فيديو السؤال: اشتقاق صيغة حساب مساحة مثلث باستخدام جيب الزاوية الرياضيات

انظر الشكل المعطى، أوجد مقدارًا يعبر عن الارتفاع ﻉ بدلالة ﺃ، ﺏ، ﺟ. أوجد مقدارًا يعبر عن مساحة المثلث بدلالة ﺃ، ﺏ، ﺟ.

٠٣:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

انظر الشكل المعطى، أوجد مقدارًا يعبر عن الارتفاع ﻉ بدلالة ﺃ، وﺏ، وﺟ. أوجد مقدارًا يعبر عن مساحة المثلث بدلالة ﺃ، وﺏ، وﺟ.

لنبدأ بإيجاد المقدار الذي يعبر عن الارتفاع ﻉ في المثلث. إذا نظرنا جيدًا، فيمكننا تقسيم المثلث بطريقة ما أو بأخرى. ومن ثم نكون مثلثًا أصغر به زاوية قياسها ﺟ درجة وطول ضلع ﺏ.

يمثل الطول ﺏ طول وتر هذا المثلث القائم الزاوية. ونعلم أن المثلث قائم الزاوية؛ لأن مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم ١٨٠ درجة. وبما أن لدينا زاوية قياسها ٩٠ درجة، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الموجودة في الجهة الأخرى من الخط المتقطع بطرح ٩٠ من ١٨٠. هذا يعطينا ٩٠ درجة. وبالتالي لدينا مثلث قائم الزاوية. وبما أن الضلع ﺏ هو أطول ضلع في المثلث، فهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، ونعلم أنه الوتر.

يمكننا أيضًا القول: إن الضلع المشار إليه بالحرف ﻉ في هذا المثلث هو الضلع المقابل. إنه الضلع المقابل للزاوية المحصورة التي قياسها ﺟ درجة. وبمعرفتنا طول الضلع المقابل وطول الوتر، نجد أنه علينا استخدام نسبة جيب الزاوية، حيث جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر.

بالتعويض بما نعرفه عن المثلث القائم الزاوية في هذه الصيغة، نجد أن جا ﺟ يساوي ﻉ، وهو طول الضلع المقابل، على طول الوتر، وهو ﺏ. إذن جا ﺟ يساوي ﻉ على ﺏ. وبما أن الهدف من هذه المسألة هو إيجاد مقدار يعبر عن الارتفاع ﻉ، علينا أن نجعل ﻉ في طرف بمفرده. ويمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب طرفي المعادلة في ﺏ. وﻉ على ﺏ مضروبًا في ﺏ يساوي ﻉ. وجا ﺟ مضروبًا في ﺏ يكتب بالصورة ﺏ جا ﺟ.

نرى أن هذه المسألة في الواقع مضللة بعض الشيء. فالمقدار الذي يعبر عن الارتفاع ﻉ بدلالة ﺃ وﺏ وﺟ لا يتضمن ﺃ. وهو ﺏ جا ﺟ.

نوجد بعد ذلك مقدارًا يعبر عن مساحة المثلث بدلالة ﺃ وﺏ وﺟ. ونتذكر هذه المرة صيغة مساحة المثلث. وهي نصف طول القاعدة في الارتفاع العمودي عليها. طول قاعدة المثلث يساوي ﺃ من الوحدات. والارتفاع العمودي ﻉ. إذن يمكننا القول: إن المساحة تساوي نصف ﺃﻉ.

لكننا بالطبع نريد إيجاد مقدار يعبر عن مساحة المثلث بدلالة ﺃ وﺏ وﺟ. وجدنا للتو أن ﻉ يساوي ﺏ جا ﺟ. إذن نجد أن المساحة تساوي نصف ﺃ في ﺏ جا ﺟ. وبتبسيط هذا المقدار بالكامل، فإن مساحة المثلث تساوي نصف ﺃﺏ جا ﺟ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.