نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل أربعة 𝜋ﻫ أس ثلاثة ﺱ.
لإيجاد تكامل أربعة 𝜋ﻫ أس ثلاثة ﺱ، لدينا قاعدة يمكن استخدامها. تنص هذه القاعدة على أن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي واحدًا على ﺃﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ زائد ﺙ. وهذا صحيح عندما يكون ﺃ لا يساوي صفرًا. وتأتي هذه القاعدة نتيجة لما درسناه سابقًا وهو أنه إذا اشتققنا ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ، نحصل على ﺃﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ. وقد أوجدت هذه العلاقة باستخدام قاعدة السلسلة.
حسنًا، لدينا الآن قاعدة عامة لتكامل ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ والتي استنتجناها من مشتقة ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ. يجب الانتباه هنا حتى لا ننسى ﺙ؛ حيث يتعين علينا إضافة ﺙ لأنه هو ثابت التكامل. ولتذكيرك بأهمية استخدام ثابت التكامل، سننظر إلى ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة. إذا اشتققنا أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة، فإن المشتقة ستساوي ثمانية ﺱ. لكن، إذا أردنا استخدام التكامل لإيجاد الدالة الأصلية، أي قيمة ﺹ، فكل ما علينا فعله هو حساب تكامل ثمانية ﺱ. وبعد استخدام قاعدة التكامل سنحصل على ثمانية ﺱ أس واحد زائد واحد، لأننا نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على الأس الجديد، فنحصل على ثمانية ﺱ تربيع على اثنين، ثم أربعة ﺱ تربيع.
دعونا نرجع إلى الدالة الأصلية مرة أخرى. بالفعل سنجد لدينا أربعة ﺱ تربيع. لكن نلاحظ أننا لم نحصل على موجب ثلاثة. ومن ثم، علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. لأننا إذا أردنا إيجاد الدالة، أي إيجاد ﺹ، فلا نعلم ما إذا كان عدد آخر قد أضيف إلى الدالة الأصلية. وعليه، إذا كان لدينا أربعة ﺱ تربيع زائد تسعة وأربعة ﺱ تربيع ناقص ١٢، فسيكون اشتقاق كلا الدالتين يساوي ثمانية ﺱ. لذلك نحتاج إلى ثابت التكامل، للتعبير عن إمكانية إضافة عدد ما إلى الحد الذي حصلنا عليه بالفعل.
نعرف الآن ما علينا فعله. دعونا نستخدم هذه المعرفة لتحديد تكامل المقدار. لنلق نظرة أولًا. لدينا أربعة 𝜋 أمام ﻫ أس ثلاثة ﺱ. وهذا في الواقع لا يغير التكامل. أي لن يؤثر هذا المعامل على التكامل. لذا، يمكننا المتابعة وإجراء التكامل. إذا نظرنا إلى هذا المثال الذي أمامنا، وإلى القاعدة الموجودة لدينا، نلاحظ أن ﺃ يساوي ثلاثة. حسنًا، هيا نستخدم هذه القاعدة ونكامل التعبير.
إذن عندما أجرينا تكامل أربعة 𝜋ﻫ أس ثلاثة ﺱ، حصلنا على أربعة 𝜋 على ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ زائد ﺙ. وذلك لأننا إذا نظرنا ثانية إلى القاعدة العامة، فسنجد أنها تتضمن واحدًا على ﺃ. وفي هذه الحالة، سيكون المعامل، أي أربعة 𝜋، مقسومًا على ﺃ، أي ثلاثة. وﻫ أس ثلاثة ﺱ يظل كما هو. بعد ذلك، علينا إضافة ثابت التكامل. فنحصل على الإجابة النهائية وهي أنه إذا كاملنا أربعة 𝜋ﻫ أس ثلاثة ﺱ، فالناتج هو أربعة 𝜋 على ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ زائد ﺙ.
