نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الأساس والأس في صيغ القوى، ونكتبها على الصورتين الأسية والتحليلية، ونوجد قيمة القوى البسيطة.
سنبدأ بتناول أنه يمكننا تمثيل الضرب المتكرر على صورة قوة. على سبيل المثال، اثنان أس خمسة هو حاصل ضرب خمسة أمثال العدد اثنين كما هو موضح. إننا نطلق على العدد اثنين الأساس وعلى العدد خمسة الأس. يمكننا توسيع نطاق هذا التعريف ليشمل الأساسات المتضمنة أعدادًا نسبية بصورة عامة. في هذه الحالة، إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا وكان ﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي حاصل ضرب عدد ﻥ من أمثال ﺃ على ﺏ. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد قيمة نصف أس ثلاثة، أو نصف تكعيب، بضرب نصف في نصف في نصف مرة أخرى. وبتذكر قواعد ضرب الكسور، فإننا ببساطة نضرب حدود البسط في بعضها وحدود المقام في بعضها كلًّا على حدة. هذا يعطينا واحدًا على ثمانية، أو ثمنًا.
يمكننا أيضًا اتباع الخطوات نفسها بترتيب عكسي. لنفترض أننا نريد كتابة الكسر ٢٧ على ثمانية على الصورة الأسية. سنبدأ بتحليل كل من البسط والمقام إلى أعداد أولية كما يأتي. ٢٧ يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، وثمانية يساوي اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين. يمكننا بعد ذلك تقسيم عملية الضرب، مما يعطينا ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين. وبذلك، فإن الكسر ٢٧ على ثمانية هو حاصل ضرب ثلاثة أمثال الكسر ثلاثة على اثنين، ومن ثم يمكننا كتابته على الصورة ثلاثة على اثنين تكعيب.
لنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتضمن قوى الأعداد النسبية.
ما المصطلح الذي نستخدمه لوصف العدد نصف في المقدار نصف أس خمسة، والعدد خمسة في المقدار نصف أس خمسة؟
سنبدأ بتذكر أن أي مقدار على الصورة ﺃ أس ﻥ يسمى مقدارًا أسيًّا أو القوة النونية لـ ﺃ . إننا نطلق على ﺃ أساس المقدار، وعلى ﻥ الأس أو القوة. في هذا السؤال، لدينا المقدار نصف أس خمسة. النصف هو العدد المرفوع إلى قوة، والعدد خمسة هو القوة نفسها. إذن، يمكننا استنتاج أنه في المقدار نصف أس خمسة، يسمى العدد نصف أساس المقدار، ويسمى العدد خمسة أس المقدار.
في المثال التالي، سنبسط المقدار بإعادة كتابته على الصورة الأسية.
ما حاصل ضرب أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١ مضروبًا في أربعة على ١١؟ هل هو الخيار (أ) أربعة على ١١ أس سالب سبعة؟ أم (ب) أربعة على ١١ أس سبعة؟ أم (ج) أربعة على ١١ أس تسعة؟ أم (د) سبعة على ١١ أس أربعة؟ أم (هـ) ٢٨ على ١١ أس سبعة؟
يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار بضرب جميع حدود البسط في بعضها وجميع حدود المقام في بعضها. هذا سيعطينا المقدار الآتي الذي يمكننا حسابه باستخدام الآلة الحاسبة أو بدونها. لكن، الخيارات الخمسة في هذا السؤال معطاة على صورة قوى. وهذا يعني أنه بدلًا من إيجاد قيمة هذا المقدار، يمكننا تبسيطه بتذكر أنه يمكن كتابة الضرب المتكرر على الصورة الأسية. وعلى وجه التحديد، في هذا السؤال، نضرب سبعة أمثال الكسر أربعة على ١١ في بعضها. نحن نعلم أنه يمكننا كتابة حاصل ضرب سبعة أمثال من أربعة على ١١ برفع أربعة على ١١ إلى القوة سبعة. وبذلك، يمكننا استنتاج أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب). إذن، المقدار المذكور في السؤال يساوي أربعة على ١١ أس سبعة.
سنستخدم الآن المعلومات التي اطلعنا عليها حتى الآن لتعريف خاصية أساسية من خواص قوى الأعداد النسبية. بما أنه يمكن تحديد أي قوة صحيحة موجبة لأي أساس على صورة عدد نسبي بالضرب المتكرر، يمكننا توضيح أنه إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا وﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ. بعبارة أخرى، يمكننا رفع البسط والمقام إلى القوة كل على حدة.
لنتناول الآن مثالًا يمكننا من خلاله تطبيق ذلك.
أوجد قيمة سالب ستة أخماس تكعيب، في أبسط صورة.
يمكننا إيجاد قيمة المقدار في هذا السؤال بطريقتين. في البداية، نتذكر أنه يمكننا كتابة سالب ستة على خمسة تكعيب على صورة عملية ضرب متكررة. هذا يساوي حاصل ضرب ثلاثة أمثال من سالب ستة على خمسة كما هو موضح. يمكننا بعد ذلك ضرب حدود البسط في بعضها وحدود المقام في بعضها كل على حدة، مما يعطينا سالب ستة مضروبًا في سالب ستة مضروبًا في سالب ستة على خمسة مضروبًا في خمسة مضروبًا في خمسة. وبما أن ضرب ثلاثة أعداد سالبة يعطينا ناتجًا سالبًا، فإن البسط يساوي سالب ٢١٦. ويمكننا تبسيط المقام إلى ١٢٥. إذن، قيمة سالب ستة على خمسة تكعيب تساوي سالب ٢١٦ على ١٢٥.
يمكننا أيضًا إيجاد قيمة هذا المقدار بتذكر النتيجة العامة لقوى الأعداد النسبية. إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا وكان ﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة سالب ستة على خمسة تكعيب على الصورة سالب ستة تكعيب على خمسة تكعيب، وهو ما يمكن تبسيطه أيضًا إلى سالب ٢١٦ على ١٢٥.
في المثال التالي، سنتناول مسألة في سياق ما.
أوجد المقدار الذي يعبر عن حجم المكعب الموضح الذي طول ضلعه يساوي اثنين ﺱ على خمسة.
نبدأ بتذكر أن حجم المكعب يساوي مكعب طول ضلعه. هذا يعني أنه إذا كان طول ضلع المكعب ﻝ، فإن حجمه يساوي ﻝ مضروبًا في ﻝ مضروبًا في ﻝ، وهو ما يساوي ﻝ تكعيب. في هذا السؤال، نعلم أن طول الضلع يساوي اثنين ﺱ على خمسة. وهذا يعني أن حجمه يساوي المقدار اثنين ﺱ على خمسة تكعيب. بتذكر أنه لأي عدد نسبي ﺃ على ﺏ وأي عدد صحيح ﻥ، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ، ومن ثم يمكننا تبسيط هذا المقدار إلى اثنين ﺱ تكعيب على خمسة تكعيب.
بعد ذلك، نتذكر أنه لضرب وحيدات الحد، فإننا نضرب المعاملات ثم نجمع قوى المتغيرات المتشابهة. هذا يعني أن اثنين ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ يساوي ثمانية ﺱ تكعيب. وبما أن خمسة تكعيب يساوي ١٢٥، يمكننا تبسيط المقدار إلى ثمانية ﺱ تكعيب على ١٢٥. إذن، هذا هو المقدار الذي يعبر عن حجم مكعب طول ضلعه يساوي اثنين ﺱ على خمسة.
سنتناول الآن مثالًا أخيرًا علينا فيه إيجاد قيمة مقدار جبري باستخدام نتائج قوى الأعداد النسبية.
إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة على اثنين وﺹ يساوي سالب أربعة على خمسة، فأوجد قيمة ﺱ تربيع ﺹ ناقص ﺱﺹ تكعيب، على صورة كسر في أبسط صورة.
سنبدأ الإجابة عن هذا السؤال بالتعويض بقيمتي ﺱ وﺹ في هذا المقدار. وعليه، ﺱ تربيع ﺹ ناقص ﺱﺹ تكعيب يساوي ثلاثة على اثنين تربيع مضروبًا في سالب أربعة على خمسة ناقص ثلاثة على اثنين مضروبًا في سالب أربعة على خمسة تكعيب. خطوتنا التالية هي إيجاد قيمة القوى بتذكر أنه إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا وكان ﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ على ﺏ أس ﻥ. هذا يعني أن ثلاثة على اثنين تربيع يساوي ثلاثة تربيع على اثنين تربيع، وهو ما يساوي تسعة على أربعة. وبالطريقة نفسها، سالب أربعة على خمسة تكعيب يساوي سالب أربعة تكعيب على خمسة تكعيب. وهذا يساوي سالب ٦٤ على ١٢٥. ومن ثم، يمكننا تبسيط هذا المقدار إلى تسعة على أربعة مضروبًا في سالب أربعة على خمسة ناقص ثلاثة على اثنين مضروبًا في سالب ٦٤ على ١٢٥.
يمكننا تبسيط الجزء الأول من هذا المقدار بقسمة كل من البسط والمقام على أربعة. وبالمثل، يمكننا قسمة كل من البسط والمقام في الجزء الثاني من المقدار على اثنين. وبذلك، يمكن تبسيط المقدار إلى سالب تسعة أخماس ناقص سالب ٩٦ على ١٢٥. وعليه، يمكن تبسيط ذلك أيضًا إلى سالب تسعة على خمسة زائد ٩٦ على ١٢٥. وأخيرًا، لجمع الكسرين، يجب أن يكون لدينا المقامان متساويين؛ لذا سنضرب كلًّا من بسط الكسر الأول ومقامه في ٢٥. وبذلك، يصبح لدينا المقدار سالب ٢٢٥ على ١٢٥ زائد ٩٦ على ١٢٥. وفي النهاية، نجمع البسطين لنحصل على سالب ١٢٩ على ١٢٥. وبما أنه لا توجد أي عوامل مشتركة باستثناء الواحد فقط، فإن هذه هي قيمة ﺱ تربيع ﺹ ناقص ﺱﺹ تكعيب على صورة كسر في أبسط صورة.
سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. رأينا أنه في أي مقدار على الصورة ﺏ أس ﻥ، نطلق على ﺏ الأساس وعلى ﻥ الأس أو القوة. نحدد قوى الأعداد الصحيحة الموجبة عن طريق الضرب المتكرر، وهو ما يعرف بالصورة التحليلية. بوجه عام، إذا كان ﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا وكان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي حاصل ضرب عدد ﻥ من أمثال ﺃ على ﺏ كما هو موضح. وأخيرًا، رأينا أنه يمكننا إيجاد قيمة قوة عدد نسبي من خلال إيجاد قيمة قوة البسط والمقام كل على حدة. إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا وكان ﺃ على ﺏ عددًا نسبيًّا، فإن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ.
