية من ١٨٠ درجة. وهذا يعطينا أربع درجات، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية. إذن، عندما يساوي قياس الزاوية ﺏ ١٤٧ درجة، و١٥ دقيقة، و١٥ ثانية، فإن قياس الزاوية ﺟ يساوي أربع درجات، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية.

سنستخدم الآن قاعدة الجيب مرة أخرى لحساب القيمة المناظرة لطول الضلع ﺟ شرطة. ‏١٣٫٨ على جا ٢٨ درجة يساوي ﺟ شرطة على جا أربع درجات، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لحساب قيمة ﺟ شرطة. ‏ﺟ شرطة يساوي ٢٫٤٣١٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب ذلك إلى أقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٢٫٤٣ سنتيمتر.

لدينا مجموعتان ممكنتان من القيم لأطوال الأضلاع والزوايا الناقصة. تكون الزاوية ﺏ تساوي ٣٢ درجة، و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية؛ والزاوية ﺟ تساوي ١١٩ درجة، و١٥ دقيقة، و١٥ ثانية؛ وطول الضلع ﺟ شرطة يساوي ٢٥٫٦٥ سنتيمترًا. أو بدلًا من ذلك، يمكن للزاوية ﺏ أن تساوي ١٤٧ درجة، و ١٥ دقيقة، و١٥ ثانية؛ وللزاوية ﺟ أن تساوي أربع درجات و٤٤ دقيقة، و٤٥ ثانية؛ ولطول الضلع ﺟ شرطة أن يساوي ٢٫٤٣ سنتيمتر.