فيديو الدرس: مشتقات الدوال المثلثية العكسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد مشتقات الدوال المثلثية العكسية. وسنتعلم كيف نجري ذلك باستخدام الاشتقاق الضمني. لذا، من المهم أن تفهم طريقة تطبيق قاعدة السلسلة، إذا كنت لا تفهم طريقة استخدام الاشتقاق الضمني فهمًا دقيقًا، قبل مشاهدة الفيديو. وبعد استنتاج مشتقات الدوال المثلثية العكسية، سننظر في تطبيقات هذه المشتقات في دوال مثلثية عكسية أكثر صعوبة.

قبل أن نبحث إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية، هيا نلق نظرة سريعة على الدالة ‪𝑦‬‏ تساوي ‪sin 𝑥‬‏. تذكر أن ‪𝑥‬‏ عدد حقيقي. ولأننا نستخدم حساب التفاضل والتكامل مع دالة مثلثية، فعلينا التأكد من أن الزاوية مقيسة بالراديان. في هذه الدالة، يمكننا أن نقول إن ‪𝑥‬‏ يساوي الدالة العكسية لجيب ‪𝑦‬‏. ويشير الرمز سالب واحد هنا إلى أنها دالة عكسية. ولكن تذكر أنه دون تقييد مجال الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏ أو الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑥‬‏، ستكون الدالة متعددة لواحد. لذا نقيد مجال ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑥‬‏. ونقول إن ‪𝑥‬‏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب واحد وأصغر من أو يساوي واحدًا.

بالرجوع إلى الدالة ‪𝑥‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑦‬‏، يمكننا أن نلاحظ أن ‪𝑥‬‏ ستكون قيمته أكبر من أو تساوي سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين وأصغر من أو تساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين. علينا أن نتذكر أيضًا قاعدة السلسلة. وتنص على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏ و‪𝑢‬‏ دالة قابلة للاشتقاق في ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ مضروبًا في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنستخدم الآن كل ما لدينا هنا لإيجاد مشتقة الدالة العكسية للجيب.

أوجد مشتقة الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏.

إننا نشتق الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏. سنبدأ بأن نساوي ‪𝑦‬‏ بالدالة العكسية لـ ‪sin 𝑥‬‏. من ثم يمكننا أن نقول إن ‪𝑥‬‏ يجب أن يساوي ‪sin 𝑦‬‏. سنشتق طرفي هذه المعادلة بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏. فنقول إن ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لـ ‪sin 𝑦‬‏. حسنًا، من السهل إيجاد قيمة مشتقة ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏، فهي واحد. ولكننا سنحتاج إلى استخدام الاشتقاق الضمني، وهو حالة خاصة من قاعدة السلسلة، لاشتقاق ‪sin 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

مشتقة ‪sin 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ تساوي ‪cos 𝑦‬‏. إذن، مشتقة ‪sin 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪cos 𝑦‬‏ في مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، وهي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. نلاحظ الآن أن واحدًا يساوي ‪cos 𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. نقسم طرفي المعادلة على ‪cos 𝑦‬‏ لتكوين معادلة المشتقة. ونلاحظ أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪cos 𝑦‬‏. لدينا مشكلة صغيرة هنا. إننا نريد التعبير عن المشتقة بدلالة ‪𝑥‬‏ وليس ‪𝑦‬‏.

وتذكر أننا قلنا إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin 𝑦‬‏. لذا، سنستخدم المتطابقة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا. وقد استخدمت هنا ‪𝑦‬‏ بدلًا من ‪𝜃‬‏. سنطرح ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ من طرفي المعادلة. بعد ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. نلاحظ أن ‪cos 𝑦‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. تذكر أن الدالة العكسية للجيب مقيدة بالفترة المغلقة من سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين إلى ‪𝜋‬‏ على اثنين.

وحسب التعريف، فهذا يعني أن ‪𝑦‬‏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين وأصغر من أو يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين، ما يعني بدوره أن ‪cos 𝑦‬‏ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا وأصغر من أو تساوي واحدًا. ويرجع ذلك إلى أنه في الفترة ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين وأصغر من أو يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين. فإن أصغر قيمة لـ ‪cos 𝑦‬‏ ستكون صفرًا. وأكبر قيمة هي واحد. وهذا يعني هنا أننا سنأخذ الجذر التربيعي الموجب فقط لواحد ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏.

يمكننا الآن التعويض عن ‪sin 𝑦‬‏ بـ ‪𝑥‬‏. ونجد أن ‪cos 𝑦‬‏ يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. وبالتالي، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. وبذلك نكون قد أوجدنا مشتقة الدالة العكسية لجيب ‪𝑥‬‏. وتساوي واحدًا على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع، لقيم ‪𝑥‬‏ الواقعة في النطاق ‪𝑥‬‏ أكبر من سالب واحد وأصغر من واحد.

في المثال التالي، سنستخدم طريقة أخرى ستساعدنا على إيجاد مشتقة الدالة العكسية لجيب التمام.

سنحتاج في هذا المثال أن نعرف نظرية الدالة العكسية. وتنص على أنه إذا كانت ‪𝑓‬‏ دالة قابلة للاشتقاق ولها دالة عكسية متصلة ‪𝑓‬‏ شرطة و‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ لا تساوي صفرًا، فحينئذ لا تكون ‪𝑓‬‏ قابلة للعكس فقط، بل يكون لها أيضًا دالة عكسية قابلة للاشتقاق. وعليه، فإن مشتقة الدالة العكسية لـ ‪𝑓‬‏ عند قيمة ما ‪𝑏‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ تساوي واحدًا على مشتقة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏. وهذا يكتب أحيانًا ببساطة بالصورة ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏ يساوي واحدًا على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. هيا نر كيف يمكن أن يساعدنا ذلك عند اشتقاق الدالة العكسية لجيب التمام.

أوجد مشتقة الدالة العكسية لـ ‪cos‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ لا يساوي صفرًا.

سنبدأ بأن نجعل ‪𝑦‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪cos‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏. ويمكننا كتابة ذلك بطريقة أخرى وهي ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ يساوي ‪cos 𝑦‬‏. يمكننا بعد ذلك ضرب الطرفين في ‪𝑎‬‏. وسنجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪cos 𝑦‬‏. سنشتق المقدار المعبر عن ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏. بعبارة أخرى، سنوجد ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏. سنستخدم القاعدة العامة التي تقول إن مشتقة ‪cos 𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪sin 𝑥‬‏. ونجد أن ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏ لا بد أن يساوي سالب ‪𝑎 sin 𝑦‬‏.

الآن، وقبل أن ننتقل إلى الخطوة التالية، علينا أن نتذكر حقيقة أننا نقيد مجالات الدوال المثلثية العكسية. ونعلم أن مجال الدالة العكسية لـ ‪cos 𝑥‬‏ أو الدالة ‪cos 𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ‪𝜋‬‏. هذا يعني أن ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ‪𝜋‬‏. سنحتاج هذه المرة أن نستخدم نظرية الدالة العكسية. سنأخذ قيم ‪𝑦‬‏ الأكبر من الصفر والأصغر من ‪𝜋‬‏، بحيث يكون ‪sin 𝑦‬‏ غير مساو للصفر.

بتطبيق هذا الشرط، يمكننا استخدام ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏ يساوي واحدًا على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، وهو ما يمكن إعادة كتابته بالصورة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑦‬‏. ونجد في هذه الحالة أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا على سالب ‪𝑎 sin 𝑦‬‏. لقد عبرنا عن المشتقة بدلالة ‪𝑦‬‏. تذكر أننا نريد ذلك بدلالة ‪𝑥‬‏. لقد ذكرنا أن ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ يساوي ‪cos 𝑦‬‏. سنستخدم حقيقة أن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ يساوي واحدًا، ونعيد الترتيب فنقول إن ‪sin 𝑦‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. عندما يقع ‪𝑦‬‏ بين صفر و‪𝜋‬‏، يكون ‪sin 𝑦‬‏ أكبر من صفر. لذا، فإن ما يعنينا في الحقيقة هو الجذر الموجب فقط.

سنعوض بذلك في المقدار المعبر عن المشتقة. وسنحصل على سالب واحد على ‪𝑎‬‏ في الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. ثم نعوض عن ‪cos 𝑦‬‏ بـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ ونغير ‪𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ الكل تربيع إلى ‪𝑥‬‏ تربيع على ‪𝑎‬‏ تربيع. ثم ندخل ‪𝑎‬‏ تحت الجذر التربيعي. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. إذن، ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ للدالة العكسية لـ ‪cos 𝑥‬‏ على ‪𝑎‬‏ يساوي سالب واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع لقيم ‪𝑥‬‏ الواقعة بين سالب ‪𝑎‬‏ و‪𝑎‬‏.

في المثال التالي، سنرى كيفية تطبيق العملية المستخدمة حتى الآن لإيجاد مشتقة الدالة العكسية للظل.

اكتب مقدارًا يعبر عن مشتقة ‪𝑦‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪tan 𝑎𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏.

بما أن ‪𝑦‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan 𝑎𝑥‬‏، يمكننا أن نكتب ‪𝑎𝑥‬‏ يساوي ‪tan 𝑦‬‏. سنستخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقة طرفي هذه المعادلة. مشتقة ‪𝑎𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ هي ببساطة ‪𝑎‬‏. ومشتقة ‪tan 𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة ‪tan 𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ في مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏. ومشتقة ‪tan 𝑥‬‏ هي ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑥‬‏. ومشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ هي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

إذن نجد أن ‪𝑎‬‏ يساوي ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وبقسمة الطرفين على ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏، نجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ على ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. علينا كتابة معادلة المشتقة بدلالة ‪𝑥‬‏. لذلك سنستخدم هذه المتطابقة المثلثية. واحد زائد ‪tan‬‏ تربيع ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sec‬‏ تربيع ‪𝑥‬‏. هذا يعني أنه يمكننا استخدام ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ على واحد زائد ‪tan‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. ثم سنعوض عن ‪tan 𝑦‬‏ بـ ‪𝑎𝑥‬‏. وهكذا نجد أن المقدار المعبر عن مشتقة ‪𝑦‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan 𝑎𝑥‬‏ هو ‪𝑎‬‏ على واحد زائد ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع.

يمكننا تطبيق قواعد مماثلة لتساعدنا على إيجاد مشتقة الدالة العكسية لظل التمام. نجد أن مشتقة الدالة العكسية لـ ‪𝑎 cot‬‏ في ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝑎‬‏ على واحد زائد ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع. الدالتان العكسيتان لقاطع التمام والقاطع مختلفتان بعض الشيء. لذا، سنرى الآن كيفية إيجاد مشتقة الدالة العكسية لقاطع التمام.

أوجد ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ للدالة العكسية لـ ‪cosec 𝑥‬‏.

سنبدأ بأن نجعل ‪𝑦‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪cosec 𝑥‬‏. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ذلك. يمكننا أن نقول إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪cosec 𝑦‬‏.

ثم سنستخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقة طرفي هذه المعادلة. مشتقة ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ هي ببساطة واحد. ومشتقة ‪cosec 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة ‪cosec 𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ومشتقة ‪cosec 𝑦‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ تساوي سالب ‪cosec 𝑦 cot 𝑦‬‏. نجد أن الواحد يساوي سالب ‪cosec 𝑦 cot 𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

نعلم الآن أنه في مشتقة الدالة العكسية لقاطع التمام يجب أن يكون ‪𝑦‬‏ أكبر من سالب ‪𝜋‬‏ على اثنين وأصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين وألا يساوي صفرًا. وباستخدام هذه القيود، فإن ‪cosec 𝑦 cot 𝑦‬‏ لا يمكن أن يساوي صفرًا. وبذلك، يمكننا قسمة الطرفين على سالب ‪cosec 𝑦 cot 𝑦‬‏. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بهذه الصورة. نريد كتابة معادلة المشتقة بدلالة ‪𝑥‬‏. لذلك، سنستخدم هذه المتطابقة المثلثية: ‪cot‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ زائد واحد يساوي ‪cosec‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. ويمكننا إعادة كتابة ذلك لنحصل على ‪cot 𝑦‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ‪cosec‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ ناقص واحد.

نعوض بذلك عن ‪cot 𝑦‬‏ في معادلة المشتقة. ثم نستعين بحقيقة أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪cosec 𝑦‬‏. ولكن علينا أن نحدد إشارة المشتقة. ومن المفيد هنا أن ننظر إلى التمثيل البياني للدالة العكسية لقاطع التمام. لاحظ كيف أنه لجميع قيم ‪𝑥‬‏ في نطاق الدالة، فإن مشتقة ميل المماس تكون سالبة.

وبالتالي يمكننا استخدام القيمة المطلقة لنضمن أن تكون المشتقة دائمًا سالبة. نقول إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب القيمة المطلقة لواحد على ‪𝑥‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص واحد. ولأن الواحد والجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص واحد دائمًا موجبان، يمكننا إعادة كتابة ذلك بهذا الشكل. إذن، مشتقة الدالة العكسية لقاطع تمام ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب واحد على المقياس أو القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص واحد.

يمكننا استخدام عملية مماثلة لتساعدنا على إيجاد مشتقة الدالة العكسية للقاطع. ها هي مشتقات لجميع الدوال المثلثية العكسية التي نحتاج إليها. من المفيد حفظ هذه النتائج في الذاكرة، ولكن عليك كذلك أن تكون جاهزًا لاستنتاجها إذا لزم الأمر. سنلقي الآن نظرة على تطبيقات هذه النتائج.

أوجد مشتقة الدالة العكسية لظل التمام لواحد على ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏.

لدينا هنا دالة دالة أو دالة مركبة. لذا علينا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة. وتنص على أنه إذا كانت ‪𝑓‬‏ و‪𝑔‬‏ دالتين قابلتين للاشتقاق حيث ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏ و‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنجعل ‪𝑢‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏. وبالتالي فإن ‪𝑦‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪cot‬‏ لـ ‪𝑢‬‏. لتطبيق قاعدة السلسلة، علينا إيجاد مشتقة هاتين الدالتين. قد يكون مفيدًا أن نكتب ‪𝑢‬‏ بالصورة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد.

بالتالي فإن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ أس سالب اثنين أو سالب واحد على ‪𝑥‬‏ تربيع. يمكننا بعد ذلك استخدام المشتقة العامة للدالة العكسية لظل التمام. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ يساوي سالب واحد على واحد زائد ‪𝑢‬‏ تربيع. ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي حاصل ضرب هذين. إنه سالب واحد على ‪𝑥‬‏ تربيع في سالب واحد على واحد زائد ‪𝑢‬‏ تربيع.

يمكن أن نعوض عن ‪𝑢‬‏ بواحد على ‪𝑥‬‏ ثم نجري الضرب. ونجد أن مشتقة الدالة العكسية لظل التمام لواحد على ‪𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد واحد.

هل لاحظت أن مشتقة الدالة العكسية لظل التمام لواحد على ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑥‬‏؟ في الحقيقة، ليس هذا من قبيل الصدفة. ويمكننا استخدام المتطابقة التي تقول إن الدالة العكسية لظل التمام لواحد على ‪𝑥‬‏ تساوي الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑥‬‏. كان من الممكن أن يختصر لنا ذلك بعض الوقت في هذا المثال السابق.

أوجد مشتقة الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏ للجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏.

لدينا هنا دالة دالة أو دالة مركبة. ولهذا سنستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقتها. وتنص على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة ما في ‪𝑢‬‏ و‪𝑢‬‏ دالة ما في ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنجعل ‪𝑢‬‏ يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. ويمكن كتابة ذلك بالتأكيد بالصورة واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس نصف. إذن ‪𝑦‬‏ يساوي الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑢‬‏. لتطبيق قاعدة السلسلة، علينا إيجاد مشتقة هاتين الدالتين. مشتقة الدالة العكسية لـ ‪sin 𝑢‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑢‬‏ تساوي واحدًا على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑢‬‏ تربيع.

ويمكننا استخدام قاعدة القوى العامة لإيجاد مشتقة واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس نصف. إنها تساوي نصفًا في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس سالب نصف في مشتقة ما بداخل القوس، وهي سالب اثنين ‪𝑥‬‏. ويمكن كتابة ذلك بالصورة سالب ‪𝑥‬‏ في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس سالب نصف.

إذن، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع في واحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑢‬‏ تربيع. ويمكننا أن نعوض عن ‪𝑢‬‏ بواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس نصف. وسيصبح الكسر الثاني واحدًا على الجذر التربيعي لواحد ناقص واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. ويبسط ذلك إلى واحد على ‪𝑥‬‏. ونقسم البسط والمقام على ‪𝑥‬‏. نجد إذن أن مشتقة الدالة تساوي سالب واحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع.

مرة أخرى، تفاجأنا بنتيجة مذهلة. وهي أن مشتقة الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏ للجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع تساوي مشتقة الدالة العكسية لـ ‪cos 𝑥‬‏. وهذا يرجع إلى المتطابقة التي تقول إن الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏ الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع تساوي الدالة العكسية لـ ‪cos 𝑥‬‏، حيث تقع قيم ‪𝑥‬‏ بين صفر وواحد. معرفة هذه المتطابقة من شأنها أن تقلل الجهد المطلوب بذله في هذا المثال.

في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني أو نظرية الدوال العكسية لاستنتاج صيغ مشتقات الدوال المثلثية العكسية. ورأينا أن مشتقات الدوال المثلثية العكسية هي كما يلي. كما رأينا أن الإلمام بمتطابقات مثلثية معينة يمكنه أحيانًا أن يسهل عملية إيجاد هذه المشتقات بدرجة كبيرة.