فيديو الدرس: أصفار الدوال الكثيرات الحدود الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد أصفار الدالة التربيعية أو التكعيبية أو كثيرة الحدود ذات الدرجات العليا. وهي القيم المدخلة لـ ﺱ التي تكون عندها ﺩﺱ مساوية لصفر.

إذا كانت ﺩﺃ تساوي صفرًا، فإننا نقول إن ﺃ صفر للدالة ﺩ أو جذر لها. لنتناول على سبيل المثال الدالة الخطية ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد واحد. ‏ﺩ لسالب واحد تساوي سالب واحد زائد واحد، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، سالب واحد هو صفر للدالة ﺩ أو جذر لها. يوجد بعض الطرق لإيجاد جذور الدالة. إذا كان لدينا التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ، فإن جذور ﺩ هي قيم ﺱ التي يقطع عندها المنحنى المحور ﺱ. في هذا المثال، يقطع المنحنى المحور ﺱ عند ﺱ يساوي سالب واحد، وﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي اثنين. من التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن ﺩ لسالب واحد تساوي صفرًا، وﺩ لصفر تساوي صفرًا، وﺩ لاثنين تساوي صفرًا. إذن، أصفار ﺩ أو جذورها هي: سالب واحد، وصفر، واثنان.

في ترميز المجموعة، يمكننا كتابة مجموعة أصفار ﺩ بين قوسين متعرجين؛ وهي: سالب واحد، وصفر، واثنان. بعض الدوال بالطبع ليس لها أي أصفار على الإطلاق، مثل الدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا. في هذه الدالة، كل قيمة مخرجة تساوي دائمًا واحدًا؛ لذا لن تعطي أي قيمة مدخلة مطلقًا قيمة مخرجة تساوي صفرًا.

إحدى الطرق الأخرى لإيجاد أصفار الدالة الكثيرة الحدود هي الطريقة الجبرية، من خلال التحليل. انظر، على سبيل المثال، إلى الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ستة. لإيجاد أصفار الدالة، نجعل هذا المقدار يساوي صفرًا. يمكن تحليل هذا المقدار بإيجاد العددين اللذين حاصل ضربهما يساوي ستة، ومجموعهما يساوي خمسة. وبالنظر، اثنان وثلاثة مجموعهما يساوي خمسة، وحاصل ضربهما يساوي ستة. ومن ثم، يمكننا تحليل هذا المقدار إلى مقدارين ذوي حدين: ﺱ زائد اثنين، وﺱ زائد ثلاثة.

لقد عبرنا الآن عن ﺩﺱ على صورة حاصل ضرب عاملين سنسميهما ﺃ وﺏ. إذا جعلنا ﺩﺱ تساوي صفرًا، فإن ﺃﺏ يساوي صفرًا. هذا يعني أن ﺃ أو ﺏ أو كليهما يجب أن يساوي صفرًا. ومن ثم، إذا كانت ﺩﺱ تساوي صفرًا، فـ ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. يمكن حل هاتين المعادلتين الخطيتين بسهولة لإيجاد قيمة ﺱ، وهو ما يعطينا: ﺱ يساوي سالب اثنين، وﺱ يساوي سالب ثلاثة. إذن، أصفار الدالة ﺩ هي: سالب اثنين، وسالب ثلاثة.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن بالطبع إيجاد جذور المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام أيضًا، وهذا يفيد خاصة إذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة. ويمكننا إيجاد أصفار الدوال الكثيرات الحدود ذات الدرجات العليا، مثل الدوال التكعيبية والدوال التي من الدرجة الرابعة، باستخدام الطريقة نفسها. لكن التحليل قد يتطلب مزيدًا من الخطوات.

لنتناول، على سبيل المثال، الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص أربعة. للوهلة الأولى، يبدو تحليل هذا المقدار صعبًا؛ لأن الحدود ليس بينها عامل مشترك. ولكن يمكن تحليل المقدار عن طريق تجميع الحدود. لاحظ أن ﺱ تكعيب يساوي ﺱ في ﺱ تربيع، وﺱ تربيع يساوي واحدًا في ﺱ تربيع. وبالمثل، أربعة ﺱ يساوي ﺱ في أربعة، وأربعة يساوي واحدًا في أربعة. يتضمن أول حدين على الترتيب العامل ﺱ وواحدًا. وبالمثل، يتضمن آخر حدين العامل ﺱ وواحدًا. العامل الآخر في أول حدين هو ﺱ تربيع، والعامل الآخر في آخر حدين هو أربعة. ومن ثم، يمكننا تحليل أول حدين بأخذ ﺱ تربيع عاملًا مشتركًا، وتحليل آخر حدين بأخذ أربعة عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا: ﺱ تربيع في ﺱ زائد واحد ناقص أربعة في ﺱ زائد واحد.

بما أننا اخترنا تحليل أول حدين وآخر حدين باستخدام هذا الحد المشترك ﺱ زائد واحد، فإنه يمكننا تحليل هذين الحدين مرة أخرى بالعامل المشترك ﺱ زائد واحد. هذا يعطينا: ﺱ تربيع ناقص أربعة في ﺱ زائد واحد. لاحظ أن أربعة عدد مربع. إذن، يمكن تحليل ﺱ تربيع ناقص أربعة نفسه مرة أخرى بسهولة باستخدام الفرق بين مربعين. هذا يعطينا: ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين في ﺱ زائد واحد. يتبقى لدينا الآن حاصل ضرب مقادير خطية ذات حدين. لذا لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك.

الآن حاصل ضرب ثلاثة حدود لدينا يساوي صفرًا. إذن، يجب أن يساوي أحد هذه الحدود على الأقل صفرًا. ومن ثم، فإن ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. إذن في ترميز المجموعة، أصفار ﺩ هي: سالب اثنين، وسالب واحد، واثنان.

دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة الكلامية لتطبيق هذه الطرق وتحديد أصفار الدوال الكثيرات الحدود، بدءًا بالدالة الخطية.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ثلثًا في ﺱ ناقص أربعة.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا، هذا يعني أن ثلثًا في ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. هذه معادلة خطية في ﺱ؛ لذا من السهل حلها دون تحليل. يمكننا البدء بضرب كلا الطرفين في ثلاثة، وهذا يعطينا: ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا. بإضافة أربعة إلى كلا الطرفين، نحصل على: ﺱ يساوي أربعة. إذن، مجموعة أصفار الدالة ﺩ هي: أربعة فقط.

في المثال الثاني، سنوجد أصفار دالة تربيعية باستخدام التحليل.

باستخدام التحليل، أوجد أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ لكي نوجد أصفار ﺩ. توجد عدة طرق لفعل ذلك، لكن السؤال يطلب منا إيجاد الأصفار باستخدام التحليل. لتحليل المقدار، علينا إيجاد عددين مجموعهما يساوي اثنين وحاصل ضربهما يساوي سالب ٣٥. إحدى الطرق السهلة لفعل ذلك هي كتابة أزواج عوامل العدد ٣٥. وهي: واحد و٣٥، وخمسة وسبعة. بالطبع ناتج جمع واحد و٣٥ أو ناتج طرحهما لن يساوي اثنين، لكن خمسة وسبعة سيحققان ذلك. هذان إذن العاملان اللذان نريدهما.

بما أن علينا الحصول على سالب ٣٥، فإنه يجب أن يكون أحد هذين العددين سالبًا والآخر موجبًا. إذا أخذنا سالب خمسة وموجب سبعة، فإن مجموعهما سيساوي اثنين. وعليه، يمكننا تحليل هذا المقدار لنحصل على: ﺱ ناقص خمسة في ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا. بما أن لدينا حاصل ضرب حدين يساوي صفرًا، فإنه يجب أن يساوي أحد الحدين على الأقل صفرًا. إذن إما أن ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا وإما أن ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا. يمكننا حل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة ﺱ بإضافة خمسة إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا: ﺱ يساوي خمسة، وحل المعادلة الثانية بطرح سبعة من كلا الطرفين، وهو ما يعطينا: ﺱ يساوي سالب سبعة. ومن ثم، فإن مجموعة أصفار الدالة هي: سالب سبعة، وخمسة.

تجدر الإشارة إلى أنه في حالة الدوال الكثيرات الحدود الأكثر تعقيدًا، يمكننا دائمًا التحقق من صحة هذه القيم عن طريق التعويض بها مرة أخرى في معادلة الدالة الأصلية، وتوضيح أن القيمة الناتجة تساوي صفرًا بالفعل. بفعل ذلك مع القيمة الأولى، سالب سبعة، نحصل على: سالب سبعة تربيع زائد اثنين في سالب سبعة ناقص ٣٥، وهو ما يساوي ٤٩ ناقص ١٤ ناقص ٣٥، وهو ما يعطينا صفرًا بالفعل. بفعل الشيء نفسه مع القيمة الثانية، ﺩ لخمسة تساوي خمسة تربيع زائد اثنين في خمسة ناقص ٣٥، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. إذن، هاتان القيمتان هما بالفعل صفران للدالة ﺩ. نعلم أيضًا أنهما الصفران الوحيدان لها؛ لأن الدالة التربيعية لا يمكن أن يكون لها أكثر من صفرين.

في المثال التالي، سنوجد جذور معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي واحدًا باستخدام التحليل أيضًا.

أوجد بالتحليل أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص ٤٠.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أن تسعة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص ٤٠ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ لكي نوجد أصفار ﺩ.

يطلب منا السؤال إيجاد الأصفار بالتحليل. لكن لدينا هنا مشكلة بسيطة؛ وهي أن الدالة الكثيرة الحدود معاملها الرئيسي لا يساوي واحدًا. لذا سيكون علينا أيضًا اختيار المعاملات الصحيحة للحدين المشتملين على ﺱ في العوامل. لتحليل معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي واحدًا، يمكننا استخدام طريقة تجميع الحدود. علينا إيجاد زوج عوامل ﺃﺟ مجموعه يساوي ﺏ؛ حيث ﺃ معامل ﺱ تربيع، وﺏ معامل ﺱ، وﺟ المعامل الثابت. بحساب حاصل الضرب، نجد أن ﺃﺟ يساوي تسعة في سالب ٤٠، وهو ما يساوي سالب ٣٦٠. وبالطبع، ﺏ يساوي تسعة فقط. إذن، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي سالب ٣٦٠، ومجموعهما يساوي تسعة.

بما أن حاصل ضرب العددين يساوي عددًا سالبًا، يجب أن يكون أحدهما سالبًا والآخر موجبًا. أول عددين مجموعهما تسعة يمكننا التفكير فيهما هما سالب واحد و١٠. لكن من الواضح أن هذين العددين أقل بكثير من أن يكون حاصل ضربهما يساوي سالب ٣٦٠. لإيجاد أي عددين آخرين مجموعهما يساوي تسعة، يمكننا طرح واحد من العدد السالب وإضافة واحد إلى العدد الموجب. يمكننا تخطي بعض الأعداد لنصل مثلًا إلى سالب ١١ و٢٠. هذان العددان حاصل ضربهما يساوي سالب ٢٢٠. إذن، لم نصل بعد إلى العددين. إذا تابعنا بهذه الطريقة، فسنجد في النهاية أن سالب ١٥ وموجب ٢٤ مجموعهما يساوي تسعة، وحاصل ضربهما يساوي سالب ٣٦٠.

ربما تكون إحدى الطرق الأسرع لفعل ذلك هي كتابة جميع أزواج عوامل العدد ٣٦٠، واختيار الزوج الذي يتضمن عددًا سالبًا يساوي ناتج جمعه مع العدد الآخر تسعة. لكن في هذه الحالة، العدد ٣٦٠ يقبل القسمة على أعداد كثيرة. لذا قد يستغرق ذلك وقتًا طويلًا. بعد أن أصبح لدينا الآن زوج العوامل، يمكننا إعادة كتابة الحد تسعة ﺱ الأصلي في المعادلة على الصورة: سالب ١٥ﺱ زائد ٢٤ﺱ. تضمن طريقة تجميع الحدود أن لدينا الآن العامل المشترك نفسه بين أول حدين وآخر حدين؛ وهو في هذه الحالة: ثلاثة ﺱ ناقص خمسة. يمكننا إعادة كتابة المقدار الموجود في الطرف الأيمن على الصورة: ثلاثة ﺱ في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة زائد ثمانية في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة. هذا العامل نفسه، ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، مشترك أيضًا بين هذين الحدين. إذن، يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار مرة أخرى على الصورة: ثلاثة ﺱ زائد ثمانية في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة.

لدينا الآن حاصل ضرب مقدارين خطيين ذوي حدين في ﺱ، وليس بينهما أي عوامل مشتركة أخرى. لذا لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك. لدينا حاصل ضرب حدين يساوي صفرًا. ومن ثم، يجب أن يساوي أحد الحدين على الأقل صفرًا. هذا يعني أنه إما أن ثلاثة ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا، وإما أن ثلاثة ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. يمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺱ في المعادلة الأولى بطرح ثمانية والقسمة على ثلاثة، وهو ما يعطينا: ﺱ يساوي سالب ثمانية على ثلاثة. ويمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺱ في المعادلة الثانية بإضافة خمسة والقسمة على ثلاثة، وهو ما يعطينا: ﺱ يساوي خمسة على ثلاثة. إذن، مجموعة أصفار الدالة ﺩ هي: سالب ثمانية على ثلاثة، وخمسة على ثلاثة.

يمكننا التحقق من أن هذه بالفعل أصفار ﺩ بالتعويض بالقيمتين في الدالة الكثيرة الحدود الأصلية. ‏ﺩ لسالب ثمانية على ثلاثة تساوي تسعة في سالب ثمانية على ثلاثة الكل تربيع زائد تسعة في سالب ثمانية على ثلاثة ناقص ٤٠، وهذا يساوي تسعة في ٦٤ على تسعة زائد سالب ٧٢ على ثلاثة ناقص ٤٠، وهو ما يساوي ٦٤ ناقص ٢٤ ناقص ٤٠، وهذا يساوي صفرًا بالفعل. وبالمثل، يمكننا حساب ﺩ لخمسة على ثلاثة، وهذا يبسط في النهاية إلى: ٢٥ زائد ١٥ ناقص ٤٠ ؛ وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. إذن، هاتان القيمتان هما بالفعل صفرا ﺩ. وبما أن ﺩ دالة تربيعية، فإننا نعلم أنه لا يمكن أن يكون لها أي أصفار أخرى.

في الأمثلة المتبقية، سنوجد أصفار كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة أو أعلى.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ أس أربعة زائد ٢٢٥ﺱ تربيع.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أن سالب تسعة ﺱ أس أربعة زائد ٢٢٥ﺱ تربيع يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ لكي نوجد أصفار ﺩ. سنجرب التحليل أولًا. لاحظ أنه من الواضح أن لدينا العامل المشترك ﺱ تربيع في جميع الحدود في الطرف الأيمن. يمكننا أيضًا النظر إلى المعاملات لمعرفة إذا ما كان لدينا عامل مشترك. العدد تسعة يقبل القسمة على واحد، وثلاثة، وعلى نفسه. بالبدء بأكبر قاسم، وهو تسعة، هل ٢٢٥ يقبل القسمة على تسعة؟ الإجابة هي نعم. تسعة في ٢٥ يساوي ٢٢٥. إذن لدينا أيضًا العامل المشترك تسعة، وكذلك ﺱ تربيع. ومن ثم، يمكننا تحليل هذا المقدار بأخذ تسعة ﺱ تربيع عاملًا مشتركًا. وبذلك يصبح لدينا داخل القوسين سالب ﺱ تربيع زائد ٢٥.

علينا الآن معرفة إذا ما كان بإمكاننا تحليل هذا المقدار أكثر من ذلك. داخل القوسين، لدينا العدد ٢٥ وسالب ﺱ تربيع. ‏٢٥ عدد مربع؛ فهو خمسة تربيع، ومن ثم لدينا فرق بين مربعين. تذكر أنه إذا كان لدينا فرق بين مربعين، ﺃ تربيع وﺏ تربيع، يمكننا تحليله باستخدام حاصل ضرب ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم، يمكننا تحليل الطرف الأيمن مرة أخرى لنحصل على: تسعة ﺱ تربيع في خمسة ناقص ﺱ في خمسة زائد ﺱ. وبذلك يكون لدينا حاصل ضرب مقدارين خطيين ذوي حدين في ﺱ، ووحيدة حد في ﺱ تربيع. لذا لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك.

بما أن حاصل ضرب ثلاثة حدود لدينا يساوي صفرًا، يجب أن يكون أحد هذه الحدود على الأقل يساوي صفرًا. إذن، إما أن تسعة ﺱ تربيع يساوي صفرًا، وإما أن خمسة ناقص ﺱ يساوي صفرًا، وإما أن خمسة زائد ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا إيجاد قيمة ﺱ في المعادلة الأولى بقسمة الطرفين على تسعة وأخذ الجذر التربيعي، لنحصل على: ﺱ يساوي صفرًا. وفي المعادلة الثانية، يمكننا إضافة ﺱ إلى كلا الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي خمسة. وفي المعادلة الثالثة، يمكننا طرح خمسة من كلا الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي سالب خمسة. إذن، مجموعة أصفار ﺩ هي: سالب خمسة، صفر، خمسة.

في المثال التالي، سنوجد أصفار دالة تكعيبية باستخدام التحليل.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل الدالة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ لكي نوجد أصفار ﺩ. نلاحظ على الفور أن كل الحدود في الطرف الأيمن لها العامل المشترك ﺱ تربيع ناقص ٨١. إذن، يمكننا تحليل الطرف الأيمن بأخذ هذا الحد عاملًا مشتركًا. وهذا يعطينا: ﺱ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي صفرًا.

لاحظ أن ٨١ عدد مربع؛ أي تسعة تربيع. إذن، في الحد الثاني، لدينا فرق بين مربعين. عندما يكون لدينا مقدار على الصورة: ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، يمكننا تحليل هذا المقدار لنحصل على: ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. في هذه الحالة، هذا يعني أنه يمكننا تحليل ﺱ تربيع ناقص ٨١ لنحصل على: ﺱ ناقص تسعة في ﺱ زائد تسعة. لدينا الآن حاصل ضرب مقادير خطية ذات حدين في ﺱ. لذا لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك. هذا حاصل ضرب ثلاثة حدود يساوي صفرًا. ومن ثم، يجب أن يساوي أحد هذه الحدود على الأقل صفرًا. إذن، إما أن ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ ناقص تسعة يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا.

يمكننا حل المعادلة الأولى بإضافة اثنين إلى كلا الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي اثنين، وحل المعادلة الثانية بإضافة تسعة إلى كلا الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي تسعة، وحل المعادلة الثالثة بطرح تسعة من كلا الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي سالب تسعة. إذن، مجموعة أصفار ﺩ هي: سالب تسعة، واثنان، وتسعة.

في المثال التالي، سنحدد قيمة ثابت باستخدام مجموعة أصفار دالتين كثيرتي الحدود.

الدالتان ﺩﺱ تساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١، وﺭﺱ تساوي ﺃﺱ زائد تسعة لهما نفس مجموعة الأصفار. أوجد ﺃ، ومجموعة الأصفار.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا. في حالة ﺩ، لدينا ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١ يساوي صفرًا. أما فيما يخص ﺭ، فلدينا ﺃﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا. لدينا معادلتان ومجهولان. إحدى طرق حل هاتين المعادلتين الآنيتين هي إعادة ترتيب إحدى المعادلتين للتعبير عن أحد المجهولين بدلالة المجهول الآخر، ثم التعويض بذلك في المعادلة الثانية.

يمكننا اختيار المعادلة الخطية الأبسط لإعادة ترتيبها لكي نحصل على ﺱ بدلالة ﺃ. بطرح تسعة من كلا الطرفين وقسمتهما على ﺃ، يصبح لدينا: ﺱ يساوي سالب تسعة على ﺃ. هذا بافتراض أن ﺃ لا يساوي صفرًا؛ إذ لا يمكننا القسمة على صفر. لكن إذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فلن يكون للمعادلة الأصلية أي حلول؛ فسيصبح لدينا: تسعة يساوي صفرًا، وهذا بالطبع خطأ بالنسبة إلى أي قيمة من قيم ﺱ. بالتعويض عن ﺱ بهذا المقدار في معادلة ﺩﺱ، نحصل على: ﺃ تربيع في سالب تسعة على ﺃ الكل تربيع زائد ٥٤ في سالب تسعة على ﺃ زائد ٨١ يساوي صفرًا. بالتربيع وفك الأقواس، نحصل على: ﺃ تربيع في ٨١ على ﺃ تربيع ناقص ٤٨٦ على ﺃ زائد ٨١ يساوي صفرًا.

سيحذف العامل ﺃ تربيع مع ﺃ تربيع في المقام ليتبقى لدينا: ٨١ ناقص ٤٨٦ على ﺃ زائد ٨١ يساوي صفرًا، وهو ما يبسط إلى: سالب ٤٨٦ على ﺃ زائد ١٦٢ يساوي صفرًا. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد ﺃ بطرح ١٦٢، ثم القسمة على سالب ٤٨٦، ثم أخذ المقلوب، وهذا يعطينا: ﺃ يساوي سالب ٤٨٦ على سالب ١٦٢، وهو ما يساوي ثلاثة. وصلنا بذلك إلى الجزء الأول من الإجابة: قيمة ﺃ تساوي ثلاثة.

بالتعويض بقيمة ﺃ في معادلة ﺭ المعاد ترتيبها، نحصل على: ﺱ يساوي سالب تسعة على ثلاثة؛ وهو ما يساوي سالب ثلاثة. بما أن ﺭ دالة خطية، فإن لها صفرًا واحدًا على الأكثر. إذن، قيمة ﺱ هذه هي الصفر الوحيد لكل من ﺩ وﺭ. ومن ثم، فإن مجموعة الأصفار الكاملة لكل من ﺩ وﺭ هي: سالب ثلاثة.

جدير بالذكر هنا أن الدالة ﺩ، وهي دالة تربيعية، كان يمكن أن يكون لها صفران. ولكن بشرط أن تشارك الأصفار مع ﺭ، وأن يضمن كل من ﺩﺱ تساوي صفرًا وﺭﺱ تساوي صفرًا أن لها صفرًا واحدًا. يرجع ذلك إلى أن قيمة ﺃ لهذين الشرطين تساوي ثلاثة. بالتعويض بهذه القيمة في معادلة ﺩ، نحصل على: تسعة ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١ يساوي صفرًا. كل حد في هذه المعادلة يقبل القسمة على تسعة. إذن، يمكننا قسمة الطرفين على تسعة لنحصل على: ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا. يمكن تحليل هذا المقدار إلى مقدارين ذوي حدين؛ ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة. ومن ثم، سيصبح لدينا جذر سالب ثلاثة متكرر، وهذا يعطينا نفس الإجابة السابقة.

في المثال الأخير، سنستخدم التحليل عن طريق تجميع الحدود لتحديد مجموعة أصفار دالة تكعيبية كثيرة الحدود.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ تربيع ناقص ٢٥ﺱ زائد ١٠٠ يساوي صفرًا؛ حيث جميع الأصفار الثلاثة قيم صحيحة.

لإيجاد أصفار دالة ما، نجعل هذه الدالة تساوي صفرًا. إذن، لدينا ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ تربيع ناقص ٢٥ﺱ زائد ١٠٠ يساوي صفرًا. ونعلم من المعطيات أن جميع أصفار الدالة الثلاثة قيم صحيحة. لذا، قد نتمكن من تحليل كثيرة الحدود باستخدام طريقة تجميع الحدود. في أول حدين، لدينا العامل المشترك ﺱ تربيع، ويمكننا تحليله باستخدام ﺱ ناقص أربعة. لدينا أيضًا العامل المشترك سالب ٢٥ في آخر حدين. ويمكن تحليل هذا أيضًا بالحد ناقص أربعة. ومن ثم، لدينا العامل المشترك ﺱ ناقص أربعة بين أول حدين وآخر حدين. يمكننا إذن تحليل كثيرة الحدود لنحصل على: ﺱ ناقص أربعة في ﺱ تربيع ناقص ٢٥. ‏٢٥ عدد مربع؛ فهو خمسة تربيع. إذن في الحد الثاني، لدينا فرق بين مربعين.

تذكر أنه عندما يكون لدينا مقدار على الصورة: ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، يمكن تحليله إلى: ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم، يمكننا تحليل ﺱ تربيع ناقص ٢٥ إلى: ﺱ ناقص خمسة في ﺱ زائد خمسة. لدينا الآن حاصل ضرب ثلاثة مقادير خطية ذات حدين في ﺱ. لذا لا يمكننا التحليل أكثر من ذلك. بما أن حاصل ضرب ثلاثة حدود لدينا يساوي صفرًا، فإن أحدها على الأقل يجب أن يساوي صفرًا. إذن، ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. ويمكننا حل هذه المعادلات الثلاث لإيجاد ﺱ، فنحصل على: ﺱ يساوي أربعة، وﺱ يساوي خمسة، وﺱ يساوي سالب خمسة. إذن، مجموعة أصفار ﺩ هي: سالب خمسة، وأربعة، وخمسة.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. أصفار الدالة ﺩﺱ الكثيرة الحدود أو جذورها هي قيم ﺱ التي تساوي ﺃ، وتجعل ﺩﺃ تساوي صفرًا. إذا كان ﺱ ناقص ﺃ أحد عوامل الدالة ﺩﺱ الكثيرة الحدود، فإن ﺃ صفر للدالة ﺩ. هذا يعني أن ﺩﺃ تساوي صفرًا. والعكس صحيح. إذا كانت ﺩﺃ تساوي صفرًا، فإن المقدار ﺱ ناقص ﺃ ذا الحدين هو أحد عوامل الدالة ﺩﺱ الكثيرة الحدود. يمكننا التحقق من أن ﺱ يساوي ﺃ هو أحد أصفار دالة كثيرة الحدود معينة بالتأكد من أن ﺩﺃ تساوي صفرًا. يوجد العديد من الطرق التي يمكننا استخدامها لمساعدتنا في إيجاد جذور كثيرات الحدود، وتشمل القانون العام، والتحليل بتجميع الحدود، والفرق بين مربعين.